第01講導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過具體實(shí)例了解函數(shù)的平均變化率．2.通過對(duì)實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.3.理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).4.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.1．求函數(shù)的平均變化率，了解平均變化率在實(shí)際問題中的應(yīng)用.2．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率.3．掌握導(dǎo)數(shù)的概念以及幾何意義，會(huì)處理曲線的切線問題.知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的平均變化率1．函數(shù)的平均變化率的概念一般地，若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，則(1)自變量的改變量Δx＝x2－x1；(2)因變量的改變量Δy＝y(tǒng)2－y1；(3)f(x)在[x1，x2]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【解讀】(1)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率應(yīng)注意的問題①平均變化率的公式中，分子是區(qū)間兩端點(diǎn)間的函數(shù)值的差，分母是區(qū)間兩端點(diǎn)間的自變量的差．②平均變化率的公式中，分子、分母中被減數(shù)同為右端點(diǎn)，減數(shù)同為左端點(diǎn)．(2)一次函數(shù)的平均變化率一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)在區(qū)間[m，n]上的平均變化率為eq\f(fn－fm,n－m)＝eq\f(kn＋b－km＋b,n－m)＝k.由上述計(jì)算可知，一次函數(shù)y＝kx＋b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率與m，n的值無關(guān)，只與一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，且其平均變化率等于一次項(xiàng)的系數(shù)．2．平均變化率的實(shí)際意義在以x1，x2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上，自變量每增減1個(gè)單位，因變量平均將增減eq\f(Δy,Δx)個(gè)單位．因此，如果自變量增減h個(gè)單位，那么因變量將增減eq\f(Δy,Δx)h個(gè)單位．3．平均變化率的幾何意義eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示函數(shù)y＝f(x)圖象上過一點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割線的斜率．4．平均速度與平均變化率如果物體運(yùn)動(dòng)的位移xm與地址ts的關(guān)系為x＝h(t)，則物體在[t1，t2](t1<t2時(shí))或[t2，t1](t2＜t1時(shí))這段地址內(nèi)的平均速度為eq\f(ht2－h(huán)t1,t2－t1)(m/s)．即物體在某段地址內(nèi)的平均速度等于x＝h(t)在該段地址內(nèi)的平均變化率．【即學(xué)即練1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）一質(zhì)點(diǎn)按運(yùn)動(dòng)方程（s的單位為米，t的單位為秒）做直線運(yùn)動(dòng)，則其從秒到秒這段地址里的平均速度（單位：米/秒）為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)1．瞬時(shí)變化率一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0附近有定義，自變量在x＝x0處的改變量為Δx，當(dāng)Δx無限接近于0時(shí)，若平均變化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)無限接近于一個(gè)常數(shù)k，那么稱常數(shù)k為函數(shù)f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率．2．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，也稱f(x)在x0處可導(dǎo)，并稱k為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)＝k.(2)“當(dāng)Δx無限接近于0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)無限接近于常數(shù)k”也常用符號(hào)“→”(讀作“趨向于”)表示為當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→k，或者寫成eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).【即學(xué)即練2】1.（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若某氣球起始時(shí)半徑為2cm，之后以1cm/s的速度膨脹，則在第3s時(shí)，該氣球表面積的增長(zhǎng)速度為（

）A． B． C． D．2.（24-25高三上·上?！て谥校┮阎嵌x在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則.知識(shí)點(diǎn)03導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義如果將函數(shù)y＝f(x)的圖象看成曲線(稱為曲線y＝f(x))，而且曲線在點(diǎn)A(x0，f(x0))處的切線為l，則|Δx|很小時(shí)，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一點(diǎn)，割線AB的斜率是eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，則當(dāng)Δx無限接近于0時(shí)，割線的斜率將無限趨近于切線l的斜率．這就是說，f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處(也稱在x＝x0處)的切線的斜率，從而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可知，切線的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．曲線的升降、切線的斜率與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)符號(hào)曲線f(x)在x＝x0附近的升降情況切線的斜率k切線的傾斜角f′(x0)>0上升k>0銳角f′(x0)<0下降k<0鈍角f′(x0)＝0平坦k＝0零角(切線與x軸平行)【解讀】1.切線斜率的絕對(duì)值的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)附近上升或下降的快慢．2.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多．與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線．【即學(xué)即練3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（

）A． B． C．3 D．6題型01平均變化率【典例1】（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)在上的平均變化率為（

