第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省莆田四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z滿足zi=|3+4i|，則復(fù)數(shù)z的虛部是(

)A.1 B.i C.?5 D.?5i2.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，則平面圖形ABCD中對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為(

)A.5

B.3

C.23.如圖所示，D，E為△ABC邊BC上的三等分點(diǎn)，且|AB|=|AC|A.AD=AE

B.BD=CE

C.AB4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是棱B1C1，C1A.π6

B.π4

C.π3

5.若底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓錐的表面積與直徑為l的球的表面積相等，則rl=(

)A.5?1 B.5?12 6.歐拉公式eix=cosx+isinx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的兩根為z1，z2A.復(fù)數(shù)ei3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

B.z2=1?i

C.|a+bi|=2

D.若復(fù)數(shù)z滿足7.在△ABC中，已知(a2+b2)A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)P在球O的正方體外部(A.2 B.74 C.34 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知α，β是空間中的兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線.下列命題正確的是(

)A.若l//α，α//β，則l//β

B.若m⊥α，m/?/n，n?β，則α⊥β

C.若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥β

D.若m⊥α，n⊥β，α//β，則m//n10.設(shè)z1，z2，z3是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是A.若|z1?z2|=0，則z1?=z2? B.若z111.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足12b?a+2asin2A.角C一定為銳角 B.tanAtanC=?13

C.a2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知OA=(1,2)，OB=(3,?4)，則AB在OA方向上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____．13.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC，若AC=39，sin∠ACF=1313，則14.在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，邊長(zhǎng)為2，∠BAD=π3，側(cè)棱長(zhǎng)2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|3a?b|=3．

(1)求|2a+3b|的值；16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱(1)證明：AB1//平面C1BD；

(2)證明：平面17.(本小題15分)

在△ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且bsinA+sinC=a?csinB?sinC．

(1)求角A的大??；

(2)若sinBsinC=1418.(本小題17分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足b=2,bsinB+3asinC=asin(B+C)+csinC．

(1)求B；

(2)若D，E為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAE=60°,19.(本小題17分)

定義：多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，Qi(i=1,2,…,k,k≥3且k∈N?)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk?1P

答案解析1.【答案】C

【解析】解：由zi=|3+4i|，得z=|3+4i|i=5i=5(?i)i×(?i)=?5i，則z的虛部為?5．

故選：C2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，梯形梯形A′B′C′D′中，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，

由斜二測(cè)畫法還原原圖：易得原圖是直角梯形ABCD，

其中AB=2A′B′=2，BC=B′C′=1，

所以AC=AB2+BC2=4+1=5．3.【答案】D

【解析】解：AD,AE方向不同不能相等，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

BD,CE方向相反不能相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若AB+AE=AC+AD，則AB?AC=AD?AE,CB=ED不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D，4.【答案】C

【解析】解：如圖，連接B1A，B1C，AC，

易證HG//AB1，EF/?/CB1，

∴異面直線EF與GH所成的角為∠AB1C或其補(bǔ)角，

又△ABC為等邊三角形，

即∠AB1C=π3，

∴5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓錐與球的表面積，屬基礎(chǔ)題．

利用圓錐表面積以及球的表面積公式建立方程，即可求解．【解答】

解：因?yàn)榈酌姘霃綖閞，母線長(zhǎng)為l的圓錐的表面積與直徑為l的球的表面積相等，

又圓錐的表面積為πrl+πr2，球的表面積為4π(l2)2=πl(wèi)2，

所以πrl+πr26.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閑i3=cos3+isin3，而π2<3<π，即cos3<0，sin3>0，

則復(fù)數(shù)ei3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(cos3,sin3)位于第二象限，故A正確；

因?yàn)閑ix=cosx+isinx，所以z1=2eπ4i=2(cosπ4+isinπ4)=1+i．

又因?yàn)樵趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的兩根為z1，z2，

所以z1+z2=?a，且(1+i)2+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0，

則a+b=0，2+a=0，解得：a=?2，b=2，所以z2=?a?z1=2?1?i=1?i，故B正確；

|a+bi|=|?2+2i|=(?2)2+22=22，故7.【答案】D

【解析】解：∵(a2+b2)(sinAcosB?cosAsinB)=(a2?b2)(sinAcosB+cosAsinB)，

∴a2sinAcosB?a2cosAsinB+b2sinAcosB?b2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinB?b2sinAcosB?b2cosAsinB，

整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB8.【答案】B

【解析】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，

則PA?PB=(PQ+QA)?(PQ+QB)

=(PQ+QA)?(PQ?QA)

=PQ2?9.【答案】BD

【解析】解：若α/?/β，l/?/α，則l/?/β或l?β，故A錯(cuò)誤；

若m/?/n，m⊥α，則n⊥α，又n?β，所以α⊥β，故B正確；

若m⊥n，m⊥α，則n/?/α或n?α，又n/?/β，則兩平面相交或平行，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閚⊥β，α/?/β，根據(jù)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，

