變質(zhì)量系統(tǒng)動力學本章研究的模型對象：變質(zhì)量系統(tǒng)：質(zhì)量隨時間連續(xù)變化的質(zhì)點系?；鸺枪こ讨凶畹湫偷淖冑|(zhì)量系統(tǒng)。例：自然界的變質(zhì)量系統(tǒng)雨滴下降過程中由于蒸發(fā)而質(zhì)量變小，由于水汽凝結(jié)使質(zhì)量增加；浮冰在天熱時由于溶解而質(zhì)量變小，也會由于下雪而質(zhì)量變大。變質(zhì)量系統(tǒng)

：從零時刻到t時刻離開系統(tǒng)的質(zhì)量，

：從零時刻到t時刻進入系統(tǒng)的質(zhì)量，

是時間的非負、非遞減、連續(xù)可微函數(shù)。設質(zhì)點系的質(zhì)量M(t)在t=0時為。在任意時刻為上面子彈打入墻內(nèi)是否滿足上述可微的要求？模型假設我們涉及到變質(zhì)量質(zhì)點系、質(zhì)點、剛體三種對象。設S是慣性系中運動的封閉曲面，在運動(包括變形)中有質(zhì)點并入或離開S圍成的區(qū)域。變質(zhì)量系統(tǒng)動量定理的推導設在某固定時刻,S內(nèi)有：（1）變質(zhì)量質(zhì)點系Q

，其動量為P。另外，與S區(qū)域內(nèi)有狀態(tài)完全重疊的：

（2）常質(zhì)量質(zhì)點系，其動量為。

由于在此時二者重合：S經(jīng)過時間

后，質(zhì)系Q和的動量分別變?yōu)椋汉惋@然：

是內(nèi)離開S的部分質(zhì)量

的動量。

是

內(nèi)進入S的部分質(zhì)量

的動量。S有：對常質(zhì)量系用動量定理：

是t

時刻作用在上的外力主向量。F

稱為反推力。如何借助牛頓第三定律理解反推力？F1是分離質(zhì)量引起的反推力；F2是并入質(zhì)量引起的反推力。設O為慣性空間不動點，同上可推出：M

稱為反推力矩。

變質(zhì)量系統(tǒng)動量矩定理對質(zhì)心如何？記變質(zhì)量質(zhì)點(質(zhì)點是一種模型，不一定是幾何點，火箭也可以作為變質(zhì)量質(zhì)點研究)為Q。設是t時刻離開Q的部分質(zhì)量的絕對速度，是t時刻并入Q的部分質(zhì)量的絕對速度。則是內(nèi)離開Q的質(zhì)量

是內(nèi)并入Q的質(zhì)量，則變質(zhì)量質(zhì)點的運動是從0到t

時刻離開Q的質(zhì)量之和，

是從0

到t時刻并入Q的質(zhì)量之和。而，

v為質(zhì)點Q留下部分質(zhì)心的絕對速度。稱為廣義密歇爾斯基方程。1)若

，即只有分離質(zhì)量，沒有并入質(zhì)量，則2)若

，即只有并入質(zhì)量，沒有分離質(zhì)量，則討論方程火箭是典型的例子。3)若且，則即當沒有并入質(zhì)量，只有分離質(zhì)量，并且其絕對速度為零時，質(zhì)點動量對時間導數(shù)等于外力。4)若

且

，則即當沒有并入質(zhì)量，只有分離質(zhì)量，并且其相對速度為零時，質(zhì)系動量定理的形式與常質(zhì)量系統(tǒng)相同。注意：這個結(jié)論對一般變質(zhì)量系統(tǒng)不成立。例1雨滴開始下落時的質(zhì)量為m0，在下落過程中，單位時間內(nèi)凝結(jié)其上水汽質(zhì)量λ為常數(shù)。不計空氣阻力。求雨滴速度。根據(jù)題意：例2水流流量為q，速度為u，角度為?。開始時車靜止，質(zhì)量m0，不計摩擦。求車速度。根據(jù)題意：設火箭在太空中運動，不受任何外力作用R=0

