江蘇一模試卷數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∪B=A，則a的取值集合為（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

3.不等式|2x-1|<x+1的解集為（）

A.(-∞,-1)B.(0,2)C.(-1,2)D.(-∞,-1)∪(0,2)

4.已知函數(shù)f(x)=sin(πx+φ)在x=1時取得最大值，則φ的值為（）

A.π/2B.π/4C.3π/4D.0

5.拋擲兩枚均勻的骰子，記事件A為“點數(shù)之和為5”，事件B為“點數(shù)之和為7”，則P(B|A)=（）

A.1/6B.1/5C.1/3D.1/2

6.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1,a_n=2a_(n-1)+1，則S_5的值為（）

A.31B.32C.33D.34

7.過點P(1,2)的直線與圓C:x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，則該直線的方程為（）

A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-3=0D.x+y-1=0

8.已知直線l1:ax+3y-6=0與直線l2:3x+by+9=0平行，則ab的值為（）

A.-9B.9C.-3D.3

9.已知f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)

10.已知點A(1,2)和點B(3,0)，則過點A且與直線AB垂直的直線方程為（）

A.x+y-3=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x-y-1=0

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=2^xB.y=log_(1/2)xC.y=-x^2+1D.y=sin(x+π/2)

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx-1，若f(1)=0且f'(1)=0，則b的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知圓C1:x^2+y^2=1與圓C2:x^2+y^2-2x+4y-3=0相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（）

A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-3=0D.x+y-1=0

4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|，則f(x)的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1,a_n=a_(n-1)+n，則數(shù)列{a_n}的前5項分別為（）

A.1,3,6,10,15B.1,2,4,7,11C.1,3,5,7,9D.1,4,9,16,25

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=3x^2-4ax+2在x=1時取得最小值，則a的值為________。

2.不等式|x-1|>2的解集為________。

3.已知圓C的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，則圓C的圓心坐標為________。

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=2,a_n=S_n-S_(n-1)+1，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=________。

5.已知直線l1:2x+y-3=0與直線l2:ax-3y+5=0垂直，則a的值為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式|2x-1|<x+2。

3.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標和半徑。

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1,a_n=2a_(n-1)+1，求通項公式a_n。

5.求直線l1:3x+4y-7=0與直線l2:2x-y+5=0的夾角。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|可以分段討論：

當x<-1時，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2

當-1≤x≤1時，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2

當x>1時，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x

因此，f(x)在x=-1時取得最小值2。

2.C

解析：A={1,2}。因為A∪B=A，所以B?A。若a=0，則B為空集，滿足條件；若a≠0，則B={1/a}，需1/a∈{1,2}，即a=1或a=1/2。所以a的取值集合為{0,1,1/2}。選項C包含0,1。

3.C

解析：|2x-1|<x+1等價于-(x+1)<2x-1<x+1

解不等式-x-1<2x-1得x>0

解不等式2x-1<x+1得x<2

所以解集為(0,2)。

4.A

解析：sin(πx+φ)的最大值在2kπ+π/2處取得，k∈Z。所以πx+φ=2kπ+π/2，即x=2k+1/2。當x=1時，1=2k+1/2，解得k=1/4，這不合理。應該是x=1時，π(1)+φ=2kπ+π/2，即φ=(2k-1)π/2。當k=0時，φ=π/2；當k=1時，φ=3π/2。由于sin函數(shù)的周期性，π/2和3π/2都代表最大值點。題目可能簡化為φ=π/2。

5.B

解析：點數(shù)和為5的組合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種。點數(shù)和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。事件A包含的基本事件有4種，事件B包含的基本事件有6種。事件A發(fā)生后，基本事件總數(shù)變?yōu)?種，其中屬于事件B的有(3,4),(4,3)共2種。所以P(B|A)=2/4=1/2。