那么它也垂直于另一個(gè)平面，可得n⊥α．

又因?yàn)閙⊥α，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，所以m/?/n，故D正確．

故選：BD．

根據(jù)點(diǎn)，線，面位置關(guān)系的定理和性質(zhì)逐一判斷即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬中檔題．10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，若|z1?z2|=0，則z1?z2=0，z1=z2，所以z1?=z2?，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，令z1=0，z2=i，z3=1?i，所以z1z2=z1z3=0，但z2≠z3，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)z1=a1+b1i，11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A，由12b?a+2asin2A+B2=0可得12b?a+2a?1?cos(A+B)2=0，

在△ABC中，cos(A+B)=?cosC，代入整理可得：b+2acosC=0，則cosC=?b2a<0，角C為鈍角，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由A選項(xiàng)可知b+2acosC=0，利用正弦定理可得sinB=?2sinAcosC，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

代入上式整理可得sinAcosC+cosAsinC=?2sinAcosC，

即3sinAcosC+cosAsinC=0，顯然cosA≠0，cosC≠0，兩邊同時(shí)除以cosAcosC，

可得3tanA+tanC=0，因tanC≠0，則tanAtanC=?13成立，故B正確；

對(duì)于C，由A選項(xiàng)知b+2acosC=0，由余弦定理可得b+2acosC=b+2a?a2+b2?c22ab=0，

化簡(jiǎn)得：b2+a2+b2?c2=0，即a2+2b2?c2=0，故C正確；

對(duì)于D，由B選項(xiàng)，tanAtanC=?1312.【答案】(?2,?4)

【解析】解：由已知得，AB=OB?OA=(3,?4)?(1,2)=(2,?6)，

所以，AB在OA方向上的投影向量為AB?OA|OA|213.【答案】3

【解析】解：在△ACF中，∠AFC=180°?60°=120°，

由正弦定理可知，AFsin∠ACF=ACsin∠AFC，

即AF1313=3932，則AF=CE=2，

在△ACF中，|AC|2=|AF|2+|CF|2?2|AF||CF|cos∠AFC，

即39=4+CF2?2×2×CF×(?14.【答案】2π3【解析】解：如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)A1作A1E⊥C1D1，過(guò)點(diǎn)E作EE1⊥CD，

因?yàn)樗睦庵鵄BCD?A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1⊥平面A1B1C1D1，

因?yàn)锳1E?平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1E，

又因?yàn)锳1E⊥C1D1，DD1∩C1D1=D1，DD1?平面DCC1D1，D1C1?平面DCC1D1，

所以A1E⊥平面DC15.【答案】解：(1)∵向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|3a?b|=3，

∴|3a?b|2=9a2?6a?b+b2=13?6a【解析】(1)利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；

(2)利用平面向量數(shù)量積和兩向量的夾角公式即可求解．

本題考查了平面向量數(shù)量積和兩向量的夾角計(jì)算，屬于中檔題．16.【答案】證明過(guò)程見(jiàn)詳解；

證明過(guò)程見(jiàn)詳解．

【解析】證明：(1)連結(jié)B1C交BC1于O，連結(jié)DO，

在正三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1//CC1且BB1=CC1，

所以四邊形BB1C1C是平行四邊形，O為B1C的中點(diǎn)，

因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D為△AB1C的中位線，AB1/?/OD，

因?yàn)锳B?平面C1BD，OD?平面C1BD，

所以AB1//平面C1BD；

(2)解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1/?/CC1且AA1=CC1，

AC=AA1，AA1⊥AC，

所以四邊形ACC1A1是正方形，

所以AC1⊥A1C，

因?yàn)镈，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)，所以AC1//DE，

又因?yàn)锳C1⊥A1C，所以DE⊥A1C，

在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，BD?平面ABC，

17.【答案】解：(1)△ABC中，bsinA+sinC=a?csinB?sinC，

所以ba?c=sinA+sinCsinB?sinC，

由正弦定理得，ba?c=a+cb?c，即a2=b2+c2?bc，

由余弦定理得，a2=b2+c2?2bc?【解析】(1)根據(jù)正弦定理和余弦定理，即可求出A的值；

(2)由正弦定理求出三角形外接圓的半徑R，即可求得a的值．

本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.【答案】π6；

[【解析】(1)根據(jù)題意可知，bsinB+3asinC=asin(B+C)+csinC，∵A+B+C=π，

∴sin(B+C)=sin(π?A)=sinA，

根據(jù)正弦定理可得，b2+3ac=a2+c2，

根據(jù)余弦定理cosB=a2+c2?b22ac，cosB=3ac2ac=32

∵0<B<π，∴B=π6；

(2)根據(jù)三角形面積公式可知，S△ABC=12acsinB=14ac=3，∴ac=43，

∵b2=a2+c2?2accosB=a2+c2?12=4，∴a2+c2=16，

a=2c=23或a=23c=2，

又∠BAC>∠DAE=60°，∴a>b=219.【答案】解：(1)在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，CD=2，DP=23，

∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥CD，

∵tan∠DCP=PDCD=232=3，∴∠DCP=π3．

∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，

∵BC⊥CD，PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，∴BC⊥平面PCD，

∵PC?平面PCD，∴BC⊥PC，∴∠PCB=π2，

多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，

其中P