第29講簡單的數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型來進行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題.

數(shù)學(xué)模型一般是實際事物的一種數(shù)學(xué)簡化，它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質(zhì)的區(qū)別.要描述一個實際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音、錄像等.為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)語言，使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象的過程.也就是說，數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)具體問題，在一定假設(shè)下找出這個問題的數(shù)學(xué)框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一種形象和邏輯思維相結(jié)合的十分重要的數(shù)學(xué)思考方法，是通過抓住研究對象的重要特征，從而進行簡化、假設(shè)、抽象而構(gòu)造出來的令人信服的科學(xué)形態(tài).數(shù)學(xué)建模的一般步驟如下：（1）認真觀察，分析變量，找出特征.（2）尋求與該特征相吻合的數(shù)學(xué)模型.（3）總結(jié)“模型”的適用范圍，檢驗?zāi)Ｐ?（4）解決數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用關(guān)系，穩(wěn)定運行，及時拓展.知識點一：數(shù)式運算模型的應(yīng)用&1&

新學(xué)期，兩摞規(guī)格相同的數(shù)學(xué)課本整齊地疊放在講臺上，左邊一摞有3本，右邊一摞有6本，請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：

0.585

思路點撥

用高的一摞書距離地面的距離減去低的一摞書距離地面的距離后除以3即為每本書的厚度;用低的一摞書的高度減去3本書的厚度即為課桌的高度，

（3）若桌面上有54本與（1）中相同的數(shù)學(xué)課本，整齊疊放成一摞，若有16名同學(xué)各從中取走1本，求余下的數(shù)學(xué)課本高出地面的距離.

方法提煉

對于生活中的數(shù)學(xué)問題，首先要理解題意，找出其中的數(shù)量關(guān)系，其次是將問題數(shù)學(xué)化，即用數(shù)學(xué)的符號語言描述題中的數(shù)量關(guān)系，最后選擇合理的數(shù)學(xué)模型解決問題.而代數(shù)式及其運算是最常用的數(shù)學(xué)模型.

一次購買蘋果的數(shù)量/千克2050100

甲批發(fā)店花費/元120

600

乙批發(fā)店花費/元

350

300140600.

①甲批發(fā)店所花費的錢數(shù)為_

___元.

②當(dāng)一次購買數(shù)量不超過50千克時，乙批發(fā)店所花費的錢數(shù)為_

___元.

③當(dāng)一次購買數(shù)量超過50千克時，乙批發(fā)店所花費的錢數(shù)為_________________元.

（3）如果小王在同一個批發(fā)店一次購買120千克的蘋果，通過計算說明他在哪個批發(fā)店購買更實惠.

知識點二：方程模型的應(yīng)用&3&

某校七（3）班組織生活小常識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答.下表記錄了其中4位參賽者的得分情況.參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分/分

200120

①2106

②③78

10④50（1）求答錯一道題的得分情況.

（2）補全表格.①____；②____；③___；④____.1814610.

思路點撥

假設(shè)可能，列方程判斷方程的解是否為整數(shù)即可.

方法提煉

本題考查方程模型的應(yīng)用，即在解決數(shù)學(xué)問題時，通過設(shè)元從未知轉(zhuǎn)化為已知，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程或方程組完成未知向已知的轉(zhuǎn)化.&4&

某市積極推行居民醫(yī)療保險制度，享受醫(yī)保的居民可在定點醫(yī)院就醫(yī)，在規(guī)定的藥品品種范圍內(nèi)用藥，醫(yī)療費用直接報銷.醫(yī)療費的報銷比例標準如下表所示：費用范圍500元以下（含500元）超過500元且不超過10000元的部分超過10000元的部分報銷比例標準不予報銷

（1）若張大爺某次就醫(yī)的醫(yī)療費為2800元，求張大爺按標準能報銷多少元.

（3）若王阿姨某次就醫(yī)的自付醫(yī)療費為5350元，求王阿姨該次就醫(yī)的醫(yī)療費為多少元.

&5&

【問題提出】某校要舉辦足球賽，若有5支球隊進行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？

【構(gòu)建模型】生活中的許多實際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題.為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：

（2）若學(xué)校有6支足球隊進行單循環(huán)比賽，借助圖2，我們可知該校一共要安排____場比賽.15

思路點撥

根據(jù)圖2即可得結(jié)果.

【實際應(yīng)用】

9月1日開學(xué)時，老師為了讓全班新同學(xué)互相認識，請班上42位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手_____次.861

思路點撥

根據(jù)(3)中的規(guī)律即可得到班上42位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，總共握手的次數(shù).

72

思路點撥

中途經(jīng)過7個車站，共9個站往返行車，再根據(jù)以上規(guī)律即可得結(jié)論.

A

AA.方案一售價更高

B.方案二售價更高C.兩種方案售價相同

D.哪種方案售價高不確定

CA.2.5

B.3.5

C.5.5

D.6.5

C

5.“十一”黃金周期間，許多商家會推出優(yōu)惠促銷活動.小明的新衣服是商家打折促銷后買的.上衣原價120元，打了六折買的，褲子打了七折買的，一共花了128元錢，則小明的褲子的原價是____元.80

7

82.2

8.《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”.如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進一，用來記1838

錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的野果數(shù)量為______個.

品名單價（元/棵）栽樹勞務(wù)費（元/棵）成活率

153

204

（1）求購買這兩種樹苗各多少棵.

CA.3

B.13

C.6

D.8

C

或

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-8