6.B

解析：這是一個等比數(shù)列的變形。a_n=2a_(n-1)+1?？梢試L試找規(guī)律：

a_1=1

a_2=2a_1+1=2*1+1=3

a_3=2a_2+1=2*3+1=7

a_4=2a_3+1=2*7+1=15

a_5=2a_4+1=2*15+1=31

或者通過構造等比數(shù)列：a_n-1=2(a_(n-1)-1)。令b_n=a_n-1，則b_n=2b_(n-1)，所以{b_n}是首項為0（a_1-1=0），公比為2的等比數(shù)列。b_n=2^(n-1)*0=0。所以a_n=b_n+1=0+1=1。S_n=1+3+7+15+31=63-1=32。

7.A

解析：圓C:(x-1)^2+(y+2)^2=10。圓心C1(1,-2)，半徑r1=√10。點P(1,2)在直線x=1上。過點P(1,2)的直線方程設為x=1。圓心C1到直線x=1的距離d=|1-1|=0。因為d<r1，所以直線x=1與圓C相交。題目要求相切，可能題目有誤或需要考慮垂線。如果設直線方程為y-2=k(x-1)，即kx-y+k-2=0。圓心到直線的距離d=|k*1-(-2)+k-2|/√(k^2+1)=|k+2+k-2|/√(k^2+1)=|2k|/√(k^2+1)=2|k|/√(k^2+1)=√10。解得|k|=√5，k=±√5。對應的直線方程為y-2=√5(x-1)和y-2=-√5(x-1)，即√5x-y-√5+2=0和√5x+y-√5-2=0。這些方程都不在選項中。檢查選項A:x-y+1=0。圓心到直線x-y+1=0的距離d=|1-(-2)+1|/√(1^2+(-1)^2)=|4|/√2=2√2。r1=√10。d^2=(2√2)^2=8,r1^2=(√10)^2=10。d^2<r1^2，直線與圓相交。檢查選項B:x-y-1=0。d=|1-(-2)-1|/√2=|2|/√2=√2。d^2=2<10，相交。檢查選項C:x+y-3=0。d=|1-(-2)-3|/√2=|-2|/√2=√2。相交。檢查選項D:x+y-1=0。d=|1-(-2)-1|/√2=|2|/√2=√2。相交?？磥硭羞x項的直線都與圓相交。題目可能設置有誤。若必須選一個，可能期望直線是過P點的某條特定直線，但計算表明沒有選項滿足相切。若題目意圖是選擇一條過P點的直線，且與AB垂直，則AB斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1。垂直直線斜率為1。過P(1,2)斜率為1的直線方程為y-2=1(x-1)，即y=x+1，化簡為x-y+1=0。選項A符合。故選A。

8.B

解析：兩直線平行，斜率相等或都為0。l1:ax+3y-6=0，斜率為-a/3。l2:3x+by+9=0，斜率為-3/b。若斜率相等，-a/3=-3/b，即ab=9。若l1或l2的斜率為0，則ax-6=0或3x+9=0，即a=0或b=0。若a=0，l1:3y-6=0，若b=0，l2:3x+9=0。此時ab=0。所以ab的值可能為9或0。選項B為9。

9.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，需要底數(shù)a>1。因為x+1在(0,+∞)上，對數(shù)函數(shù)的定義域是(0,+∞)，所以a必須大于1。

10.D

解析：點A(1,2)，點B(3,0)。直線AB的斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-1。過點A(1,2)且與AB垂直的直線斜率為1。其方程為y-2=1(x-1)，即y=x+1，化簡為x-y-1=0。選項D為x-y-1=0。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,C

解析：y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增。y=-x^2+1是開口向下的拋物線，在其定義域R上單調(diào)遞減。y=log_(1/2)x是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2∈(0,1)，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=sin(x+π/2)=cos(x)，是周期為2π的三角函數(shù)，在每個周期內(nèi)既有遞增區(qū)間也有遞減區(qū)間，但在任何單個區(qū)間內(nèi)都不是單調(diào)遞增的。

2.A,C

解析：f(1)=1^3-a*1^2+b*1-1=0，即1-a+b-1=0，得b=a。

f'(x)=3x^2-2ax+b。f'(1)=3*1^2-2a*1+b=0，即3-2a+b=0。代入b=a，得3-2a+a=0，即3-a=0，解得a=3。所以b=a=3。

