第2課時列聯(lián)表與獨立性檢驗1.掌握分類變量的含義.2.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.3.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.1.在研究打鼾與患心臟病的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是（）A.100個吸煙者中至少有99人打鼾B.1個人患有心臟病，那么這個人有99％的概率打鼾C.在100個心臟病患者中一定有打鼾的人D.在100個心臟病患者中可能一個打鼾的人也沒有解析：D在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結(jié)論是成立的，其意義就是我們有99％的把握認為打鼾與患心臟病有關(guān)，在100個心臟病患者中可能一個打鼾的人也沒有，故D正確；對于A，題設(shè)中沒有給出吸煙與打鼾相關(guān)性判斷，故A錯誤；對于B，獨立性檢驗是對分類變量相關(guān)的判斷，不能具體到個體，故B錯誤；對于C，在100個心臟病患者中可能一個打鼾的人也沒有，故C錯誤.故選D.2.已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到χ2≈4.328，χ2的部分臨界值表如下：α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879則最大有的把握說變量X，Y有關(guān)系（填百分數(shù)）.答案：95％解析：因為χ2≈4.328＞3.841＝x0.05，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量X，Y有關(guān)系.所以最大有95％的把握說變量X，Y有關(guān)系.3.第19屆亞運會于2023年9月23日在中國杭州舉行.為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了50名記者擔任對外翻譯工作，下表為“性別與會俄語”的2×2列聯(lián)表，則a－b＋d＝.性別是否會俄語合計會俄語不會俄語男ab20女6d合計1850答案：28解析：由2×2列聯(lián)表得a＋6＝18，所以a＝12，因為a＋b＝20，所以b＝8，因為6＋d＝30，所以d＝24，所以a－b＋d＝12－8＋24＝28.分類變量與列聯(lián)表1.（多選）根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是（）A.吸煙患肺病的頻率約為0.2B.吸煙不患肺病的頻率約為0.8C.不吸煙患肺病的頻率小于0.05D.吸煙與患肺病無關(guān)系解析：ABC從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠遠大于不吸煙患肺病的頻率.A、B、C都正確.2.對甲、乙兩個班級學生的數(shù)學考試成績按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下的列聯(lián)表，則χ2約為（）班級數(shù)學成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀甲班113445乙班83745合計197190A.0.600 B.0.828C.2.712 D.6.014解析：Aχ2＝90×（11×373.如下是一個2×2列聯(lián)表，則m＋n＝.XY合計y1y2x1a3545x27bn合計m73s答案：62解析：根據(jù)2×2列聯(lián)表可知a＋35＝45，解得a＝10，則m＝a＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，則n＝7＋b＝45，故m＋n＝17＋45＝62.練后悟通分類變量的兩種統(tǒng)計表示形式（1）等高堆積條形圖：根據(jù)等高堆積條形圖的高度差判斷兩分類變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)強弱；（2）2×2列聯(lián)表：直接利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進行計算分析，用定量的方式判斷兩分類變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)強弱.分類變量關(guān)聯(lián)性的判斷【例1】（2024·滕州模擬）某科研機構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與患心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：患心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2≈15.968，因為χ2＞10.828，則斷定禿發(fā)與患心臟病有關(guān)系.那么這種判斷出錯的可能性為（）A.0.001 B.0.05C.0.025 D.0.01解析：A因為χ2＞10.828＝x0.001，因此判斷出錯的可能性為0.001，故選A.解題技法如果χ2＞xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游愿望的關(guān)系時，采用獨立性檢驗法抽查了3000人，計算得χ2＝6.023，則市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關(guān)系的可信程度是（）A.90％ B.95％C.99％ D.99.5％解析：B由臨界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以斷言市民收入增減與旅游愿望有關(guān)系的可信程度為95％.獨立性檢驗的應用【例2】（2022·全國甲卷17題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；（2）根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，能否認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？附：χ2＝n（α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解：（1）由題表可得A公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率為240240+20＝12B公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率為210210+30＝7（2）零假設(shè)為H0：甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司無關(guān)，列聯(lián)表如下表所示：公司班次是否準點合計準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020260B21030240合計45050500χ2＝500×（240×30－210×根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān).解題技法獨立性檢驗的一般步驟（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式χ2＝n（ad（3）比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷.（2021·全國甲卷17題）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否以此推斷甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？解：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是150200＝0.75，乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是120200（2）零假設(shè)為H0：甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異.根據(jù)列聯(lián)表，可得χ2＝400×（150×80－50×根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.1.某機構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計：在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游.若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時，用下列最適合的統(tǒng)計方法是（）A.均值 B.方差C.獨立性檢驗 D.回歸分析解析：C由題意可知，“愛玩網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應用獨立性檢驗判斷.2.