廣東數(shù)學聯(lián)考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{x|x>1\}\)，\(B=\{x|x<3\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{x|1<x<3\}\)B.\(\{x|x>1\}\)C.\(\{x|x<3\}\)D.\(R\)答案：A2.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)答案：A3.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,m)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=\)（）A.6B.\(-6\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(-\frac{3}{2}\)答案：A4.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.\(-1\)D.\(-2\)答案：B5.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，則\(a_{5}=\)（）A.9B.11C.13D.15答案：A6.在\(\triangleABC\)中，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\sinB=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{1}{5}\)C.\(\frac{16}{15}\)D.\(\frac{4}{15}\)答案：A7.函數(shù)\(y=x^{2}-2x-3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最小值是（）A.\(-4\)B.\(-3\)C.0D.1答案：A8.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{16}{9}x\)D.\(y=\pm\frac{9}{16}x\)答案：B9.若\((1+x)^{n}\)展開式中\(zhòng)(x^{2}\)的系數(shù)為\(15\)，則\(n=\)（）A.6B.5C.4D.3答案：A10.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關于直線\(x=1\)對稱，當\(x\leqslant1\)時，\(y=-x^{2}+1\)，則當\(x>1\)時，\(y=\)（）A.\(-(x-2)^{2}+1\)B.\(-(x+2)^{2}+1\)C.\((x-2)^{2}+1\)D.\((x+2)^{2}+1\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^{x}-e^{-x}\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)答案：ABCD2.已知向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=0\)B.\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)C.\(\vec{a}+\vec=(0,2)\)D.\(\vec{a}-\vec=(2,0)\)答案：ABCD3.對于等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)，下列說法正確的是（）A.若\(a_{1}=1\)，\(q=2\)，則\(a_{3}=4\)B.若\(a_{1}=-1\)，\(q=-1\)，則\(a_{n}=(-1)^{n}\)C.若\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=8\)，則\(q=2\)D.若\(a_{1}=1\)，\(a_{5}=16\)，則\(q=2\)答案：AB4.下列直線中與直線\(2x-y+1=0\)平行的是（）A.\(2x-y-3=0\)B.\(4x-2y+1=0\)C.\(x+2y-1=0\)D.\(2x+y-1=0\)答案：AB5.已知函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上可導，則（）A.若\(f'(x)>0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增B.若\(f'(x)<0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減C.若\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增，則\(f'(x)\geqslant0\)D.若\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減，則\(f'(x)\leqslant0\)答案：ABCD6.在\(\triangleABC\)中，若\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，則（）A.若\(b=1\)，則\(c=2\)B.若\(b=2\)，則\(c=1\)C.三角形面積\(S=\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.三角形周長\(l=3+\sqrt{3}\)答案：AC7.關于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)，下列說法正確的是（）A.當\(a>0\)時，函數(shù)圖象開口向上B.對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)C.當\(\Delta=b^{2}-4ac<0\)時，函數(shù)圖象與\(x\)軸無交點D.當\(x=-\frac{2a}\)時，函數(shù)取得最值答案：ABCD8.下列等式成立的是（）A.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta\)B.\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)C.\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)D.\(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\)答案：BCD9.已知圓\(C:x^{2}+y^{2}-2x-4y=0\)，則（）A.圓心坐標為\((1,2)\)B.半徑為\(\sqrt{5}\)C.圓\(C\)過原點D.直線\(x+y-1=0\)與圓\(C\)相切答案：ABC10.已知\(a>0\)，\(b>0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）答案：正確2.若函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_{0}\)處的導數(shù)為\(0\)，則\(x=x_{0}\)是函數(shù)的極值點。（）答案：錯誤3.若\(a>b\)，則\(ac^{2}>bc^{2}\)（\(c\neq0\)）。（）答案：正確4.向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)滿足\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}\)。（）答案：正確5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}<0\)，\(q>1\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)單調(diào)遞減。（）答案：錯誤6.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）在\(y\)軸上的截距為\(b\)。（）答案：正確7.函數(shù)\(y=\log_{a}x(a>0,a\neq1)\)的定義域為\((0,+\infty)\)。（）答案：正確8.若\(A\)，\(B\)是三角形內(nèi)角，則\(\sin(A+B)=\sinC\)。（）答案：正確9.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。（）答案：正確10.若\(a>0\)，\(b>0\)，則\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}+x(x>1)\)的最小值。答案：\(y=\frac{1}{x-1}+x=\frac{1}{x-1}+(x-1)+1\)，因為\(x>1\)，所以\(x-1>0\)，根據(jù)基本不等式\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)），\(\frac{1}{x-1}+(x-1)\geqslant2\sqrt{\frac{1}{x-1}\times(x-1)}=2\)，所以\(y\geqslant2+1=3\)，最小值為3。2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，求\(a_{n}\)。答案：當\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=1\)；當\(n\geqslant2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-(n-1)^{2}=2n-1\)，當\(n=1\)時也滿足，所以\(a_{n}=2n-1\)。3.求圓心在直線\(y=x\)上，且與直線\(x+y-2=0\)相切于點\((1,1)\)的圓的方程。答案：設圓心坐標為\((a,a)\)，半徑為\(r\)。因為圓與直線\(x+y-2=0\)相切于點\((1,1)\)，所以圓心與點\((1,1)\)連線的斜率為\(1\)，即\(\frac{a-1}{a-1}=1\)，且圓心到直線\(x+y-2=0\)的距離等于半徑\(r=\frac{\verta+a-2\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)，解得\(a=0\)，\(r=\sqrt{2}\)，圓的方程為\(x^{2}+y^{2}=2\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx=\left[\frac{1}{3}x^{3}+x\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}-9x+5\)的單調(diào)性。答案：\(y'=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。令\(y'>0\)，得\(x>3\)或\(x<-1\)，函數(shù)單調(diào)遞增；令\(y'<0\)，得\(-1<x<3\)，函數(shù)單調(diào)遞減。2.已知\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=3\)，\(A=120^{\circ}\)，討論三角形解的情況。答案：根據(jù)正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{3\times\sin120^{\circ}}{5}=\frac{3\sqrt{3}}{10}<1\)，又因為\(a>b\)，所以\(B\)為銳角，三角形有一解。3.討論直線\(y=kx+1\)與橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)的位置關系。答案：將\(y=kx+1\)代入橢圓方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)得\((3+4k^{2})x^{2}+8kx-8=0\)，\(\Delta=64k^{2}+32(3+4k^{2})=64k^{2}+96+128k^{2}=192k^{2}+96\)。當\(\Delta>0\)，即\(k^{2}>\frac{