第二節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算1.理解平面向量的意義、幾何表示及兩個(gè)向量相等的含義.2.掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義及兩個(gè)平面向量共線的含義.3.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.1.對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：A若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立.故前者是后者的充分不必要條件，故選A.2.（2024·南通模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)AB＝a，AD＝b，P為邊BC的中點(diǎn)，則AP＝（用a與b表示）.答案：a＋12解析：AP＝AB＋BP＝AB＋12AD＝a＋13.已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，向量6b－ta，a－3b共線，則實(shí)數(shù)t＝.答案：2解析：向量6b－ta，a－3b共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得6b－ta＝λ（a－3b）?（λ＋t）a＝（6＋3λ）b，由于a，b是兩個(gè)不共線的向量，所以λ＋t＝0且6＋3λ＝0，所以λ＝－2，t＝2.4.化簡：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝；（2）NQ＋QP＋MN－MP＝.答案：（1）AB（2）0解析：（1）原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（2）原式＝NP＋PN＝0.1.若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP＝12（OA＋OB）2.已知OA＝λOB＋μOC（λ，μ為實(shí)數(shù)），若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.3.平面向量模的三角不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.1.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，且OA－BO＋3OC＝0，那么（）A.CO＝23OP B.COC.CO＝32OP D.CO解析：A由結(jié)論1可知OA＋OB＝2OP，又因OA－BO＋3OC＝0，則3CO＝2OP?CO＝23OP.2.已知A，B，C，O四點(diǎn)滿足條件αOA＋βOB＝OC，若α＋β＝1，則能得到.答案：A，B，C三點(diǎn)共線解析：由結(jié)論2可知A，B，C三點(diǎn)共線.平面向量的基本概念1.設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使a｜a｜＝b｜A.a＝－bB.a∥bC.a＝2bD.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析：C因?yàn)橄蛄縜｜a｜的方向與向量a相同，向量b｜b｜的方向與向量b相同，且a｜a｜＝b｜b｜.所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A、B、D.當(dāng)a＝2b時(shí)，a｜a｜＝2.下列說法正確的是（）A.若｜a｜＝｜b｜，則a＝b或a＝－bB.若ma＝mb，m∈R，則a＝bC.若a∥b，b∥c，則a∥cD.若ma＝0，m∈R，則m＝0或a＝0解析：D對(duì)于A，當(dāng)a＝（1，1），b＝（32，52）時(shí)，滿足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0時(shí)，滿足ma＝mb＝0，但a≠b，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）時(shí)，滿足a∥b，c∥b，但不滿足a∥c，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正確.綜上所述，3.（多選）給出下列命題，其中正確的有（）A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B.若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形C.a＝b的充要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.兩個(gè)相等向量的模相等解析：BDA錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B正確，因?yàn)锳B＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b；D正確，兩個(gè)相等向量的模一定相等，故選B、D.練后悟通向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)（1）向量定義的關(guān)鍵是方向和長度；（2）非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制；（3）相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等；（4）單位向量的關(guān)鍵是長度等于1個(gè)單位長度；（5）零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線.平面向量的線性運(yùn)算考向1向量的線性運(yùn)算【例1】（2023·天津高考14題節(jié)選）在△ABC中，A＝π3，｜BC｜＝1，D為線段AB的中點(diǎn)，E為線段CD的中點(diǎn)，若設(shè)AB＝a，AC＝b，則AE可用a，b表示為答案：14a＋1解析：如圖，因?yàn)镋為線段CD的中點(diǎn)，所以AE＝12AD＋12AC.因?yàn)镈為線段AB的中點(diǎn)，所以AD＝12AB.所以AE＝14AB＋1.（變條件）若本例條件改為：在△ABC中，BE＝13EC，若設(shè)AB＝a，AC＝b，則AE可用a，b表示為答案：34a＋1解析：因?yàn)樵凇鰽BC中，BE＝13EC，所以AE＝AB＋BE＝AB＋14BC＝AB＋14（AC－AB）＝32.（變條件）若本例條件改為：在△ABC中，點(diǎn)E為△ABC的重心，若設(shè)AB＝a，AC＝b，則AE可用a，b表示為.答案：13a＋1解析：由于△ABC的重心E為三角形三條中線的交點(diǎn)，為中線的三等分點(diǎn)，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，所以AE＝23AD＝23×12（AB＋AC）＝13解題技法平面向量的線性運(yùn)算的求解策略考向2根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例2】在△ABC中，延長BC至點(diǎn)M使得BC＝2CM，連接AM，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，則λ＋μ＝（A.13 B.C.－12 D.－解析：A由題意，知AN＝13AM＝13（AB＋BM）＝13AB＋13×32BC＝13AB＋12（AC－AB）＝－16AB＋12AC，又AN＝λAB＋μAC，所以解題技法與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過相等向量或共線向量等條件列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）求得相關(guān)參數(shù)的值.1.如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB＝（）A.AC－AD B.2AC－2ADC.AD－AC D.2AD－2AC解析：D連接CD（圖略），∵C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此AB＝2CD＝2（AD－AC）＝2AD－2AC.2.在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線BD，CF相交于點(diǎn)P.若AP＝xAB＋yAF，則x＋y＝（）A.2 B.5C.3 D.7解析：B如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，于是FP＝32FO＝32AB，因此AP＝AF＋FP＝32AB＋AF，因?yàn)锳P＝xAB＋yAF，所以x＝32且y＝1，共線向量定理的應(yīng)用【例3】設(shè)兩向量a與b不共線.（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解：（1）證明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，∴AB，BD共線.又它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線.（2）∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，∴（k－λ）a＝（λk－1）b.∵a，b是不共線的兩個(gè)向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.（變條件，變?cè)O(shè)問）若將本例（1）中“BC＝2a＋8b”改為“BC＝a＋mb”，若A，B，D三點(diǎn)共線，則m的值為.答案：7解析：BD＝BC＋CD＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使BD＝λAB，即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b），∴4=λ，m－3=λ，解得m＝7.故當(dāng)m＝7時(shí)，解題技法提醒證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩個(gè)向量有公共點(diǎn).1.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為（）A.2 B.3C.4 D.8解析：A∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2（PB－PA），∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且兩向量方向相同，∴S△ABCS△PAB＝BCAP＝｜C