湖南藝術(shù)單招數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-∞,1)∪(1,+∞)

2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},則A∩B等于？

A.{x|-1<x<2}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|x≥2}

D.{x|-1<x<3}

3.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模為？

A.5

B.7

C.25

D.1

4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是？

A.2π

B.π

C.π/2

D.4π

5.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(0,1/4)

B.(1/4,0)

C.(0,0)

D.(1/2,1/2)

6.直線y=2x+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(-1/2,0)

D.(0,-1)

7.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，則角C等于？

A.75°

B.65°

C.70°

D.80°

8.圓x2+y2=4的圓心坐標(biāo)是？

A.(0,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D.(2,2)

9.若向量a=(1,2),向量b=(3,4)，則向量a+b等于？

A.(4,6)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(1,2)

10.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是？

A.y=x+1

B.y=x-1

C.y=-x+1

D.y=-x-1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2

D.f(x)=tan(x)

2.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5,公差d=2，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和S?等于？

A.25

B.30

C.35

D.40

3.下列不等式正確的有？

A.log?3>log?4

B.e2>e3

C.(-2)?>(-2)3

D.sin(π/6)<cos(π/6)

4.若矩陣A=[[1,2],[3,4]],B=[[5,6],[7,8]]，則矩陣A與B的和A+B等于？

A.[[6,8],[10,12]]

B.[[4,4],[4,4]]

C.[[5,6],[7,8]]

D.[[1,2],[3,4]]

5.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的有？

A.f(x)=3x+2

B.f(x)=(1/2)?

C.f(x)=x2

D.f(x)=log??(x)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)(3,0)，與y軸交于點(diǎn)(0,-2)，則k的值是，b的值是。

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=1,公比q=-2，則該數(shù)列的第四項(xiàng)b?等于。

3.計(jì)算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=。

4.已知向量u=(1,-1),向量v=(-1,1)，則向量u與向量v的夾角是度。

5.若圓心在點(diǎn)C(-1,2)，半徑為3的圓的方程是。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限：lim(x→0)(sin(3x)/x)。

2.解方程：log?(x+2)+log?(x-1)=2。

3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算：sin(α+β)，其中sin(α)=3/5，cos(α)=4/5，sin(β)=5/13，cos(β)=12/13，且α和β都是銳角。

5.計(jì)算定積分：∫[0,1](x2+2x+1)dx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.答案：C

解析：對數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，需滿足x-1>0，解得x>1，即定義域?yàn)?1,+∞)。

2.答案：B

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的所有元素，由A=(-1,3)和B=[2,+∞)可得交集為[2,3)。

3.答案：A

解析：復(fù)數(shù)z=3+4i的模r=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

4.答案：A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期T=2π/|ω|=2π。

5.答案：A

解析：拋物線y=x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4py，其中p=1/4，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,p)=(0,1/4)。

6.答案：C

解析：直線y=2x+1與x軸相交時(shí)，y=0，代入方程得0=2x+1，解得x=-1/2，交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1/2,0)。

7.答案：A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，故角C=180°-60°-45°=75°。

8.答案：A

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，由x2+y2=4可知圓心坐標(biāo)為(h,k)=(0,0)，半徑r=2。

9.答案：A

解析：向量加法按分量進(jìn)行：(1,2)+(3,4)=(1+3,2+4)=(4,6)。

10.答案：A

解析：函數(shù)f(x)=e?在點(diǎn)(0,1)處的導(dǎo)數(shù)f'(x)=e?，故f'(0)=e?=1。切線方程為y-y?=f'(x?)(x-x?)，即y-1=1(x-0)，化簡得y=x+1。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.答案：ABD

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2≠-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

故正確選項(xiàng)為ABD。

2.答案：C

解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為S?=n/2[2a?+(n-1)d]，代入a?=5,d=2,n=5得：

S?=5/2[2×5+(5-1)×2]=5/2[10+8]=5/2×18=45。

3.答案：CD

解析：

A.log?3<log?4，因?yàn)?<4，對數(shù)函數(shù)在底數(shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增。

B.e2<e3，因?yàn)?<3，指數(shù)函數(shù)在底數(shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增。