3.A,B,C

解析：圓C1:x^2+y^2=1，圓心C1(0,0)，半徑r1=1。

圓C2:x^2+y^2-2x+4y-3=0，即(x-1)^2+(y+2)^2=4。圓心C2(1,-2)，半徑r2=2。

兩圓圓心距d=√((1-0)^2+(-2-0)^2)=√(1+4)=√5。

因為r2-r1<d<r1+r2，即2-1<√5<1+2，即1<√5<3。所以兩圓相交。

兩圓相交，其公共弦所在直線的方程為C1-C2=0，即(x^2+y^2)-(x^2+y^2-2x+4y-3)=0，即2x-4y+3=0，即x-2y+3/2=0。整理得x-2y+3=0。這與選項C相似，但C是x-2y-3=0。可能是題目或選項印刷錯誤。如果按選項C的x-2y+3=0計算，代入C2方程(1,-2)滿足，代入C1方程(1,-2)不滿足。所以選項C不正確。檢查選項A:x-y+1=0。代入C1(0,0)滿足，代入C2(1,-2)滿足。代入C1(1,0)滿足，代入C2(1,-2)滿足。所以x-y+1=0是兩圓的公共弦方程。檢查選項B:x-y-1=0。代入C1(0,0)不滿足。選項D:x+y-1=0。代入C1(0,0)不滿足。所以只有A和B滿足。題目可能存在錯誤。若必須選一個，A看起來更符合計算結(jié)果。

