初中數(shù)學(xué)名校資源2/2《因式分解法解一元一次方程》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容分析教材通過實際問題引入方程10x-4.9=0，這個方程如果用配方法或公式法求解，計算量都不小，且容易出錯.學(xué)生在學(xué)習(xí)了前面幾節(jié)課內(nèi)容的基礎(chǔ)上，已經(jīng)有了挑戰(zhàn)新問題的動力，并且已經(jīng)領(lǐng)悟了解一元二次方程的策略——降次，所以用這個方程引入非常合適，讓學(xué)生思考除了之前所學(xué)習(xí)過的配方法和公式法以外，是否還有更簡單的解法，接著思考為什么用這種方法可以求出方程的解，從而引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一次式的乘積為0的形式，體現(xiàn)了降次的思想，是解某些一元二次方程較為簡便靈活的一種特殊方法.因式分解法解一元二次方程，是先將方程的一邊分解成兩個一次因式相乘，另一邊為0的形式，再分別令每一個一次因式等于0，得到兩個一次方程.不同于配方法，因式分解法的依據(jù)是兩個實數(shù)的積等于0的充要條件，即這兩個實數(shù)中必有一個等于0.因式分解法解一元二次方程包括：提公因式法、公式法、十字相乘法.基于以上分析，確定出本節(jié)課的教學(xué)重點：會用因式分解法解特殊的一元二次方程.二、學(xué)情分析學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)過了用配方法和公式法求一元二次方程的解，本節(jié)課通過一個實際問題引入一個顯然可以用“提取公因式法”而達到降次目的的方程，從而引出因式分解法解一元二次方程，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，符合學(xué)生的認知規(guī)律.在實際的教學(xué)中，學(xué)生在利用因式分解法解方程時往往會在因式分解上存在著一定的困難，從而不能將方程左邊化成兩個一次因式乘積的形式.另外在面對一元二次方程時，常會因為缺乏對方程結(jié)構(gòu)的觀察，導(dǎo)致在方法的選擇上有所欠缺，缺乏解決問題的靈活性，從而增加計算的難度，降低計算的準確性.為突破這一難點，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生認真觀察方程的結(jié)構(gòu)，對比方法的難易，從而選擇合理的方法解一元二次方程.三、教學(xué)目標(biāo)1.會用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）解一元二次方程.2.體會解一元二次方程的策略——降次，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.難點學(xué)生能理解因式分解法解方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟，會利用因式分解法求解特殊的一元二次方程.難點學(xué)生通過對比一元二次方程的結(jié)構(gòu)類型，選用適當(dāng)?shù)姆椒ê侠淼亟夥匠?，提高解決問題的靈活性.四、評價設(shè)計學(xué)習(xí)評價量表標(biāo)準等級會用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程A會用因式分解法（十字相乘法）解二次項系數(shù)為1的一元二次方程A會用因式分解法（十字相乘法）解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程B觀察一元二次方程的結(jié)構(gòu)類型，能靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠藼五、教學(xué)活動設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖教師活動學(xué)生活動創(chuàng)設(shè)情境引出問題問題1根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過xs離地面的高度（單位：m）為10x-4.9.根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）？學(xué)生積極思考并嘗試列方程，可有學(xué)生解釋如何理解“落回地面”？“落回地面”即離地面的高度為0m令10x-4.9x2=0，解方程求x.學(xué)生首先要理解實際問題背景下代數(shù)式的意義，理解“落回地面”的意義就是“高度為0m”，就是表示高度的代數(shù)式的值為0，從而列出方程.在閱讀并嘗試回答的過程中讓學(xué)生感受在生活、生產(chǎn)中需要用到方程，從而激發(fā)他們的求知欲.觀察感知理解方法問題2如何求出方程的解呢？