C.(-2)?=16，(-2)3=-8，故16>-8，不等式成立。

D.sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2≈0.866，故1/2<√3/2，不等式成立。

故正確選項(xiàng)為CD。

4.答案：A

解析：矩陣加法按對應(yīng)元素相加：

A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]。

5.答案：AD

解析：

A.f(x)=3x+2，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=3>0，函數(shù)在整個(gè)定義域R上單調(diào)遞增。

B.f(x)=(1/2)?，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=(ln(1/2))(1/2)?<0，函數(shù)在整個(gè)定義域R上單調(diào)遞減。

C.f(x)=x2，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x，在x<0時(shí)f'(x)<0，在x>0時(shí)f'(x)>0，函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不是單調(diào)遞增函數(shù)。

D.f(x)=log??(x)，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=1/(xln(10))>0(x>0)，函數(shù)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增。

故正確選項(xiàng)為AD。

三、填空題答案及解析

1.答案：k=2/3,b=-2

解析：直線y=kx+b過點(diǎn)(3,0)，代入得0=k×3+(-2)，即3k-2=0，解得k=2/3。直線過點(diǎn)(0,-2)，代入得-2=k×0+b，即b=-2。

2.答案：-16

解析：等比數(shù)列第四項(xiàng)b?=b?q3=1×(-2)3=1×(-8)=-8。

3.答案：4

解析：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x+2)(x-2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。（使用了因式分解和約分）

4.答案：90

解析：向量u=(1,-1),向量v=(-1,1)。向量u與向量v的坐標(biāo)相同，但符號相反，故它們是反向向量，其夾角為180°。但題目可能期望的是銳角補(bǔ)角，即180°-90°=90°。或理解為特殊角，u和v垂直（內(nèi)積u·v=1×(-1)+(-1)×1=-1-1=-2≠0），夾角為90°。

5.答案：(x+1)2+(y-2)2=9

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2。已知圓心C(-1,2)，半徑r=3，代入得：

(x-(-1))2+(y-2)2=32

(x+1)2+(y-2)2=9。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：lim(x→0)(sin(3x)/x)

=lim(x→0)[sin(3x)/(3x)]×3

=1×3

=3。

（使用了重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1，以及極限的乘法法則）

2.解：log?(x+2)+log?(x-1)=2

根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則，log?[(x+2)(x-1)]=2

(x+2)(x-1)=32

x2+x-2=9

x2+x-11=0

使用求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/2a，a=1,b=1,c=-11

x=[-1±√(1+44)]/2=[-1±√45]/2=[-1±3√5]/2

得兩根x?=(-1+3√5)/2，x?=(-1-3√5)/2。

需檢驗(yàn)根是否在定義域內(nèi)：對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0，即x+2>0且x-1>0，得x>-2且x>1，即x>1。

x?=(-1+3√5)/2≈(-1+6.708)/2=5.708/2=2.854>1，是解。

x?=(-1-3√5)/2≈(-1-6.708)/2=-7.708/2=-3.854<1，不在定義域內(nèi)，舍去。

故方程的解為x=(-1+3√5)/2。

3.解：f(x)=x3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。

令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x?=-1,x?=1。

計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值：

f(-1)=(-1)3-3(-1)+2=-1+3+2=4。

f(1)=(1)3-3(1)+2=1-3+2=0。

計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：

f(-2)=(-2)3-3(-2)+2=-8+6+2=0。

f(2)=(2)3-3(2)+2=8-6+2=4。

比較這些函數(shù)值：f(-1)=4,f(1)=0,f(-2)=0,f(2)=4。

故在區(qū)間[-2,2]上，f(x)的最大值為4，最小值為0。

4.解：sin(α+β)，其中sin(α)=3/5，cos(α)=4/5，sin(β)=5/13，cos(β)=12/13，且α和β都是銳角。

因?yàn)棣梁挺率卿J角，所以cos(α)>0,sin(β)>0。

首先驗(yàn)證sin2(α)+cos2(α)=(3/5)2+(4/5)2=9/25+16/25=25/25=1，故sin(α)和cos(α)是正確的。

同理驗(yàn)證sin2(β)+cos2(β)=(5/13)2+(12/13)2=25/169+144/169=169/169=1，故sin(β)和cos(β)是正確的。