）A．1 B．2 C． D．【變式1】（23-24高二下·福建龍巖·期中）若函數(shù)，則函數(shù)從到的平均變化率為（

）A．6 B．3 C．2 D．1【變式2】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）汽車行駛的路程s和地址t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在地址段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面積綠化可以增減地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．由上圖推測(cè)，甲地的綠化好于乙地B．當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率C．當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率D．當(dāng)日必存在一個(gè)時(shí)刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同題型02瞬時(shí)變化率【典例2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移，則時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（

）A．0 B．1 C． D．【變式1】（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移單位：與地址單位：之間的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知某公交車在起步后8秒內(nèi)路程（單位：m）與地址（單位：s）滿足，若公交車的瞬時(shí)速度未發(fā)生突變，則，公交車在這8秒內(nèi)的平均速度為．【變式3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）車輪旋轉(zhuǎn)的角度（單位：rad）隨地址（單位：s）之間的關(guān)系為，已知車輪旋轉(zhuǎn)4圈所需地址為．(1)求地址段內(nèi)車輪的平均角速度；(2)求時(shí)刻車輪的瞬時(shí)角速度．題型03導(dǎo)數(shù)的概念【典例3】24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，則（

）A．1 B．2 C． D．【變式2】（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若，則（

）A．?2 B．2 C． D．6【變式3】（25-26高三上·上?！卧獪y(cè)試）對(duì)于函數(shù)，若，則當(dāng)h無限趨近于0時(shí)，在下列式子中無限趨近于2的式子有（

）．A． B．C． D．題型04求曲線切線的斜率（傾斜角）【典例4】（24-25高三·上海·課堂例題）已知函數(shù)，其中，求：(1)點(diǎn)處的切線的斜率；(2)點(diǎn)處的切線方程.【變式1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【變式2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【變式3】（24-25高三·上?！ふn堂例題）如果曲線的一條切線與直線平行，求曲線與此切線相切的切點(diǎn)坐標(biāo).題型05導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【典例5】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，且f'x為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）

A． B．C． D．【變式1】定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，如圖是的圖像，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【變式2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高二下·廣東茂名·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．一、單選題1．（23-24高二下·陜西渭南·期中）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與地址（單位：）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點(diǎn)在這段地址內(nèi)的平均速度為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A． B． C．1 D．3．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上的圖象如圖所示，那么下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在內(nèi)的平均變化率小于在區(qū)間平均變化率B．在內(nèi)的平均變化率小于在區(qū)間平均變化率C．，使函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率D．對(duì)于，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率總小于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C． D．5．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是（