根據(jù)作答情況發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生會不假思索地用配方法或公式法求解，計算量大且易出錯，這時老師應(yīng)該通過提問引導(dǎo)學(xué)生.提問1：通過前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道解一元二次方程的基本策略是什么嗎？你有沒有想出解這個方程更簡單的方法呢？提問2：如果ab=0，則有什么結(jié)論？對你解方程有什么啟發(fā)嗎？提問3：上述方法是如何將一元二次方程降次為兩個一次方程的？通過因式分解使一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一次式子的乘積等于0的形式，再使得這兩個一次式子分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.提問4：提公因式是因式分解的一種方法，因式分解還有哪些方法？請你把這些方法寫出來提問5：用因式分解法解一元二次方程等號右邊必須是0嗎？請你舉例說明.學(xué)生從已有的知識出發(fā)，考慮用配方法和公式法解方程，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的結(jié)構(gòu)，學(xué)生進行深入的思考，努力發(fā)現(xiàn)因式分解法.學(xué)生會想到“降次”，即把一個二次的式子寫成兩個一次的式子的積，只是前面的配方法是把一個二次的式子寫成了兩個同樣的一次式子的積.學(xué)生很容易給出a=0或b=0的結(jié)論：啟發(fā)：10x-4.9=0變形為：x（10-4.9x）=0學(xué)生通過對解決問題過程的反思，體會到通過提取公因式將一元二次方程化為了兩個一次式的乘積的形式，得到兩個一元一次方程.教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生觀察方程在因式分解過程中的變化，在學(xué)生總結(jié)發(fā)言的過程中適當(dāng)引導(dǎo).學(xué)生回顧因式分解的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法.ma+mb+mc=m（a+b+c）x2+2xy+y2=(x+y)2x2-y2=（x+y）（x-y）x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）等號右邊必須是0，例如方程（x+1）（x-2）=7，等號右邊不是0，無法求出未知數(shù)確定的值.引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)用因式分解中提取公因式法解方程更加簡便，從而會對方法的選擇有一定的理解.讓學(xué)生對比不同解法，不是用配方降次，而是先因式分解，將方程轉(zhuǎn)化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.在反思小結(jié)的過程中，理解因式分解法的意義，從而引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.例題示范靈活運用問題3解下列一元二次方程：（1）4=x（x-3）；（2）3x（2x+1）=4x+2；（3）（4）9+6x=-1.方程（1）由學(xué)生口答，教師板書，其余的由學(xué)生獨立完成.解（1）移項，得-（x-3）=0.提取公因式，得（x-3）[4（x-3）-=0，即（x-3）（3x-12）=0.所以x-3=0或3x-12=0.所以原方程的根為=3，.總結(jié)提升：上述方程均為一元二次方程，所以都可以使用公式法來求解，但如果我們采用因式分解的方法，則求解過程就比較簡捷.不限方法，做完后小組內(nèi)交流，比較方法的優(yōu)劣.（2）原方程可化為3x（2x+1）=2（2x+1），即（2x+1）（3x-2）=0所以2x+1=0或3x-2=0.所以原方程的根為，.（3）原方程可化為，即[（x-4）+（5-2x）][（x-4）-（5-2x]=0.整理得（1-x）（3x-9）=0.所以1-x=0或3x-9=0.所以原方程的根為=1，=3.思考：對于此題你還有別的解法嗎？（4）原方程可化為9+6x+1=0，即所以原方程的根為==.問題3中四個方程的提出是開放式的，有些學(xué)生可能會將括號打開，然后利用配方法或公式法求解；也有些學(xué)生會觀察到，如果將（2）（3）中一個多項式當(dāng)成一個整體，利用提取公因式的方法或平方差公式法直接就化為兩個一次式乘積為0的形式，通過對上述問題的思考討論，讓學(xué)生體會解法的優(yōu)劣，注重觀察方程自身的結(jié)構(gòu)，從而靈活應(yīng)用所學(xué)的知識解決問題.鞏固練習(xí)學(xué)以致用問題4用因式分解法解下列方程：（1）-4=0；（2）=3x；（3）=3（x+1）；（4）+x-6=0；（5）2-x-3=0；（6）=；（7）5-7x-=-4x+；（8）3x（2x+1）=4x+2.