.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（精練題組版）題組一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1．（2025·遼寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)證明：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．(2)證明見解析【解析】（1）由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，令，可得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2），則，當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，記，則，由于，則故，因此在單調(diào)遞減，由于，故存在唯一的使得，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，綜上知：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，因此在上有兩個(gè)零點(diǎn).2．（2025·甘肅白銀·三模）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)討論的單調(diào)性；(3)若在上有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3).【解析】（1）依題意得對恒成立，即對恒成立，所以，即的取值范圍是.（2）由題知，的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上至多有個(gè)零點(diǎn)，則不符合題意.當(dāng)時(shí)，要使得在上有個(gè)零點(diǎn)，則，即，且，設(shè)函數(shù)，則，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以.由，得.即的取值范圍為.3．（2024山東日照·階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）答案見解析．【解析】（1）由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，令，可得，因?yàn)樗?，所以在上為增函?shù)，又因?yàn)?，所以，，，，所以的增區(qū)間為，的減區(qū)間為．（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上有唯一極小值，所以極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．②當(dāng)時(shí)，則，得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，令，．因?yàn)椋?，即在上單調(diào)遞減，所以，所以（?。┊?dāng)時(shí)，，在上恒成立，即在上恒成立，所以無極值點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即易知，所以存在唯一使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極大值；又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在處取得極小值；故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．4．（24-25·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)為．，斜率，所求切線方程為，即；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，即，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．5．（2025·湖南郴州·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2).(3)答案見解析【解析】則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.（3）令，得，即，所以.令，則，即①，當(dāng)時(shí)，由，得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程①的解的個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù).令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的解，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)或，即或時(shí)，方程①只有一個(gè)解，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即時(shí)，方程①無解，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.6．（2025·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；(3)若對于，曲線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3).【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，則，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則得；得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋院瘮?shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的最小值為，若，則，故函數(shù)沒有零點(diǎn)；若，則，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；若，則，取，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，取且，可知，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.（3）曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程的正數(shù)解的個(gè)數(shù)，令，則當(dāng)時(shí)，與一一對應(yīng)，則原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對于，方程有且僅有一正數(shù)解，令，則，若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則在極值點(diǎn)附近兩側(cè)單調(diào)性相反，則必存在，使得方程有至少兩個(gè)不同的解，所以函數(shù)在上不存在極值點(diǎn)，結(jié)合，對于二次函數(shù)，其圖象開口向上，所以對于，即，即在恒成立，因?yàn)?，所以對于成立，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，又當(dāng)時(shí)，有成立，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程有且僅有一解.綜上，的取值范圍是.7．（2025·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)．(2)答案見解析【解析】（1）由題意得的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也即最小值，為．因?yàn)?，，所以在處取得最大?．綜上，．（2）令，得．令，則．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，故此時(shí)有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，．令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．令，則．令，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，．①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)有唯一零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)?，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)．，令，則，所以，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．又，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，故在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)，即時(shí)，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，故在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．題組二已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求證：最大值小于；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，先證明：，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即，則不等式在上恒成立，再證明：，令，其中，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，即，則不等式在上恒成立，所以有，證畢；（2）由得：，構(gòu)造函數(shù)，由，因?yàn)?，所以，即函?shù)在上單調(diào)遞增，由，根據(jù)單調(diào)性可得：再構(gòu)造，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，即當(dāng)時(shí)，由，可知，當(dāng)，由對數(shù)函數(shù)沒有一次函數(shù)增長得快，可知，而函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得：.2．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若且函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；易知，則；因此切線方程為，即；（2）設(shè)函數(shù)，；顯然；令，其中，即；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；因此，可知，因此在上存在零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得；所以，使得；可得時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；所以要使函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，只需，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.3．（23-24云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）令，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)根，所以．即實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．（2025·山東臨沂·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）令，則，令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.5．（2025·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【解析】（1）由題意知，，令，則，.故，，即切點(diǎn)為，所求切線方程為，即.（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得.令，則，，因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以和有2個(gè)交點(diǎn)，令，.令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2025·廣西）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以,，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），由得，的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，且時(shí)，，，所以時(shí)，，所以的大致圖象如下，所以若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.7．