其中

是燃料向后噴射的相對速度，設與共線，取公共作用線為Ox軸，則例3火箭的運動若

，則當燃料燃完時（t=T），火箭速度為火箭發(fā)動機比沖的概念：齊奧爾科夫斯基火箭公式。例4：鏈條自由下落

已知：鏈條的密度、長度為：ρ、l。

求：鏈條自由下落時，磅秤的指示。

磅秤指示為已落于磅秤上的鏈條重量的三倍。解法一：考慮已落到磅秤上的鏈條為變質(zhì)量質(zhì)點，加入質(zhì)點的絕對速度與相對速度均為

。由于鏈條下落時各環(huán)相互不擠壓，故各環(huán)均為自由落體。下落x距離后有解法二：取鏈條整體為研究對象，應用質(zhì)系動量定理求解。質(zhì)系動量：質(zhì)系動量定理：

，所以

N=3ρxg。定義：變質(zhì)量剛體是指質(zhì)點之間距離不變，且至少有一個質(zhì)點是變質(zhì)量質(zhì)點的質(zhì)系。設第i個質(zhì)點的質(zhì)量為其中是從零時刻到t時刻離開i質(zhì)點的質(zhì)量。是從零時刻到t時刻并入i質(zhì)點的質(zhì)量。變質(zhì)量剛體的運動我們已經(jīng)給出了變質(zhì)量質(zhì)系的動量矩定理：設O為慣性空間不動點，則對于剛體：分別為分離、并入第i個質(zhì)點的質(zhì)量的絕對速度。設分別是分離、并入第i個質(zhì)點的質(zhì)量的相對第i個質(zhì)點的速度。則：作定軸轉(zhuǎn)動的變質(zhì)量剛體的運動微分方程為變質(zhì)量剛體的運動微分方程為上式第二項成為：注意到：衛(wèi)星消旋問題：設衛(wèi)星消旋過程中每秒鐘消耗燃料為q，燃料噴射速度為u，初始時刻衛(wèi)星繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量和自旋角速度為，假設衛(wèi)星為環(huán)形剛體。求消旋到零角速度需多少燃料?例5解若很小，則有噴出去的角動量等于衛(wèi)星減少的角動量。實際的衛(wèi)星如何？火箭運動火箭垂直運動情況：提高火箭特征速度的途徑提高質(zhì)量比，需使用新材料及新結(jié)構(gòu)

鋁合金、鎂合金、鈦合金、高分子材料、復合材料 薄殼結(jié)構(gòu)、薄壁結(jié)構(gòu)、蜂窩夾層結(jié)構(gòu)、桿系結(jié)構(gòu)：m0/ms

9，雞蛋而言，m0/ms=7煤油+液氧(蘇聯(lián)“衛(wèi)星號”芯級)ur

=3000m/s偏二甲肼+紅煙硝酸(長征一號一.二級)ur

=2500m/s偏二甲肼+四氧化二氮(長征三號一.二級)ur

=2900m/s液氫+液氧(長征三號三級)ur

=4300m/s提高噴射速度ur，需研制新型推進劑按目前的技術水平，考慮空氣阻力、重力影響，實際到達速度小于第一宇宙速度。目前都用多級火箭入軌。設，則第一級第二級第三級多極火箭如果假設火箭在均勻重力場中豎直向上運動：實際的火箭如何？思考題除了提高發(fā)動機噴射速度和結(jié)構(gòu)輕量化措施外，有沒有其他提高火箭特征速度的新方法？交叉輸送燃料，從而盡早拋掉無用質(zhì)量。助推器的燃料燃燒的同時向芯級交叉輸送燃料，保持芯級的燃料一直充滿狀態(tài)，助推器提前燒盡，燒盡后拋掉。肖智文（力7）、武迪，運載火箭推進劑交叉輸送技術收效分析，力學與實踐，Vol.42,No.4,pp.413-417密歇爾斯基方程的另一種推導方法如何研究變質(zhì)量質(zhì)點系的運動？t時刻t+Δt時刻對由m及Δm組成的封閉質(zhì)點系應用動量定理：質(zhì)量連續(xù)變化時：—加入質(zhì)量的相對速度并入質(zhì)量時：排出質(zhì)量時：達朗貝爾原理（動靜法)2025年7月25日動靜法主動力、約束反力、慣性力形成平衡力系。公式中為三種力的主矢和主矩。引入慣性力Si=–miai得Fi+Ni+Si=0如果假想地在運動的質(zhì)點上加上慣性力，則質(zhì)點在主動力、約束力及慣性力作用下處于平衡。動靜法將動力學問題轉(zhuǎn)化為靜力學問題，因而可運用靜力學知識求解。非自由質(zhì)點系：主動力Fi，約束力Ni miai=Fi+Ni