學(xué)生獨立完成，教師巡視，對解題不熟練的學(xué)生給予指導(dǎo)，然后同學(xué)們互相糾錯.通過鞏固練習(xí)，檢驗學(xué)生對解一元二次方程的各種因式分解法的熟練程度，進一步強化“能用因式分解法求解，則優(yōu)先選擇因式分解法”的意識，體會因式分解法的簡捷.小結(jié)總結(jié)深化理解問題5（1）因式分解法的一般步驟是什么？（2）請大家總結(jié)三種解法的聯(lián)系與區(qū)別.教師對學(xué)生的發(fā)言給予鼓勵和肯定，針對出現(xiàn)的問題及時進行引導(dǎo)、糾正，幫助學(xué)生深入理解問題.（1）因式分解法解方程的步驟：①移項：將方程右邊化為0；②化積：將方程左邊化為兩個一次式子的積；③轉(zhuǎn)化：令每一個一次式子等于0，得到兩個一次方程；④求解：解這兩個一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.（2）學(xué)生總結(jié)各種解題方法的特點，體會各種方法的利弊，在交流的過程中加深對一元二次方程解法的理解.學(xué)生通過小結(jié)反思，深化對問題的理解，體會到配方法需要將方程進行配方降次，公式法需要將方程化為一般形式后利用求根公式求解，而因式分解法需要將一元二次方程化為兩個一次式乘積為0的形式；另外還讓學(xué)生體會到配方法和公式法適用于所有方程，但有時計算量比較大，因式分解法適用于一部分一元二次方程，三種方法都體現(xiàn)了降次的基本思想.六、板書設(shè)計因式分解法解一元二次方程因式分解法：通過因式分解使一元二次方程化為兩個一次式的積.例1：……等于0的形式，從而實現(xiàn)降次.因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：a·b=0a=0或b=0.例2：……用因式分解法解一元二次方程的步驟：（1）移項（化為一般式）；（2）化積（方程左邊因式分解為兩個一次式的積）；（3）轉(zhuǎn)化（令每一個一次式等于0）；例3：……（4）求解這兩個一次方程.七、達標(biāo)檢測與作業(yè)A級1.用因式分解法解一元二次方程（1）3（x-1）（3x+1）=（x-1）（2x+5）；（2）=（1-2x）；（3）-5x+6=0；（4）（x-2）（x-5）=-2.B級2.用因式分解法解一元二次方程.（1）；（2）2-5x+3=0；（3）3.解下列關(guān)于x的一元二次方程.（1）-（k-1）x-k=0；（2）-（2m+1）x++m=0；（3）+mx-x-1=0.八、教學(xué)反思本節(jié)課通過實際問題引入，得出一個使學(xué)生容易想到用因式分解的方法求根的方程.引人新課非常自然，引發(fā)了學(xué)生探究新解法的欲望，在教學(xué)環(huán)節(jié)2中，提出5個小問題，在問題的驅(qū)動下，學(xué)生思維積極、嚴密，新知的來龍去脈在學(xué)生腦子中形成清晰的印象.因式分解一般有三種方法：提公因式法、公式法、十字相乘法由于十字相乘法在當(dāng)時學(xué)習(xí)因式分解時練習(xí)得較少，學(xué)生比較生疏，尤其數(shù)感差的同學(xué)，做起來更慢，不自覺地就懶于動腦，想用公式法解.教學(xué)中我鼓勵學(xué)生自主觀察，發(fā)現(xiàn)某些特殊方程可以不用動筆，用眼睛就能看岀答案，提高學(xué)生探索新知識的積極性.總結(jié)可以用因式分解法解的一元二次方程的特點，讓學(xué)生充分體會因式分解法的優(yōu)點.本節(jié)課既有大量的基礎(chǔ)計算問題，也設(shè)置了符合學(xué)生認知實際的有難度的問題，力爭使不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得，提高了課堂的效率.根據(jù)本節(jié)課所處的位置，教學(xué)中設(shè)置不同的題型，讓學(xué)生選擇最優(yōu)化的方法，既鞏固所學(xué)，又提升能力.成功之處：“環(huán)節(jié)1”“環(huán)節(jié)2”針對學(xué)生有可能出現(xiàn)的疑惑設(shè)計幾個問題，并在環(huán)節(jié)3配了相關(guān)的有代表性的例題，讓學(xué)生總結(jié)出用因式分解法解一元二次方程的解題思路.常用的方法大致有三種，提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法.老師適時給予補充引導(dǎo)：見到什么題，就考慮用哪種方法.提高了解題速度，優(yōu)化了解題方法，培養(yǎng)了學(xué)生解題感覺.教材中這一部分內(nèi)容特別簡單，如果不做補充，學(xué)生的思維得不到訓(xùn)練，知識得不到拓展，能力得不到提高.精心設(shè)計各種類型、不同梯度的題目，同時教學(xué)關(guān)注的焦點