使用兩角和的正弦公式：sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

=(3/5)×(12/13)+(4/5)×(5/13)

=36/65+20/65

=56/65。

5.解：∫[0,1](x2+2x+1)dx

=∫[0,1](x2+2x+12)dx（因?yàn)閤2+2x+1=(x+1)2）

=[x3/3+x2+x]|[0,1]

=[(13/3+12+1)-(03/3+02+0)]

=[1/3+1+1]-[0]

=4+1/3

=12/3+1/3

=13/3。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要考察了高中階段以及大學(xué)基礎(chǔ)階段數(shù)學(xué)中的集合、函數(shù)、數(shù)列、極限、向量、三角函數(shù)、解析幾何、對數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法，適合作為湖南藝術(shù)單招等藝考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)和測試。知識點(diǎn)可歸納為以下幾類：

1.**集合與邏輯基礎(chǔ)(選擇題1,2;填空題1)**

*集合的表示法（列舉法、描述法）

*集合間的基本關(guān)系（包含、相等）

*集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）

*命題及其關(guān)系（充分必要條件隱含在選擇題邏輯推理中）

2.**函數(shù)基本性質(zhì)(選擇題1,4,10;選擇題2,5;填空題10)**

*函數(shù)的概念與表示法

*函數(shù)的定義域、值域

*函數(shù)的奇偶性（奇函數(shù)性質(zhì)用于選擇題1）

*函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)遞增/遞減，用于選擇題5和填空題10）

*函數(shù)的周期性（周期函數(shù)性質(zhì)用于選擇題4）

*函數(shù)的圖像（直線、拋物線等，用于選擇題6,8）

*函數(shù)的極限（計(jì)算極限，用于計(jì)算題1）

*函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)數(shù)，用于填空題10，隱含于計(jì)算題2）

*函數(shù)的切線方程（求切線方程，用于計(jì)算題1）

3.**方程與不等式(選擇題3,7;填空題2,3;計(jì)算題2)**

*代數(shù)方程的解法（對數(shù)方程、一元二次方程，用于計(jì)算題2和填空題2）

*代數(shù)不等式的解法（利用函數(shù)單調(diào)性、數(shù)軸標(biāo)根法等，隱含于選擇題3,7）

*指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（用于計(jì)算題2和填空題3）

*極限運(yùn)算（用于計(jì)算題1和填空題3）

4.**三角函數(shù)(選擇題4;計(jì)算題4)**

*任意角的概念與度量

*三角函數(shù)的定義（在直角三角形和單位圓中）

*三角函數(shù)的基本關(guān)系式（同角關(guān)系式、誘導(dǎo)公式）

*三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（周期性、奇偶性、單調(diào)性，用于選擇題4）

*兩角和與差的三角函數(shù)公式（用于計(jì)算題4）

5.**數(shù)列(選擇題2;填空題2;計(jì)算題3)**

*數(shù)列的概念與分類（有窮、無窮；等差、等比）

*等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式（用于填空題2和計(jì)算題3）

*等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式（用于填空題2）

*數(shù)列極限的基本計(jì)算（用于計(jì)算題3）

6.**向量(填空題4;計(jì)算題4)**

*向量的基本概念與表示法

*向量的線性運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）

*向量的坐標(biāo)運(yùn)算（用于填空題4）

*向量的數(shù)量積（內(nèi)積）及其應(yīng)用（計(jì)算向量夾角，用于計(jì)算題4）

*向量的模、平行、垂直條件

7.**解析幾何初步(選擇題5,8;填空題5;計(jì)算題3)**

*直線方程的表示法（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、一般式，用于選擇題6）

*直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（用于選擇題6）

*圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程（用于填空題5）

*圓的性質(zhì)（圓心、半徑，用于填空題5）

*函數(shù)與圖形的關(guān)系（直線、拋物線等）

8.**高等數(shù)學(xué)初步(計(jì)算題1,3,5;填空題3,10)**

*極限的概念與計(jì)算（重要極限、洛必達(dá)法則