或Fi+Ni–miai=0虛位移原理：剛體平衡方程：例1設飛球調(diào)速器的主軸O1y以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。試求調(diào)速器兩臂的張角α。設重錘C的質(zhì)量為M，飛球A、B的質(zhì)量各為m，各桿長均為l，桿重可以忽略不計。解：選球B為研究對象，加慣性力列平衡方程：S=mlω

2sinα取重錘C為研究對象：慣性力的概念開普勒：任何物體都將給予企圖改變它運動狀態(tài)的其它物體以阻力(慣性力)。當物體運動狀態(tài)發(fā)生變化時，由于物體的慣性，對外界產(chǎn)生反作用，抵抗運動的變化。這種抵抗力稱為慣性力。慣性力的大小等于質(zhì)量乘加速度，方向與加速度相反，作用在使此物體產(chǎn)生加速度的其它物體上。mFaaF假如你在一個封閉的箱子里，能否區(qū)分你所受的力是引力還是慣性力？質(zhì)量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質(zhì)量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為α

，軸AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。A、B軸承間的距離為h。求A、B軸承的約束反力。例2yACOαDBzmgYBZBmgYALOSCSD解：加慣性力，畫受力圖動量矩定理例3設長為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿，以常角速度ω繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。求桿與鉛垂軸的夾角和O點的約束力。慣性力系可簡化為一合力：解：取OA桿為研究對象，加慣性力系三角形分布力系：動量矩定理：LO=JOω?dx慣性力系的簡化慣性力系向任意固定點O簡化，主矢量為主矩為（質(zhì)量不變系統(tǒng)）動靜法與動量定理和動量矩定理完全等價！慣性力系的簡化慣性力系向質(zhì)心C簡化，主矢量為主矩為慣性力系的簡化繞垂直于質(zhì)量對稱面定軸轉(zhuǎn)動的剛體三心重合：擺動中心、撞擊中心、慣性中心在質(zhì)量對稱平面內(nèi)運動的剛體aCεC例4設轉(zhuǎn)子的偏心距e，質(zhì)量m，轉(zhuǎn)軸垂直于轉(zhuǎn)子的對稱面，轉(zhuǎn)子的對稱面與兩軸承的距離相等。如轉(zhuǎn)子以勻速ω轉(zhuǎn)動，求軸承的動約束力。O1O2CeωaaN1N2解：受力分析，加慣性力由平衡方程得：Ω很大時動反力遠大于靜反力!RS例5質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤沿傾角為α的斜面上只滾不滑。試求圓盤的質(zhì)心加速度和斜面對圓盤的約束力。不計滾動摩阻。解：取x為廣義坐標加慣性力：列平衡方程：達朗貝爾－拉格朗日原理2025年7月25日達朗貝爾－拉格朗日原理具有理想、雙面約束的非自由質(zhì)系，其可能運動ri=ri(t)是真實運動的充分必要條件是：既適用于定常、完整約束，也適用于非定常、非完整約束。動力學普遍方程解析法幾何法必要性：充分性：建立如圖所示系統(tǒng)的運動微分方程。例6解：牛頓定律TT'運動分析受力分析列寫運動微分方程分別取各質(zhì)點為研究對象方程中出現(xiàn)未知的約束反力！解法1幾何法m1gm2g幾個自由度？廣義坐標？是否理想約束系統(tǒng)？研究對象？解法2解析法m1gm2g討論達朗貝爾-拉格朗日原理以理想約束系統(tǒng)為研究對象不包含理想約束的約束力—最少量方程牛頓定律分別取各質(zhì)點或剛體為研究對象—解除約束方程包含理想約束的約束反力，增加了未知量—需要和約束條件聯(lián)立請比較用牛頓定律和達朗貝爾－拉格朗日原理解題的優(yōu)缺點。確定研究對象：理想約束系統(tǒng)整體受力分析：畫出作功的主動力運動分析：分析加速度給出虛位移，找出它們之間的關系幾何法：利用運動學中速度分析的方法，找出各點虛位移

之間的關系解析法：對約束方程進行變分，即可求得各點虛位移

之間的關系列出動力學方程，并求解解題步驟建立如圖所示單擺的運動微分方程。例7an解：理想約束系統(tǒng)取系統(tǒng)整體為研究對象例8已知：離心調(diào)速器以勻角速ω

轉(zhuǎn)動。各桿長度為