為考察A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行藥物實驗，分別得到如下等高堆積條形圖：根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（）A.藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B.藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C.藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D.藥物A，B對該疾病均沒有預防效果解析：B從等高堆積條形圖可以看出，服用藥物A后未患病的比例比服用藥物B后未患病的比例大得多，預防效果更好.3.兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于97.5％，則c＝（）A.3 B.4C.5 D.6解析：A列2×2列聯(lián)表如下：XY合計y1y2x1102131x2cd35合計10＋c21＋d66故χ2＝66×[10（35－c)-21c]4.（多選）某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度，隨機調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計算χ2≈4.762，則可以推斷出（）滿意不滿意男3020女4010A.該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為3B.調(diào)研結(jié)果顯示，該學校男生比女生對食堂服務更滿意C.認為男、女生對該食堂服務的評價有差異，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05D.認為男、女生對該食堂服務的評價有差異，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01解析：AC對于A，該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為3030+20＝35，故A正確；對于B，該學校女生對食堂服務滿意的概率的估計值為4040+10＝45＞35，故B錯誤；因為χ2≈4.762＞3.841＝x0.05，認為男、女生對該食堂服務的評價有差異，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05，故C5.某高校《統(tǒng)計初步》課程的教師隨機調(diào)查了選該課的學生情況，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女720為了判斷是否主修統(tǒng)計專業(yè)與性別的關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算得到χ2≈（保留三位小數(shù)），所以判定（填“能”或“不能”）在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為是否主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān).答案：4.844能解析：由題意可知，χ2＝50×（13×20－7×10）223×276.如圖是調(diào)查某學校高一年級男、女學生是否喜歡徒步運動而得到的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡徒步的頻率.已知該年級男生500人、女生400人（假設(shè)所有學生都參加了調(diào)查），現(xiàn)從所有喜歡徒步的學生中按分層隨機抽樣的方法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為.答案：15解析：根據(jù)等高堆積條形圖可知：喜歡徒步的男生人數(shù)為0.6×500＝300，喜歡徒步的女生人數(shù)為0.4×400＝160，所以喜歡徒步的總?cè)藬?shù)為300＋160＝460，按分層隨機抽樣的方法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為300460×23＝7.卡塔爾世界杯期間，某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊進行調(diào)查，對高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：年齡西班牙隊合計不喜歡喜歡高于40歲pq50不高于40歲153550合計ab100若工作人員從所有統(tǒng)計結(jié)果中任取一個，取到喜歡西班牙隊的人的概率為35，則有超過的把握認為年齡與喜歡西班牙隊有關(guān)答案：95％解析：設(shè)“從所有人中任意抽取一個，取到喜歡西班牙隊的人”為事件A，由已知得P（A）＝q+35100＝35，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝100×（25×35－25×15）28.某駕駛員培訓學校為對比了解“科目二”的培訓過程采用大密度集中培訓與周末分散培訓兩種方式的效果，調(diào)查了105名學員，統(tǒng)計結(jié)果為：接受大密度集中培訓的55名學員中有50名學員一次考試通過，接受周末分散培訓的學員一次考試通過的有30名.根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，認為“能否一次考試通過與是否集中培訓有關(guān)”犯錯誤的概率不超過.答案：0.001解析：由題意，可得如下2×2列聯(lián)表：考試情況培訓方式合計集中培訓分散培訓一次考試通過503080一次考試未通過52025合計5550105則χ2＝105×（50×20－5×30）255×509.（多選）有兩個分類變量X，Y，其2×2列聯(lián)表如下所示：XY合計y1y2x1a20－a20x215－a30＋a45合計155065其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，若依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為X，Y有關(guān)，則a的值為（）A.6 B.7C.8 D.9解析：CD由題意可知χ2＝13×（13a－60）220×45×3×2＞3.841，根據(jù)a＞5且15－a10.（多選）針對時下的“航天熱”，某校團委對“是否喜歡航天與學生性別的關(guān)系”進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡航天的人數(shù)占男生人數(shù)的45，女生中喜歡航天的人數(shù)占女生人數(shù)的35，若依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，認為是否喜歡航天與學生性別有關(guān)，則被調(diào)查的學生中男生的人數(shù)可能為（A.25 B.45C.60 D.75解析：BCD設(shè)男生的人數(shù)為5n（n∈N*），根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下所示：是否喜歡航天性別合計男生女生喜歡航天4n3n7n不喜歡航天n2n3n合計5n5n10n則χ2＝10n×（4n×2n－3n×n）25n×5n×7n×3n＝10n21，∵依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，認為是否喜歡航天與學生性別有關(guān)，∴χ2≥3.841，即10n21≥3.841，得11.（多選）某省采用“3＋1＋2”新高考模式，其中“3”為語文、數(shù)學和外語3門全國統(tǒng)考科目；“1”為考生在物理和歷史中選擇1門；“2”為考生在思想政治、地理、化學和生物4門中再選擇2門.某中學調(diào)查了高一年級學生的選科傾向，隨機抽取200人，其中選考物理的120人，選考歷史的80人，統(tǒng)計各選科人數(shù)如下表，則下列說法正確的是（）選擇科目選考類別思想政治地理化學生物物理類35509065歷史類50453035A.物理類的學生中選擇地理的比例比歷史類的學生中選擇地理的比例低B.物理類的學生中選擇生物的比例比歷史類的學生中選擇生物的比例低C.有90％的把握認為是否選擇生物與選考類別有關(guān)D.沒有95％的把握認為是否選擇生物與選考類別有關(guān)解析：AD依據(jù)題表中數(shù)據(jù)可知，物理類的學生中選擇地理的比例為50120＝512，歷史類的學生中選擇地理的比例為4580＝916，因為512＜916，所以物理類的學生中選擇地理的比例比歷史類的學生中選擇地理的比例低，故A正確；物理類的學生中選擇生物的比例為65120＝1324，歷史類的學生中選擇生物的比例為3580＝716，因為1324＞716，所以物理類的學生中選擇生物的比例比歷史類的學生中選擇生物的比例高，故B錯誤；由題中表格數(shù)據(jù)知，物理類的學生中選擇生物和不選擇生物的人數(shù)分別是65，55選考類別是否選擇生物合計選擇生物不選擇生物物理類6555120歷史類354580合計100100200則χ2＝200×（65×45－35×55）2100×100×120×80≈2.083，由2.083＜2.706知，沒有90％的把握認為是否選擇生物與選考類