7．4空間直線、平面的垂直1．理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．2．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用．1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.(2)判定定理與性質定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行a∥b(3)直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，它們所成的角是eq\f(π,2)；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0．②范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．平面與平面垂直(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．在二面角的棱上任取一點O，以點O為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角，二面角的平面角的取值范圍是[0，π]Ｗ．(2)判定定理與性質定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直3.空間距離(1)點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離Ｗ．(2)直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．(3)兩個平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．4．垂直、平行關系的相互轉化教材拓展1．三垂線定理若平面內的一條直線和平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理若平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內的射影垂直．1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)若直線l與平面α內的兩條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(×)2．（人教A版必修第二冊P151例3改編）已知直線a，b和平面α，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：必要性：若a∥α，則存在直線m?α，a∥m，由于b⊥α，m?α，得b⊥m，因為b⊥m，a∥m，所以b⊥a，必要性成立；充分性：如圖，若平面ABCD為平面α，直線A1B1為直線a，直線B1C1為直線b，滿足a∥α，b⊥a，但B1C1∥平面ABCD，即b∥α，充分性不成立．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．故選B.3．（人教A版必修第二冊P158例7改編）如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是(C)A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PAB解析：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，由四邊形ABCD為矩形得CD⊥AD，因為PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.故選C.4．（人教A版必修第二冊P162練習T1改編）已知直線a，b，l和平面α，則下列命題正確的是(B)A．若a∥b，a∥α，則b∥αB．若a∥b，a?α，b?α，a∥α，則b∥αC．若l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，則l⊥αD．若a⊥b，a⊥α，則b∥α解析：若a∥b，a∥α，則可能b?α，所以A錯誤；若a∥b，a?α，b?α，a∥α，則b∥α，所以B正確；若l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，當a∥b時，l與α不一定垂直，所以C錯誤；若a⊥b，a⊥α，則可能b?α，所以D錯誤．故選B.考點1直線與平面垂直的判定與性質【例1】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點B1在底面ABC內的射影恰好是點C.(1)若D是AC的中點，且DA＝DB，求證：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．【解】(1)證明：∵點B1在底面ABC內的射影是點C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1?平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)如圖，延長BC至點E，使BC＝CE，連接C1E，則B1C1綉CE，四邊形B1CEC1為平行四邊形，則C1E綉B(tài)1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE?平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝2eq\r(3)，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝eq\r(CE2＋C1E2)＝4，BC1＝eq\r(BE2＋C1E2)＝2eq\r(7)，∴△BCC1的周長為2＋4＋2eq\r(7)＝6＋2eq\r(7).證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α；a⊥α，α∥β?a⊥β)；③面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．【對點訓練1】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點（不與點A，B重合），AN⊥PM，N為垂足．(1)若PA＝AM＝BM＝2，Q為PB的中點，求三棱錐Q-ABM的體積；(2)求證：AN⊥平面PBM；(3)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.解：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM，又AM＝BM＝2，∴S△ABM＝eq\f(1,2)AM·BM＝2，又PA垂直于⊙O所在的平面，PA＝2，∴VP-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·PA＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3)，∵Q為PB的中點，∴VQ-ABM＝eq\f(1,2)VP-ABM＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).