4.A,B,C

解析：f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可以分段討論：

當x<1時，f(x)=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6

當1≤x<2時，f(x)=(x-1)-(x-2)-(x-3)=-x+4

當2≤x<3時，f(x)=(x-1)+(x-2)-(x-3)=x

當x≥3時，f(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6

在區(qū)間(-∞,1)上，f(x)=-3x+6，是單調(diào)遞減函數(shù)。在x=1時，f(1)=-3*1+6=3。

在區(qū)間(1,2)上，f(x)=-x+4，是單調(diào)遞減函數(shù)。在x=2時，f(2)=-2+4=2。

在區(qū)間(2,3)上，f(x)=x，是單調(diào)遞增函數(shù)。在x=3時，f(3)=3。

在區(qū)間(3,+∞)上，f(x)=3x-6，是單調(diào)遞增函數(shù)。

所以f(x)在x=2時取得最小值2。

5.A,B

解析：a_n=S_n-S_(n-1)+1。這個公式看起來不太標準，可能意圖是a_n=S_n-S_(n-1)。

若a_n=S_n-S_(n-1)，則a_1=S_1。a_n=S_n-S_(n-1)。

a_1=S_1=1。

a_2=S_2-S_1=(1+2)-1=2。

a_3=S_3-S_2=(1+2+3)-(1+2)=6-3=3。

a_4=S_4-S_3=(1+2+3+4)-6=10-6=4。

a_5=S_5-S_4=(1+2+3+4+5)-10=15-10=5。

數(shù)列{a_n}為1,2,3,4,5。

若按題目給出的a_n=S_n-S_(n-1)+1：

a_1=S_1+1=1+1=2。

a_2=S_2-S_1+1=(1+2)-1+1=3。

a_3=S_3-S_2+1=(1+2+3)-(1+2)+1=6-3+1=4。

a_4=S_4-S_3+1=(1+2+3+4)-6+1=10-6+1=5。

a_5=S_5-S_4+1=(1+2+3+4+5)-10+1=15-10+1=6。

數(shù)列{a_n}為2,3,4,5,6。

選項A:1,3,6,10,15。這是數(shù)列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5。

選項B:1,2,4,7,11。這是數(shù)列1,1+1,1+1+2,1+1+2+3,1+1+2+3+4。

選項C:1,3,5,7,9。這是數(shù)列1,1+2,1+2+2,1+2+2+2,1+2+2+2+2。

選項D:1,4,9,16,25。這是數(shù)列1^2,2^2,3^2,4^2,5^2。

題目條件a_n=S_n-S_(n-1)+1得到的數(shù)列是2,3,4,5,6。選項中沒有匹配的。

題目條件a_n=S_n-S_(n-1)得到的數(shù)列是1,2,3,4,5。選項A與之匹配。

故選A和B。題目條件可能存在歧義或錯誤。

5.A,B,C,D

解析：l1:3x+4y-7=0，斜率k1=-3/4。

l2:2x-y+5=0，斜率k2=2。

兩直線垂直，k1*k2=-1。(-3/4)*2=-6/4=-3/2≠-1。所以l1與l2不垂直。

若l1與l2垂直，則k1*k2=-1，即(-3/4)*k2=-1，得k2=4/3。l2方程變?yōu)?x-y+5=0，即-y=-2x-5，得y=2x+5。這與l1方程3x+4y-7=0聯(lián)立，消去y得3x+4(2x+5)-7=0，即3x+8x+20-7=0，即11x+13=0，解得x=-13/11。代入y=2x+5得y=2*(-13/11)+5=-26/11+55/11=29/11。所以l1與l2垂直時，l2的方程為y=(4/3)x+5或2x-3y+15=0。選項中沒有匹配的。

由于l1與l2不垂直，它們之間的夾角θ滿足tan(θ)=|k1-k2|/|1+k1*k2|=|(-3/4)-2|/|1+(-3/4)*(2)|=|-11/4|/|1-6/4|=11/4/|-2/4|=11/4/2/4=11/2=5.5。夾角θ=arctan(5.5)。

夾角θ=arctan(5.5)≈79.7°。或者夾角θ'=arctan(2/3)≈33.7°。題目沒有提供選項。

看起來題目設置有問題，l1與l2不垂直，無法計算夾角。如果題目意圖是計算l1與l1垂直的直線（即l2）與l2的夾角，即計算l1與l2的夾角，則結(jié)果為arctan(5.5)。選項中沒有。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：f(x)=3x^2-4ax+2是二次函數(shù)，開口向上。頂點x坐標為x=-b/(2a)=-(-4a)/(2*3)=2a/3。頂點是最小值點。題目說在x=1時取得最小值，所以1=2a/3，解得a=3/2。此時函數(shù)為f(x)=3x^2-6x+2。最小值為f(1)=3*1^2-6*1+2=3-6+2=-1。但題目要求的是a的值，a=3/2。

2.(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析：|2x-1|>2等價于2x-1>2或2x-1<-2。

解2x-1>2得2x>3，即x>3/2。

解2x-1<-2得2x<-1，即x<-1/2。

所以解集為x∈(-∞,-1/2)∪(3/2,+∞)。

3.(3,-4)

解析：圓C:x^2+y^2-6x+8y-11=0。配方可得(x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=11+9+16，即(x-3)^2+(y+4)^2=36。圓心為(3,-4)，半徑為√36=6。

4.2^(n-1)+1

解析：方法一：嘗試找規(guī)律：

a_1=2

a_2=S_2-S_1+1=(a_1+a_2)-a_1+1=a_2-a_1+1。代入a_1=2得a_2-2+1=a_2-1=0。所以a_2=1。

a_3=S_3-S_2+1=(a_1+a_2+a_3)-(a_1+a_2)+1=a_3-a_1+1。代入a_1=2得a_3-2+1=a_3-1=0。所以a_3=1。

a_4=S_4-S_3+1=(a_1+a_2+a_3+a_4)-(a_1+a_2+a_3)+1=a_4-a_1+1。代入a_1=2得a_4-2+1=a_4-1=0。所以a_4=1。

看起來a_n在n≥2時都為1。但a_2的計算似乎有誤。重新分析題目條件：a_n=S_n-S_(n-1)+1。

a_1=2。

a_2=S_2-S_1+1=(a_1+a_2)-a_1+1=a_2-a_1+1。即a_2-2+1=a_2-1=0。所以a_2=1。

a_3=S_3-S_2+1=(a_1+a_2+a_3)-(a_1+a_2)+1=a_3-a_1+1。即a_3-2+1=a_3-1=0。所以a_3=1。

a_4=S_4-S_3+1=(a_1+a_2+a_3+a_4)-(a_1+a_2+a_3)+1=a_4-a_1+1。即a_4-2+1=a_4-1=0。所以a_4=1。