（2025·河南開封·二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若有唯一的零點(diǎn)，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在處的切線方程為，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，使得，即，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故若有唯一的零點(diǎn)，則必有，即，消去可得，即，又因?yàn)?，即，由②式可得：，即，將代入可得，即，綜上可知，若有唯一的零點(diǎn)，則.8．（2025·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，化簡可得：.（2）令，函數(shù)的定義域?yàn)?，．①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，即對任意的恒成立，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且滿足，，不妨設(shè)，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．因?yàn)?，所以為的一個(gè)零點(diǎn)．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．所以函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，綜上，的取值范圍為．9．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）因?yàn)?，所以，顯然在上單調(diào)遞增．且．故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且在上，，在上，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn).（2）設(shè)，則，記，當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；（iii）當(dāng)時(shí)，，，故存在，使得，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由于，則，若要滿足題設(shè)，只需，解得,又因?yàn)?，所以取值范圍?綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．（2025·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的圖象在處的切線方程；(2)設(shè)，若在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）函數(shù)，則，所以的圖象在處的切線斜率為，所以切線方程為，化簡得，.（2）由已知可得，若在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間上有且只有1個(gè)零點(diǎn).，則，令，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值的最大值，①當(dāng)時(shí)，有，則恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)時(shí)，成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，舍去；③當(dāng)時(shí)，有，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，要使在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，解得，又，所以.題組三恒（能）成立求參數(shù)1．（2025·吉林長春）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值，無極大值；(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無極大值；（2）當(dāng)，在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則由（1）知時(shí)，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2．（2025·河北保定·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)的極大值為，無極小值(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，無極小值.（2）由題得2a），當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以由得，解得；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由，得，解得.綜上，的取值范圍為.3．（2025·江西鷹潭·二模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)；(2)．【解析】（1），，而，，所以在處的切線方程為：（2）由題意得：恒成立，因?yàn)?，所以問題等價(jià)于在時(shí)恒成立，令，，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，則函數(shù)，故．4．（24-25廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在上恒小于0，求a的取值范圍.【答案】(1)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(3).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，令，得,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.在時(shí)取得極大值，無極小值.所以的極大值點(diǎn)是，無極小值點(diǎn).（2），則，，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)在上恒小于0，等價(jià)于.由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故恒成立，故符合題意；當(dāng)時(shí)，若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，成立，故符合題意；若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，解得，故；若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故無解.綜上所述：.5．（2025·四川自貢·二模）已知函數(shù)，.(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無極值，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以，則，所以的取值范圍為.6．（2025·陜西渭南·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.又，所以，則切線方程為.令得，令得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為.（2）由得，顯然不是方程的解，所以.設(shè)函數(shù)，則，令得或；令得或.所以在上單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的大致圖象如圖：若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，或，即的取值范圍為.（3）由得，顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.當(dāng)時(shí)，有恒成立，由（2）可得；當(dāng)時(shí)，有恒成立，由（2）可得.綜上，，即的取值范圍為.7．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性;(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，（），則有，考慮函數(shù)，因?yàn)椋?，，由可得：，由可得：，所以在上單減，在上單增，因?yàn)?，所以，則函數(shù)在上單增，因?yàn)椋瑒t有時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，成立，則有成立，記，則在成立，，記，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，故，不滿足條件；②當(dāng)時(shí)，在成立，故在單調(diào)遞減，，滿足條件；③當(dāng)時(shí)，，由②知，此時(shí)綜上，．題組四隱零點(diǎn)1.（2024·廣東深圳）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的零點(diǎn)之和；（2）證明：在上只有1個(gè)極值點(diǎn).【答案】（1）（2）詳見解析【分析】（1）得到或，據(jù)此計(jì)算答案.（2）求導(dǎo)設(shè)，則，判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，得到答案.【解析】（1）解：令，得或，即或，即或所以在上的零點(diǎn)之和為（2）證明設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù).因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而的上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，，所以必存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上只有1個(gè)極值點(diǎn)2．（2024·江蘇宿遷）已知函數(shù)(1)若求的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)的極小值為，無極大值(2)【解析】（1）當(dāng)，令，解得，則當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值；（2）由題意可得令則當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，所以存在時(shí)，，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，；當(dāng)，，則當(dāng)，；當(dāng)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以因?yàn)?，所以，即故解?．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）的定義域?yàn)榱睿?，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故的取值范圍是.（2）設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.聯(lián)立，得，必有，記函數(shù)，由題，故當(dāng)時(shí)，.記，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由，得，代入并整理得：同理，記，由（1）知為增函數(shù)，，，又，當(dāng)時(shí)，，有三個(gè)零點(diǎn)，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍4．（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)證明：無極值.(3)若對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】（1），則.因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）令的導(dǎo)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以在上為增函數(shù)，故無極值.（3）由，得.設(shè)，則，的導(dǎo)數(shù)為，所以為增函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，，則為增函數(shù)，則，所以符合題意.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，所以不符合題意.