）A．1 B．3 C．6 D．96．（23-24高二下·北京通州·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關(guān)于地址的函數(shù)圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：①汽車在地址段內(nèi)勻速行駛；②汽車在地址段內(nèi)不斷減速行駛；③汽車在地址段內(nèi)不斷減速行駛；④汽車在地址段內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)．其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．9 B．6 C．3 D．18．（23-24高二下·山東濰坊·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，且f'x是的導(dǎo)函數(shù)，記，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高二下·四川廣元·期中）一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離（單位：）與地址（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．前內(nèi)球滾下的垂直距離的增量 B．在地址內(nèi)球滾下的垂直距離的增量C．前內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為 D．第時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為10．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖顯示物體甲、乙在地址0到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．在處，甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度B．在處，甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度C．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度D．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度11．（23-24高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．（24-25高三上·上?！て谥校┖瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率為.13．（24-25高三上·上海·期中）已知函數(shù)，則．14．（23-24高三上·上海奉賢·階段練習(xí)）若為可導(dǎo)函數(shù)，且，則過曲線上點(diǎn)處的切線斜率為．四、解答題15.（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)在上的平均變化率是函數(shù)在上的平均變化率的3倍，求實(shí)數(shù)m的值．16.（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．17.（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）若函數(shù)，(1)用定義求；(2)求其圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程．18.（23-24高二下·北京·期中）已知直線為曲線在點(diǎn)處的切線，為該曲線的另一條切線，且．(1)利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求直線、的方程．19.（23-24高三上·上?！て谥校┰O(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù),如果對(duì)任意的,均成立,則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若,試判斷是否為“平緩函數(shù)”并說明理由;(2)已知的導(dǎo)函數(shù)存在,判斷下列命題的真假:若是“平緩函數(shù)”,則,并說明理由.(3)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”,且是以為周期的周期函數(shù),證明:對(duì)任意的,均有.第01講導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過具體實(shí)例了解函數(shù)的平均變化率．2.通過對(duì)實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.3.理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).4.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.1．求函數(shù)的平均變化率，了解平均變化率在實(shí)際問題中的應(yīng)用.2．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率.3．掌握導(dǎo)數(shù)的概念以及幾何意義，會(huì)處理曲線的切線問題.知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的平均變化率1．函數(shù)的平均變化率的概念一般地，若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，則(1)自變量的改變量Δx＝x2－x1；(2)因變量的改變量Δy＝y(tǒng)2－y1；(3)f(x)在[x1，x2]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【解讀】(1)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率應(yīng)注意的問題①平均變化率的公式中，分子是區(qū)間兩端點(diǎn)間的函數(shù)值的差，分母是區(qū)間兩端點(diǎn)間的自變量的差．②平均變化率的公式中，分子、分母中被減數(shù)同為右端點(diǎn)，減數(shù)同為左端點(diǎn)．(2)一次函數(shù)的平均變化率一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)在區(qū)間[m，n]上的平均變化率為eq\f(fn－fm,n－m)＝eq\f(kn＋b－km＋b,n－m)＝k.由上述計(jì)算可知，一次函數(shù)y＝kx＋b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率與m，n的值無關(guān)，只與一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，且其平均變化率等于一次項(xiàng)的系數(shù)．2．平均變化率的實(shí)際意義在以x1，x2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上，自變量每增減1個(gè)單位，因變量平均將增減eq\f(Δy,Δx)個(gè)單位．因此，如果自變量增減h個(gè)單位，那么因變量將增減eq\f(Δy,Δx)h個(gè)單位．3．平均變化率的幾何意義eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示函數(shù)y＝f(x)圖象上過一點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割線的斜率．4．平均速度與平均變化率如果物體運(yùn)動(dòng)的位移xm與地址ts的關(guān)系為x＝h(t)，則物體在[t1，t2](t1<t2時(shí))或[t2，t1](t2＜t1時(shí))這段地址內(nèi)的平均速度為eq\f(ht2－h(huán)t1,t2－t1)(m/s)．即物體在某段地址內(nèi)的平均速度等于x＝h(t)在該段地址內(nèi)的平均變化率．【即學(xué)即練1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）一質(zhì)點(diǎn)按運(yùn)動(dòng)方程（s的單位為米，t的單位為秒）做直線運(yùn)動(dòng)，則其從秒到秒這段地址里的平均速度（單位：米/秒）為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平均速度的定義即可代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】從秒到秒這段地址里的平均速度為．．知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)1．瞬時(shí)變化率一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0附近有定義，自變量在x＝x0處的改變量為Δx，當(dāng)Δx無限接近于0時(shí)，若平均變化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)無限接近于一個(gè)常數(shù)k，那么稱常數(shù)k為函數(shù)f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率．2．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，也稱f(x)在x0處可導(dǎo)，并稱k為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)＝k.(2)“當(dāng)Δx無限接近于0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)無限接近于常數(shù)k”也常用符號(hào)“→”(讀作“趨向于”)表示為當(dāng)Δx→0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→k，或者寫成eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).【即學(xué)即練2】1.（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若某氣球起始時(shí)半徑為2cm，之后以1cm/s的速度膨脹，則在第3s時(shí)，該氣球表面積的增長(zhǎng)速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)在時(shí)，氣球的半徑為，則，則氣球的表面積，因?yàn)?，因此時(shí)，該氣球表面積的增長(zhǎng)速度為．.2.（24-25高三上·上?！て谥校┮阎嵌x在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則.【答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義寫出答案即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義知：.故答案為：1知識(shí)點(diǎn)03導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義如果將函數(shù)y＝f(x)的圖象看成曲線(稱為曲線y＝f(x))，而且曲線在點(diǎn)A(x0，f(x0))處的切線為l，則|Δx|很小時(shí)，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一點(diǎn)，割線AB的斜率是eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，則當(dāng)Δx無限接近于0時(shí)，割線的斜率將無限趨近于切線l的斜率．這就是說，f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處(也稱在x＝x0處)的切線的斜率，從而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可知，切線的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．曲線的升降、切線的斜率與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)符號(hào)曲線f(x)在x＝x0附近的升降情況切線的斜率k切線的傾斜角f′(x0)>0上升k>0銳角f′(x0)<0下降k<0鈍角f′(x0)＝0平坦k＝0零角(切線與x軸平行)【解讀】1.切線斜率的絕對(duì)值的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)附近上升或下降的快慢．2.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多．與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線．【即學(xué)即練3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為．.題型01平均變化率【典例1】（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)在上的平均變化率為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】由平均變化率定義可得.【詳解】平均變化率為..【變式1】（23-24高二下·福建龍巖·期中）若函數(shù)，則函數(shù)從到的平均變化率為（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用平均變化率的定義可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，故函?shù)從到的平均變化率為..【變式2】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）汽車行駛的路程s和地址t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在地址段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由平均速度的定義可得汽車在地址段上的平均速度即為該段直線的斜率，結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】設(shè)直線，AB，BC的斜率分別為，，，則，，，由題中圖象知，即．.【變式3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面積綠化可以增減地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．由上圖推測(cè)，甲地的綠化好于乙地B．當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率C．當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率D．當(dāng)日必存在一個(gè)時(shí)刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同【答案】A【分析】結(jié)合圖中數(shù)據(jù)分析一一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，所以甲地的綠化好于乙地，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負(fù)數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖可知，存在一個(gè)時(shí)刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同，故D錯(cuò)誤..題型02瞬時(shí)變化率【典例2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移，則時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】由題可知時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為．.【變式1】（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移單位：與地址單位：之間的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計(jì)算可得答案．【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，即質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為.【變式2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知某公交車在起步后8秒內(nèi)路程（單位：m）與地址（單位：s）滿足，若公交車的瞬時(shí)速度未發(fā)生突變，則，公交車在這8秒內(nèi)的平均速度為．【答案】【分析】求得3秒前與3秒后的瞬時(shí)速度可求，利用路程關(guān)于地址的函數(shù)圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，可求，進(jìn)而求得8秒內(nèi)的總路程，可求平均速度.【詳解】第3秒前公交車的瞬時(shí)速度為；第3秒后公交車的瞬時(shí)速度為，已知公交車第3秒前后的瞬時(shí)速度保持一致，所以，而路程關(guān)于地址的函數(shù)圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，所以，解得．公交車在8秒內(nèi)的總路程為，所以平均速度為．故答案為：；.【變式3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）車輪旋轉(zhuǎn)的角度（單位：rad）隨地址（單位：s）之間的關(guān)系為，已知車輪旋轉(zhuǎn)4圈所需地址為．(1)求地址段內(nèi)車輪的平均角速度；(2)求時(shí)刻車輪的瞬時(shí)角速度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知求得，進(jìn)而可求平均角速度；（2）利用可求瞬時(shí)角速度.【詳解】（1）車輪旋轉(zhuǎn)4圈的角度，故，故地址內(nèi)車輪的平均角速度為．（2）時(shí)刻車輪的瞬時(shí)角速度為：．題型03導(dǎo)數(shù)的概念【典例3】24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得:．.【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）【分析】根據(jù)解析式先化簡(jiǎn)，然后由導(dǎo)數(shù)定義可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?【變式2】（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若，則（