似乎a_n在n≥2時都為1。但這與S_n的關系需要檢查。

S_n=a_1+a_2+...+a_n=2+1+...+1=2+(n-1)*1=n+1。

a_n=S_n-S_(n-1)+1=(n+1)-(n)+1=2。

所以對于所有n≥1，a_n=2。

方法二：構造等比數(shù)列。

a_n=S_n-S_(n-1)+1。令b_n=a_n-1。則b_n=S_n-S_(n-1)=a_n。

所以b_n=a_n-1。

a_n=S_n-S_(n-1)+1=(a_1+a_2+...+a_n)-(a_1+a_2+...+a_(n-1))+1=a_n。

a_n=a_n-1+1=a_n。

這沒有提供新信息?？紤]b_n的定義：b_n=a_n-1。則a_n=b_n+1。

a_n=S_n-S_(n-1)+1=(b_1+1+b_2+1+...+b_n+1)-(b_1+1+b_2+1+...+b_(n-1)+1)+1

=(b_1+b_2+...+b_n+n)-(b_1+b_2+...+b_(n-1)+n-1)+1

=b_n+n-(n-1)+1=b_n+n-n+1=b_n+1。

所以a_n=b_n+1。這與b_n=a_n-1一致。

令b_n=c*r^(n-1)，則a_n=c*r^(n-1)+1。

a_1=c*r^0+1=c+1=2，得c=1。

a_2=c*r^1+1=1*r+1=r+1=1，得r=0。

這不合理。重新考慮b_n=c*r^(n-1)。

a_n=b_n+1=c*r^(n-1)+1。

a_1=c+1=2，得c=1。

a_2=c*r+1=1*r+1=r+1=1，得r=0。

不合理?？紤]等比數(shù)列變形。

a_n=2a_(n-1)+1。令b_n=a_n+1，則b_n=2(a_(n-1)+1)=2b_(n-1)。

所以{b_n}是首項為b_1=a_1+1=2+1=3，公比為2的等比數(shù)列。

b_n=3*2^(n-1)。

a_n=b_n-1=3*2^(n-1)-1。

令n=1，a_1=3*2^0-1=3-1=2。符合。

令n=2，a_2=3*2^1-1=6-1=5。但根據(jù)題目條件，a_2=S_2-S_1+1=(2+a_2)-2+1=a_2+1。所以a_2=1。矛盾。

看來題目條件a_n=S_n-S_(n-1)+1不足以唯一確定數(shù)列。題目可能存在錯誤或條件不充分。如果按照a_n=S_n-S_(n-1)，則a_n=2^(n-1)。此時S_n=2^n-1。代入a_n=S_n-S_(n-1)+1得2^(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)+1=2^n-1-2^(n-1)+1+1=2^n-2^(n-1)+1=2^(n-1)+1。這與a_n=2^(n-1)矛盾。所以題目條件有誤。

如果題目意圖是a_n=S_n-S_(n-1)+1=a_(n-1)+1，則a_n=a_(n-1)+1，即a_n-a_(n-1)=1。這是一個等差數(shù)列，公差為1。a_1=2。所以a_n=2+(n-1)*1=n+1。

所以a_n=n+1。

令n=1，a_1=1+1=2。符合。

令n=2，a_2=2+1=3。符合S_2=3,a_2=S_2-S_1+1=3-2+1=2。矛盾。

看來題目條件無法確定唯一數(shù)列。若必須給出一個答案，考慮a_n=2^(n-1)形式。a_1=1,a_2=2,a_3=4。S_1=1,S_2=3,S_3=7。a_2=S_2-S_1+1=3-1+1=3≠2。a_3=S_3-S_2+1=7-3+1=5≠4。不符合條件。考慮a_n=2^(n-1)+1。a_1=2,a_2=3,a_3=5。S_1=1,S_2=4,S_3=9。a_2=S_2-S_1+1=4-1+1=4≠3。a_3=S_3-S_2+1=9-4+1=6≠5。不符合條件?？雌饋眍}目條件a_n=S_n-S_(n-1)+1無法得到標準答案。如果題目意圖是a_n=S_n-S_(n-1)，則a_n=2^(n-1)。

所以