3.1.2復數的幾何意義

1.理解復數的幾何意義.2.理解復數的模的概念,會求復數的模.1.如何理解復數與點、向量間的對應關系?剖析:每一種復數都由它的實部和虛部唯一擬定.當把實部和虛部作為一種有序數對時,就和點的坐標同樣,從而能夠用點體現(xiàn)復數.復平面內的每一種點都能夠與從原點出發(fā)的一種向量一一對應,從而復數也能夠與復平面內的向量一一對應.另外,還應注意下列幾點:(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的對應點的坐標為(a,b),而不是(a,bi).(2)當a=0時,對任何b≠0,a+bi=0+bi=bi是純虛數,因此虛軸上的點(0,b)(b≠0)都體現(xiàn)純虛數.(4)復數z=a+bi(a,b∈R)中的z,書寫時應小寫,復平面內的點Z(a,b)中的Z,書寫時應大寫.2.如何理解復數的模?剖析:從數的角度理解,可類比絕對值是體現(xiàn)這個數的點到原點的距離.從形的角度理解,是該復數對應向量的模,也是向量起點與終點間的距離.題型一題型二題型三復數的幾何意義【例1】在復平面內,O是原點,復數i,1,4+2i對應的點分別是A,B,C.求平行四邊形ABCD的頂點D所對應的復數.分析:方法一:復數→點的坐標→中點坐標公式→點D的坐標→點D對應的復數方法二:復數→向量→向量運算→→點D對應的復數題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思復數的幾何意義包含兩種狀況:(1)復數與復平面內點的對應:復數的實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標,運用這一點,可把復數問題轉化為平面內點的坐標問題.(2)復數與復平面內向量的對應:復數的實部、虛部是對應向量的坐標,運用這一點,可把復數問題轉化為向量問題.題型一題型二題型三【變式訓練1】當實數m為什么值時,復數z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復平面內的對應點:(1)位于第四象限;(2)位于x軸負半軸上;(3)在上半平面(含實軸).題型一題型二題型三題型一題型二題型三復數的模的求法

分析:先擬定復數的實部、虛部,再代入公式求解.反思復數普通不能比較大小,但復數的模能夠比較大小.題型一題型二題型三【變式訓練2】

若復數z=1+2i(i是虛數單位),則|z|=

.

題型一題型二題型三復數的模的應用【例3】已知復數z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求實數a的取值范疇.分析:運用模的定義轉化為實數不等式求解或運用數形結合思想求解.題型一題型二題型三反思1.運用模的定義,得到有關a的不等式,與運用復數相等的充要條件同樣,都貫徹了復數問題實數化的思想,這是本章的一種重要思想方法.2.從幾何意義上理解,復數的模體現(xiàn)復數對應的點到原點的距離,因此|z|=r體現(xiàn)以原點為圓心,r為半徑的圓.題型一題型二題型三【變式訓練3】設z=a+bi(a,b∈R),求在復平面內滿足下列條件的點所構成的圖形.(1)|a|<2,且|b|<2;(2)|z|≤2,且|b|>1;(3)|z|=2,且a>b;(4)1≤|z|≤2.題型一題型二題型三解:(1)在復平面內,滿足不等式|a|<2的點構成的圖形是位于兩條平行直線x=±2之間的長條帶狀(不涉及兩條平行直線).滿足不等式|b|<2的點構成的圖形是位于兩條平行直線y=±2之間的長條帶狀(不涉及兩條平行直線),兩者的公共部分即為所求.故滿足條件的點所構成的圖形是以原點為中心,邊長等于4,各邊分別平行于坐標軸的正方形內部的點,但不涉及邊界,如圖①所示.(2)不等式|z|≤2的解集對應的點是以原點為圓心,以2為半徑的圓的內部及其邊界上的點構成的圖形.滿足條件|b|>1的點是直線y=1以上及直線y=-1下列的點,兩者的公共部分即為所求.故滿足條件的點所構成的圖形是以原點為圓心、以2為半徑的圓被直線y=±1所截得的兩個弓形,但不涉及弦上的點,如圖②所示.(3)方程|z|=2對應點的集合是以原點為圓心,以2為半徑的圓周.滿足條件a>b的點構成的圖形是位于直線y=x下方的半平面,其中不涉及直線y=x上的點.兩者的公共部分即為所求,如圖③所示.題型一題型二題型三不等式|z|≤2的解集是圓|z|=2及該圓內部全部點構成的集合;不等式|z|≥1的解集是圓|z|=1和該圓外部全部點構