）A．?2 B．2 C． D．6【答案】A【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義即可求解.【詳解】由于，則..【變式3】（25-26高三上·上海·單元測(cè)試）對(duì)于函數(shù)，若，則當(dāng)h無限趨近于0時(shí)，在下列式子中無限趨近于2的式子有（

）．A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算【分析】利用平均變化率的定義以及導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)四個(gè)選擇逐一判斷即可．.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.．題型04求曲線切線的斜率（傾斜角）【典例4】（24-25高三·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)，其中，求：(1)點(diǎn)處的切線的斜率；(2)點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求得點(diǎn)處的切線的斜率；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】（1）點(diǎn)處的切線的斜率為，即點(diǎn)處的切線的斜率是；（2）結(jié)合（1）可得切線方程為，即.【變式1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由題意得，可求出，再將代入函數(shù)解析式中可求出，從而可求得的值.【詳解】由題意得，所以，解得，又，則，所以．【變式2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點(diǎn)的斜率；（2）先求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值得出斜率再點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=fx上任意一點(diǎn)x0,f則由導(dǎo)數(shù)的定義，可得．即曲線y=fx上任意一點(diǎn)x0,f（2）f3=0，由（1）知，曲線y=fx在點(diǎn)處的切線斜率為所以切線方程為，即．【變式3】（24-25高三·上?！ふn堂例題）如果曲線的一條切線與直線平行，求曲線與此切線相切的切點(diǎn)坐標(biāo).【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可列方程，即可求得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，曲線在點(diǎn)P的切線與直線平行，則切線斜率為，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為或.題型05導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【典例5】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，且f'x為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】分別作出函數(shù)在的切線，進(jìn)而得到的大小關(guān)系.【詳解】分別作出函數(shù)在的切線，則則有.

