四川省眉山市眉山縣級學校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一．單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.設函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，故選：B．2.《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學著作，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裊、上造、公士（爵位依次降低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若上造出27錢，則公士出錢數(shù)為（

）A.31錢 B.32錢 C.33錢 D.34錢【答案】D【解析】設等差數(shù)列公差為，為5人出錢數(shù)依次為，依題意，，解得，所以公士出錢數(shù)為34錢.故選：D3.已知數(shù)列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故可得，又，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，解得，則.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以當時，，，…，，累加可得，因為，所以，當時，，滿足上式，所以，故選：B．5.若等比數(shù)列的前項和為，，則（）A.3 B.7 C.10 D.15【答案】D【解析】因為等比數(shù)列的前項和為，，所以公比，所以，所以，所以所以故選：D6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由函數(shù)單調(diào)遞減可得恒成立，因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B7.記定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設，因為，設，則,所以在單調(diào)遞增，所以，即，從而．故選：A．8.已知函數(shù)，記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B. C.2025 D.4045【答案】A【解析】令，則的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，因為與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，則，因為，所以，所以，即.所以，.故選：A.二．多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，為其前項和，若滿足且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.當且僅當n=7或8時，取得最大值.【答案】ABC【解析】依題意，，所以，所以A正確，B正確.，所以C正確.由于，所以數(shù)列的前項都為正數(shù)，從第8項開始是負數(shù)，所以當且僅當或7時，取得最大值故D錯誤．故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.的極小值為B.有兩個零點C.存在使得關于的方程有三個不同的實根D.的解集為【答案】AC【解析】函數(shù)的定義域為，，由得或；由得，有極大值，極小值，A正確；由極大值和極小值均小于0知最多一個零點，B不正確；當時，，當時，，當時，有三個不同的實根，C正確；當時，，此時，D不正確．故選：AC．11.已知函數(shù).若曲線恰有三條過點的切線，其中實數(shù)的所有取值組成集合的所有取值組成集合，則下列說法正確的有（）A. B.若，則C.直線上存在滿足要求的點 D.直線上存在滿足要求的點【答案】BD【解析】A.，則，設切點，，所以切線方程為，切線過點，所以，則，則，此時只有唯一切點，所以過點的切線只有1條，不滿足條件，故A錯誤；B.若點，在由A可知，，整理為，設，，得或，當，得或，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值是，極小值是，所以與軸有3個交點，即方程有3個實數(shù)根，即有個切點，所以過點的切線有3條，滿足條件，故B正確；C.設，則，整理為，得，設，，所以單調(diào)遞增，則與只有1個交點，即方程只有1個實數(shù)根，即只有1個切點，1條切線，所以直線上不存在滿足要求的點，故C錯誤；D.設，則，整理為，得，，設，，得或，，得或，，得，或或，所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是和和如圖畫出函數(shù)圖象，由圖象可知，與存在3個交點，即方程存在3個實數(shù)根，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為，且，則的值等于_____________．【答案】【解析】因為，可設，則．故答案為：13.已知數(shù)列滿足，設數(shù)列的前項和為，則=________【答案】【解析】數(shù)列滿足，當時，，兩式相減得，因此，而滿足上式，于是，顯然，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故答案為：14.設函數(shù)，若有兩個極值點，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域為，，有兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，，，，，；設，則，在上單調(diào)遞減，，即，的最小值為.故答案為：四．解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且.（1）求、的通項公式：（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，即，，即，則，所以，整理可得即，解得或（舍去）.所以，則，解得或（舍去），故.所以，.（2）由（1）知，，則..16.已知函數(shù)在和處取得極值．（1）求、的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為，則，函數(shù)在和處取得極值．，，聯(lián)立解得：，．且當，，，則，由可得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，合乎題意.因此，，．（2）由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當時，，要使得對任意，不等式恒成立，則需，故，即，解得或，的取值范圍是．17.記為等比數(shù)列的前項和，已知，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列和的通項公式．（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設等比數(shù)列的公比為，由，可得，因為，可得，可得，即，整理得，解得或，當時，，不合題意，舍去；當，可得，所以數(shù)列的通項公式為，則.又由，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，可得，即，解得，所以故數(shù)列通項公式為．（2）由（1）知：，，可得，因為數(shù)列的前項和為，可得，則，兩式相減，可得，所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線的對稱中心；（2）證明：有三個零點；（3）設曲線與軸的交點從左到右依次為，過作直線與曲線相切，切點為（異于），證明：．解：（1）設，則.，所以是奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關于原點對稱，即曲線對稱中心是.的對稱中心為.（2）已知.當時，，，所以.當時，，，所以.當時，，，所以.所以在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以是的極大值點，是的極小值點.由，，，.根據(jù)零點存在定理和函數(shù)單調(diào)性可得在區(qū)間內(nèi)有一個零點，在區(qū)間內(nèi)有一個零點；區(qū)間內(nèi)有一個零點.綜上，有三個零點.（3）已知函數(shù)與軸交于，，，根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)，可設.因為直線過點且斜率存在且不為，設直線的方程為.切點的坐標是直線：與曲線的公共點，所以聯(lián)立方程組，消去可得.當（因為是直線與軸交點的橫坐標，這里考慮的是除點外的切點情況），兩邊同時除以，得到.所以（記為）.因為直線與曲線相切，所以方程有兩個相等的實根在方程中，設切點的橫坐標為，因為兩根相等都為，所以，即.點，，則中點的橫坐標為.因為在軸上的射影的橫坐標就是點的橫坐標，所以在軸上的射影為的中點，即在的垂直平分線上.所以.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與曲線只有一個公共點，求實數(shù)的值；（2）若方程有兩個不同的解，且，①求實數(shù)的范圍，試比較與的大小關系，并說明理由；②證明：解：（1），曲線在處的切線斜率為，所以曲線在處的切線方程為．由于切線與曲線只有一個公共點，得有且只有