(2)證明：由(1)知AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，∴PA⊥BM.又PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，∴AN⊥平面PBM.(3)證明：由(2)知AN⊥平面PBM，∵PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴NQ⊥PB.考點2平面與平面垂直的判定與性質【例2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝eq\r(2).求證：平面ACB1⊥平面BB1C1C.【證明】如圖，連接BC1，交B1C于點D，則D為BC1，B1C的中點，連接AD.因為AC＝AB1，所以AD⊥B1C.因為側面BB1C1C為菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝eq\r(2)，所以BD＝eq\r(3)，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD.因為B1C∩BD＝D，B1C，BD?平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C.因為AD?平面ACB1，所以平面ACB1⊥平面BB1C1C.1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理．2．面面垂直性質的應用(1)面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”．(2)若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．【對點訓練2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點．求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD.證明：(1)因為PA＝PD，E為AD中點，所以PE⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，所以PE⊥BC.(2)由(1)知，PE⊥平面ABCD，因為CD?平面ABCD，所以PE⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD.又因為AD∩PE＝E，AD，PE?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AP?平面PAD，所以CD⊥AP.因為PA⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因為PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.考點3垂直關系的綜合應用【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB.(2)若E為棱BC的中點，則棱PC上是否存在一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？若存在，證明你的結論；若不存在，請說明理由．【解】(1)證明：設G為AD的中點，連接PG，BG，如圖．∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形，又G為AD的中點，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，BG，PG?平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.(2)存在，當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：在△PBC中，EF∥PB.又EF?平面DEF，PB?平面DEF，∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中，GB∥DE，又DE?平面DEF，GB?平面DEF，∴GB∥平面DEF，又PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.1．三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．2．對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證．【對點訓練3】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝eq\r(3)，M為AC的中點．(1)求證：平面PBC⊥平面PAB.(2)線段PC上是否存在點N，使得PC⊥平面BMN？若存在，求eq\f(PN,PC)的值；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：因為平面PAC⊥平面ABC，PA?平面PAC，PA⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以PA⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又PA＝1，PC＝eq\r(3)，PA⊥AC，所以AC＝eq\r(PC2－PA2)＝eq\r(2)，又AB＝BC＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC，又PA⊥BC，PA，AB是平面PAB內的兩條相交直線，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.(2)存在．過點M作MN⊥PC，垂足為N，如圖，連接NB，由(1)知PA⊥平面ABC，因為MB?平面ABC，所以PA⊥MB，又M為AC的中點，AB＝BC＝1，所以MB⊥AC，又PA⊥MB，PA，AC是平面PAC內的兩條相交直線，所以MB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以MB⊥PC，又MN⊥PC，MB，MN是平面BMN內的兩條相交直線，所以PC⊥平面BMN，由已知得sin∠PCA＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(MN,MC)，又MC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(MN,\f(\r(2),2))?MN＝eq\f(\r(6),6)，所以CN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2)＝eq\f(\r(3),3)，所以PN＝PC－CN＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，所以eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3)，即線段PC上存在點N使得PC⊥平面BMN，且eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3).課時作業(yè)481．