【變式1】定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，如圖是的圖像，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率關(guān)系得到，可看作過和的割線的斜率，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】圖象可知，在處的切線斜率小于在處的切線斜率，且斜率為正，故，，可看作過和的割線的斜率，由圖象可知，故，．【變式2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得f'1，和的幾何意義，結(jié)合圖像可得解.【詳解】由函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，.隨著的增大，曲線在每個(gè)點(diǎn)處的斜率在逐漸減小，即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，..【變式3】（23-24高二下·廣東茂名·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求曲線切線的斜率（傾斜角）【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得，和f'1的幾何意義，結(jié)合圖象可得解.【詳解】f'1，和分別為函數(shù)在，和處切線的斜率，即圖中直線的斜率，結(jié)合圖象可得.一、單選題1．（23-24高二下·陜西渭南·期中）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與地址（單位：）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點(diǎn)在這段地址內(nèi)的平均速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均速度的計(jì)算方法，列式計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意知位移（單位：）與地址（單位：）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點(diǎn)在這段地址內(nèi)的平均速度為（）.2．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，..3．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上的圖象如圖所示，那么下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在內(nèi)的平均變化率小于在區(qū)間平均變化率B．在內(nèi)的平均變化率小于在區(qū)間平均變化率C．，使函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率D．對(duì)于，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率總小于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率【答案】A【分析】根據(jù)平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義及幾何意義結(jié)合圖象求解即可.【詳解】有圖可知，所以，即在上的平均變化率相等，所以A，B錯(cuò)誤；由于函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率的幾何意義表示在該點(diǎn)處的切線的斜率，有圖可知，使在處的瞬時(shí)變化率小于在處的瞬時(shí)變化率,因此C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤..4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，求得切線方程，可求結(jié)論.【詳解】易知處切線的斜率為，則，令，則，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．.5．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義求解即得.【詳解】依題意，，則，即，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是9.6．（23-24高二下·北京通州·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關(guān)于地址的函數(shù)圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：①汽車在地址段內(nèi)勻速行駛；②汽車在地址段內(nèi)不斷減速行駛；③汽車在地址段內(nèi)不斷減速行駛；④汽車在地址段內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)．其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)斜率表示變化率，從而由斜率的變化得出速度的變化情況，進(jìn)而得出答案．【詳解】根據(jù)題意，①在地址段內(nèi)，位移是一條斜率小于零的直線，則汽車在該地址段內(nèi)勻速行駛，故①錯(cuò)誤；②在地址段內(nèi)，位移是一條斜率越來越大的曲線，則汽車在該地址段內(nèi)不斷減速行駛，故②錯(cuò)誤；③在地址段內(nèi)，位移是一條斜率越來越小的曲線，則汽車在該地址段內(nèi)不斷減速行駛，故③錯(cuò)誤；④在地址段內(nèi)，位移不變，則汽車在該地址段內(nèi)靜止不動(dòng)，故④錯(cuò)誤．．7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．9 B．6 C．3 D．1【答案】B【分析】求出，從而求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，．由?dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率是．8．（23-24高二下·山東濰坊·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，且f'x是的導(dǎo)函數(shù)，記，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把三個(gè)數(shù)值看成三個(gè)斜率，即可用數(shù)形結(jié)合比較大小.【詳解】設(shè)點(diǎn)則可以把看成一點(diǎn)的斜率，把看成曲線在點(diǎn)的切線斜率，把看成曲線在點(diǎn)的切線斜率，再作出圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析：由圖可得，即..二、多選題9．（23-24高二下·四川廣元·期中）一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離（單位：）與地址（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．前內(nèi)球滾下的垂直距離的增量 B．在地址內(nèi)球滾下的垂直距離的增量C．前內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為 D．第時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為【答案】BCD【分析】利用函數(shù)關(guān)系式計(jì)算可判定A、B，由平均速度、瞬時(shí)速度的求法可判定C、D選項(xiàng).【詳解】前內(nèi)，，，此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為，A錯(cuò)誤；C錯(cuò)誤；在地址內(nèi)，，，B錯(cuò)誤；，，則第2s時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為，D錯(cuò)誤．CD．10．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖顯示物體甲、乙在地址0到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．在處，甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度B．在處，甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度C．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度D．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC【分析】對(duì)AB，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷即可；對(duì)CD，根據(jù)平均速度的定義判斷即可.【詳解】對(duì)AB，由圖象可得在處，甲圖象斜率小于乙圖象斜率，故甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；對(duì)CD，在到范圍內(nèi)，甲增減的路程更多，故平均速度更大，故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.C11．（23-24高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是的導(dǎo)