2022年高考數(shù)學考前30天題型突破專題1：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用（新高考） 一、高考命題規(guī)律揭秘1．規(guī)律小結(jié)函數(shù)作為高中數(shù)學內(nèi)容的一條主線，對整個高中數(shù)學有重要意義，每年高考卷都將其作為必考題，題目分布在選擇題和填空題。本專題常以基本函數(shù)、基本函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進行考查，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)（單調(diào)性、就行、對稱性、周期性）、圖像等，常與導數(shù)、不等式、方程等知識交匯命題，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想方法。同時加大對數(shù)學建模的考查力度，根據(jù)實際問題，建立函數(shù)模型或用已知模型解決實際問題，考查建模及應(yīng)用能力。2．考點頻度高頻考點：函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)。低頻考點：函數(shù)與方程。（由2021年高頻考點降為低頻考點）4．備考策略函數(shù)主要以課程學習情景為主，備考應(yīng)以常見的選擇題和填空題為主進行訓練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且常考常新。考生在備考時注意以下兩點。（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題，會識別函數(shù)圖像的變化。同時，指對運算也是?？疾榈闹R點，考生應(yīng)加強對公式的理解及應(yīng)用的訓練。（2）函數(shù)性質(zhì)、零點、圖像等問題是函數(shù)專題的重點考察內(nèi)容，注意函數(shù)的就行、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓練，為突破難點作好準備工作。二、高考真題演練1．【2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.2．【2021年全國新高考II卷數(shù)學】已知，，，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．3．【2021年全國新高考II卷數(shù)學】已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．三、知識點精講1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢，高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式，求最值。定理定理1：那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).定理2：（導數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間）若，那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).結(jié)論1.函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法)(2)作商法(3)導數(shù)法2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定對于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，當時，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性。3.由單調(diào)函數(shù)的四則運算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對于兩個單調(diào)函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當和具有相同的增減性時，①的增減性與相同，②、、的增減性不能確定；(2)當和具有相異的增減性時，我們假設(shè)為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：①的增減性不能確定；②、為增函數(shù)，為減函數(shù)。4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。2、函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì),對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中,而且利用對稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決,對稱關(guān)系同時還充分體現(xiàn)數(shù)學之美。1.函數(shù)的圖象的對稱性（自身）:定理1:函數(shù)的圖象關(guān)于直對稱特殊的有：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱（奇函數(shù)）。③函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對稱。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)）。函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點對稱。定理3：（性質(zhì)）①若函數(shù)y=f(x)的圖像有兩條鉛直對稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個周期。②若函數(shù)y=f(x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。③若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于點A(a,c)和點B(b,c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期。④若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對稱。2.兩個函數(shù)圖象的對稱性:①函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.②函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.特殊地:與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的解析式為④函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的解析式為⑤函數(shù)y=f(x)與a－x=f(a－y)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。函數(shù)y=f(x)與x－a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x－y=a成軸對稱。函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱。3．奇偶函數(shù)性質(zhì)對于兩個具有奇偶性的函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：（1）滿足定義式子（偶）（奇）（2）在原點有定義的奇函數(shù)有(3)當和具有相同的奇偶性時，假設(shè)為奇函數(shù)，那么：①函數(shù)、也為奇函數(shù)；簡單地說：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，

偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，簡單地說：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，

偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，

奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).③兩個偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)(4)當和具有相異的奇偶性時，那么：①、的奇偶性不能確定；②、、為奇函數(shù)。（6）任意函數(shù)均可表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。（7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)（8）圖形的對稱性關(guān)于軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）關(guān)于原點對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）（9）若是偶函數(shù)，則必有若是奇函數(shù)，則必有（10）若為偶函數(shù)，則必有若是奇函數(shù)，則必有（11）常見的奇偶函數(shù)3、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負值化正，求值。1.周期性的定義對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù)是函數(shù)的周期，那么、（）也是函數(shù)的周期。2.函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論2：如果（），那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對稱軸、對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點、（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點（）成中心對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點（）成中心對稱，且關(guān)于直線（）成軸對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個周期四、高考試題精講1．【2020年新高考全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天2．【2020年新高考全國Ⅰ卷】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是A． B．C． ．3．【2020年新高考全國Ⅰ卷】信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)4．【2021年全國新高考II卷數(shù)學】寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當時，；③是奇函數(shù)．五、函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用測試題(時間：60分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(－x2＋2x＋15),x＋1)的定義域為()A．[－3,5] B．[－3，－1)∪(－1,5]C．(－∞，－3]∪[5，＋∞) D．[－5，－1)∪(－1,3]2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－|x|C．y＝x3 D．y＝－x2＋13．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x2，x≤1，,x2－x－3，x>1，))則f(f(2))的值為()A．1B．3C．4D．－44．已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2x－1)＝2x2，則f(3)等于()A．8B．4C．18D．25．(2021·長春模擬)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,2x，x>0，))若f(a)＝10，則a的值為()A．5 B．－36．如果奇函數(shù)y＝f(x)在[－7，－1]上是減函數(shù)，且最大值是5，那么，f(x)在[1,7]上是()A．增函數(shù)，最大值為－5 B．減函數(shù)，最大值為－5C．減函數(shù)，最小值為－5 D．增函數(shù)，最小值為－57．已知f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且當x>1時，f(x)＝4x＋3.若a＝f(－1)，b＝f(0)，c＝f(eq\r(2))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<c<b B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a8．(2021·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，則f(－a)等于()A.eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)9．若函數(shù)f(x)滿足?a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝2，則eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2021,f2020)等于()A．2020B．2021C．4042D．404010．已知狄利克雷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是有理數(shù)，,0，x是無理數(shù)，))則下列結(jié)論不正確的是()A．f(x)的值域為{0,1} B．f(x)的定義域為RC．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是奇函數(shù)11．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，且f(2)＝0，則不等式x·f(－x)<0的解集是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)12．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意x∈R，都有f(x)＝f(－x)及f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，當x1，x2∈[0,2]且x1≠x2時，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，則下列四個結(jié)論中不正確的是()A．f(2)＝0B．函數(shù)f(x)在區(qū)間[－6，－4]上單調(diào)遞增C．直線x＝－4是函數(shù)f(x)的一條對稱軸D．方程f(x)＝0在區(qū)間[－6,6]上有4個不同的實根二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．(2021·長沙模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－a＋1,x2＋1)為奇函數(shù)，則a＝________.14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0))在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．15．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x＋2)＝f(－x)，當x∈[0,1)時，f(x)＝x2，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,2)))＝________.16．若函數(shù)f(x)在定義域D內(nèi)的某個區(qū)間M上是增函數(shù)，且eq\f(fx,x)在M上是減函數(shù)，則稱f(x)在M上是“弱增函數(shù)”．已知函數(shù)g(x)＝x2＋