綜上，的取值范圍是.5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值.(2).【解析】（1）若，則，所以，令，解得，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，無極小值.（2）對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以在上恒成立，所以即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，則即在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，又，所以，所以即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，不符合題意.綜上，的取值范圍為.題組五不等式的證明1．（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，由得，由，得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由得，由，得或，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為、，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由得或，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為、，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，得，由，得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值．（3）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，即，即，即，，只需證明，當(dāng)，時(shí)，，只需證明，由（1）知，時(shí)，在處取得最小值，綜上所述，原不等式成立．2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)，時(shí)，求證：．【答案】(1)．(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．設(shè)函數(shù)，則．令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以．因?yàn)楹愠闪?，所以，所以．?）因?yàn)?，，所以．令，則在上單調(diào)遞減．又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，即．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，則．所以．3．（2025·河南·二模）已知，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的值；(2)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）可得，所以，則，定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，令，即，解得；令，即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，又，，又，所以，即，所以，使得，所以當(dāng)時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞增；又，，所以，所以當(dāng)時(shí)，.4．（2025·甘肅白銀·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，且在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）令，則，因?yàn)?，所以，所以恒成立，所以是上的增函?shù).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，所以只需，又，故.（3））因?yàn)?，所以要證，只需證，令，該二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，令，則，令，則，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增.問題可轉(zhuǎn)化為證明，即證，即證.令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，證畢.題組六極值點(diǎn)偏移1．（2025·廣東佛山·一模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，討論關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對于任意的實(shí)數(shù)，都有．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，的定義域?yàn)?，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解，當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.（2）要證，即證，由于，故只需證，不妨設(shè)，即證，兩邊同時(shí)除以并化簡，即證，令，則，設(shè)，，由(1)知在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，所以，從而命題得證.2．（24-25內(nèi)蒙古烏蘭察布·階段練習(xí)）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，故，故函數(shù)在處的切線方程為，即；（2）定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由題意得，解得，故，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，可知函數(shù)在處取得極值，故符合題意，因?yàn)椋?，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如下：故，令，，，因?yàn)?，所以，，故在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，即，，因?yàn)?，所以，所以，其中，故，其中，，在上單調(diào)遞增，所以，即.3．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】（1），，，所以在處的切線方程為，即；（2）由可知，，，即在上恒成立，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，最小值為，由題意知，即，故的取值范圍為；（3）方程有兩實(shí)數(shù)解，，即有兩實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，由（2）知方程要有兩實(shí)數(shù)解，則，即，同時(shí)，，，，則，在單調(diào)遞減，欲證，即證，，等價(jià)于，即，等價(jià)于，整理得①，令，①式為，又在單調(diào)遞增，故①式等價(jià)于，即，令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，，即，所以，則.4．（2025·山西臨汾·二模）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，即，故所求切線方程為.（2）由，，則，令，則；令，則，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）當(dāng)時(shí)，，由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又是的一個(gè)較小的零點(diǎn)，不妨設(shè)，要證，只需證，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而只需證即可.，令，在上單調(diào)遞增.，即證，即證.5．（2025·河南·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i），（ii）證明見解析【解析】（1）設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而.①當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，從而，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，則一定存在，使得當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，從而，合題意．綜上所述，的取值范圍為．（2）（i）由題意知，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn)．7分當(dāng)時(shí)，令，得．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．所以是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即．，則．所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，也是的最大值點(diǎn)．即，從而．一方面，由（1）可知，取，當(dāng)時(shí)，，即，即，易知當(dāng)時(shí)，也成立．所以當(dāng)時(shí)，．所以，即，從而．因?yàn)?，所以在?nèi)有一個(gè)零點(diǎn).另一方面，由（1）知，．又，所以，所以在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，的取值范圍是．（ii）證明：由，得，所以，即．要證成立，只需證，即證，即證．令，則．即證，即證．設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即式成立．所以不等式成立.題組七放縮法證明不等式1．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析，(2)(3)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.（2）因?yàn)椋缘葍r(jià)于，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以為減函數(shù)，而，又因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.（3）令，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，將上式累加，得：，所以，所?2．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值;(2)對于任意的正整數(shù)(ⅰ)不等式恒成立，求整數(shù)M的最小值;(ⅱ)證明：為自然對數(shù)的底數(shù)【答案】(1)有極小值，無極大值(2)ⅰ2；ⅱ證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由得，x2-0+↘極小值↗因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.（2）(ⅰ)當(dāng)時(shí)，，，則，由得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減;所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以所以整數(shù)M的最小值為(ⅱ)設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，由(ⅰ)知，，所以，，令，