（5分）（2024·山東泰安模擬）已知兩條不同的直線m，n和平面α，β，α⊥β，α∩β＝m，則n⊥β的必要不充分條件是(C)A．m∥n B．n∥αC．m⊥n D．n⊥α解析：因為α∩β＝m，所以m?β，當n⊥β時，由線面垂直的定義可知n⊥m；只有當m⊥n且n?α或n∥α時才能得到n⊥β.所以n⊥β的必要不充分條件是m⊥n.故選C.2．（5分）設l1，l2為兩條不同的直線，α1，α2為兩個不同的平面，下列說法正確的是(D)A．若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，則α1⊥α2B．若l1，l2與α1所成的角相等，則l1∥l2C．若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，則l1⊥l2D．若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，則l1⊥l2解析：若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，則α1，α2可能相交，也可能平行，故A錯誤；l1，l2與α1所成的角相等，則l1，l2可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯誤；若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，則l1，l2可能平行、相交或異面，故C錯誤；若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，則l1⊥l2，故D正確．故選D.3．（5分）（2024·天津卷）若m，n為兩條直線，α為一個平面，則下列結論中正確的是(C)A．若m∥α，n∥α，則m⊥nB．若m∥α，n∥α，則m∥nC.若m∥α，n⊥α，則m⊥nD．若m∥α，n⊥α，則m與n相交解析：若m∥α，n∥α，則m與n可能異面、平行或相交，故A，B錯誤；若m∥α，n⊥α，則m與n垂直，且m與n可能相交，也可能異面，故C正確，D錯誤．故選C.4．（5分）（2024·山東濟南二模）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則(C)A．A1D∥D1B，MN∥平面ABCDB．A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1DC．A1D⊥D1B，MN∥平面ABCDD．A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D解析：如圖，連接AD1，由已知AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，則AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又D1B?平面ABD1，所以A1D⊥D1B，排除A，B；因為M，N分別為AD1，BD1的中點，所以MN∥AB，又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，C正確；若MN⊥平面BB1D1D，則MN⊥BD，又MN∥AB，所以AB⊥BD，顯然不成立，D錯誤．故選C.5．（5分）（2024·四川廣安二模）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，EF是△BCD的中位線，AC與EF交于點G，已知△PEF是△CEF繞EF旋轉過程中的一個圖形﹐且P?平面ABCD.給出下列結論：①BD∥平面PEF；②平面PAC⊥平面ABCD；③“直線PF⊥直線AC”始終不成立．其中所有正確結論的序號為(B)A．①②③ B．①②C．①③ D．②③解析：由EF是△BCD的中位線，得EF∥BD，而EF?平面PEF，BD?平面PEF，因此BD∥平面PEF，①正確；如圖，連接PG，由菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，得BD⊥AC，則EF⊥AG，EF⊥PG，而AG∩PG＝G，AG，PG?平面PAC，則EF⊥平面PAC，又EF?平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，②正確；顯然∠PGA是二面角P-EF-A的平面角，△PEF由△CEF繞EF旋轉過程中，∠PGA從180°逐漸減小到0°（不包含180°和0°），當∠PGA＝90°時，AG⊥PG，PG∩EF＝G，PG，EF?平面PEF，則AG⊥平面PEF，而PF?平面PEF，因此PF⊥AG，③錯誤．故選B.6．（5分）（2024·四川眉山三模）如圖，該組合體由一個正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和一個正四棱錐P-A1B1C1D1組合而成，已知AB＝2，AA1＝eq\r(2)，PA1＝2，則(C)A．PA1∥平面ABC1D1B．PB1∥平面ABC1D1C．PC1⊥平面BDC1D．PD1⊥平面BDC1解析：如圖，因為PA1＝PC1＝2，A1C1＝2eq\r(2)，OC＝CC1＝eq\r(2)，在平面ACC1PA1中有∠PA1C1＝∠A1C1O＝∠C1OC＝eq\f(π,4)，所以PA1∥OC1，又OC1?平面BDC1，PA?平面BDC1，所以PA1∥平面BDC1，則PA1與平面ABC1D1不平行，故A錯誤；同理PB1∥OD1，PB1與平面ABC1D1不平行，故B錯誤；PO＝eq\r(2)＋eq\f(\r(2),2)×2＝2eq\r(2)，PC1＝C1O＝2，有PCeq\o\al(2,1)＋C1O2＝PO2，所以PC1⊥C1O，又BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面PC1O，所以BD⊥平面PC1O，又因為PC1?平面PC1O，所以PC1⊥BD，又BD∩C1O＝O，BD，C1O?平面BDC1，所以PC1⊥平面BDC1，故C正確；又因為PC1∩PD1＝P，且過一點有且僅有一條直線與已知平面垂直，所以PD1不垂直于平面BDC1，故D錯誤．故選C.7．（6分）（多選）（2024·河北保定三模）已知四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，l為空間內的一條直線，且l?平面ABCD，則下列說法正確的是(AC)A．若l∥AB，則l∥平面ABCDB．若l∥AD，則l∥BCC．若l⊥AD，l⊥BC，則l⊥平面ABCDD．若l⊥AB，l⊥CD，則l⊥平面ABCD解析：因為l∥AB，且AB?平面ABCD，l?平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正確；因為AD與BC是等腰梯形的腰，二者不平行，故若l∥AD，則l與BC不平行，故B錯誤；因為直線AD與BC能相交，所以若l⊥AD，l⊥BC，AD?平面ABCD，BC?平面ABCD，則l⊥平面ABCD，故C正確；因為AB∥CD，兩者不相交，所以若l⊥AB，l⊥CD，推不出l⊥平面ABCD，故D錯誤．故選AC.8．（6分）（多選）（2024·安徽馬鞍山三模）已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，則(AC)A．若PC⊥BD，則AC⊥BDB．若AC⊥BD，則PB＝PDC．若PB＝PD，則AB＝ADD．若AB＝AD，則PC⊥BD解析：如圖，因為PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD?平面ABCD，則PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，可得BD⊥平面PAC，且AC?平面PAC，所以AC⊥BD，同理，若AC⊥BD，則可得PC⊥BD，由AB＝AD不能推出AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正確，D錯誤；若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，若AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等價于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B錯誤，C正確．故選AC.9.（5分）（2024·陜西咸陽三模）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下面結論中正確的序號是①②④．①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE.解析：因為四邊形ABCD是圓柱的軸截面，則線段AB是底面圓的直徑，BC，AD都是母線．又E是底面圓周上異于A，B的一點，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，則BC⊥AE.因為BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE，則AE⊥平面BCE，因為CE?平面BCE，所以AE⊥CE，①正確；同理可證BE⊥DE，②正確；點D不在底面ABE內，而直線AE在底面ABE內，即AE，DE是兩條不同直線，若DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE，則與過一點有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾，③不正確；因為AE⊥平面BCE，而AE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE，④正確．10．（5分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，當?shù)酌鍭1B1C1滿足條件A1C1⊥B1C1（答案不唯一）時，有AB1⊥BC1.（填上一個你認為正確的條件即可）解析：如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，AA1⊥平面ABC，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．（或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等）11．（15分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點，棱長為1.(1)求證：EF∥平面C1CDD1.(2)在線段A1B上是否存在點G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求點G到平面ABCD的距離；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：如圖，取BC的中點M，連接EM，F(xiàn)M，∵E，F(xiàn)分別是AD，BC1的中點，∴EM∥DC，F(xiàn)M∥C1C，又EM?平面EFM，F(xiàn)M?平面EFM，EM∩FM＝M，DC?平面C1CDD1，C1C?平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，又EF?平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1.(2)存在．如圖，取A1B的中點G，連接EG，AG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G為A1B的中點，∴EG⊥A1B，連接FG，則FG∥A1C1，∵正方體棱長為1，在△A1BC1中，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△FME中，EF＝eq\f(\r(5),2)，在Rt△EAG中，EG＝eq\f(\r(3),2)，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1?平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1.易得點G到平面ABCD的距離為eq\f(1,2).12．（15分）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，O分別為AA1，BC1的中點．求證：(1)MO∥平面ABC；(2)MO⊥平面B1BCC1.證明：(1)如圖，取BC的中點D，連接OD，AD，因為O為BC1的中點，所以OD∥CC1且OD＝eq\f(1,2)CC1，又因為AM∥CC1且AM＝eq\f(1,2)CC1，所以OD∥AM且OD＝AM，所以四邊形AMOD為平行四邊形，所以MO∥AD，又因為MO?平面ABC，AD?平面ABC，所以MO∥平面ABC.(2)因為ABC-A1B1C1為正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因為AD?平面ABC，所以BB1⊥AD，因為△ABC為等邊三角形，所以AD⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1，又MO∥AD，所以MO⊥平面B1BCC1.13．（6分）（多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠A1AC＝∠ACB，P為線段BB1的中點，N為線段A1B1上靠近B1的三等分點，則(ABD)A．AC⊥BCB．AC⊥CB1C．AC⊥平面NPCD．平面ACP⊥平面BCC1B1解析：因為∠CAB＝∠CBA＝45°，故∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，A正確；因為∠A1AC＝∠ACB＝90°，所以側面AA1C1C為矩形，故AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1?平面CC1B1B，所以AC⊥平面CC1B1B，而CB1?平面CC1B1B，故AC⊥CB1，B正確；平面NPC與平面CC1B1B不平行，所以AC平面NPC不垂直，C錯誤；因為AC?平面ACP，AC⊥平面CC1B1B，所以平面ACP⊥平面CC1B1B，D正確．故選ABD.14．（6分）（多選）（2024·山東聊城二模）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，則下列關系能同時成立的是(BC)A．“AB＝PB”與“PB＝BD”B．“PA⊥PC”與“PB⊥PD”C．“PB⊥CD”與“PC⊥AB”D．“平面PAB⊥平面PBD”與“平面PCD⊥平面PBD”解析：當AB＝PB時，底面ABCD是正方形，AB≠DB，所以PB＝BD不成立，故A錯誤；如圖，設底面正方形的中心為O，則P在以O為球