高中方程競(jìng)賽題目及答案一、選擇題（共30分）1.（6分）若方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩個(gè)根為\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1+x_2=2\)，\(x_1\cdotx_2=3\)，則\(a\)的值為：A.1B.2C.3D.4答案：B2.（6分）對(duì)于方程\(x^4-4x^3+5x^2-2x-1=0\)，下列哪個(gè)選項(xiàng)是方程的一個(gè)根？A.1B.2C.-1D.0答案：A3.（6分）若\(x\)和\(y\)是方程\(x^2+y^2=25\)的兩個(gè)根，且\(x+y=7\)，則\(x^2+xy+y^2\)的值為：A.34B.35C.36D.37答案：C4.（6分）方程\(x^2-6x+8=0\)的根的判別式\(\Delta\)為：A.4B.8C.16D.32答案：A5.（6分）對(duì)于方程\(x^3-3x^2+2=0\)，下列哪個(gè)選項(xiàng)是方程的一個(gè)根？A.1B.2C.-1D.0答案：A二、填空題（共30分）1.（6分）若方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩個(gè)根為\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)，則\(b\)的值為：\(\boxed{-2a}\)。2.（6分）方程\(x^2-5x+6=0\)的根為：\(\boxed{2}\)和\(\boxed{3}\)。3.（6分）若\(x\)和\(y\)是方程\(x^2+y^2=10\)的兩個(gè)根，且\(x+y=4\)，則\(xy\)的值為：\(\boxed{3}\)。4.（6分）方程\(x^3-6x^2+11x-6=0\)的一個(gè)根為：\(\boxed{1}\)。5.（6分）若\(x\)和\(y\)是方程\(x^2+y^2=18\)的兩個(gè)根，且\(x-y=2\)，則\(x^2+xy+y^2\)的值為：\(\boxed{22}\)。三、簡(jiǎn)答題（共40分）1.（10分）解方程\(x^3-7x^2+14x-8=0\)。答案：首先，我們可以嘗試使用有理根定理來(lái)找到可能的有理根。對(duì)于多項(xiàng)式\(x^3-7x^2+14x-8\)，可能的有理根是常數(shù)項(xiàng)\(-8\)的因子除以首項(xiàng)系數(shù)\(1\)的因子，即\(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\)。通過(guò)測(cè)試這些值，我們發(fā)現(xiàn)\(x=1\)是一個(gè)根。使用綜合除法或多項(xiàng)式除法，我們可以將\(x^3-7x^2+14x-8\)除以\(x-1\)，得到\(x^2-6x+8\)。進(jìn)一步分解\(x^2-6x+8\)得到\((x-2)(x-4)\)。因此，方程的根為\(x=1,x=2,x=4\)。2.（10分）證明方程\(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。答案：考慮方程\(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)。我們可以將其重寫為\((x^2+1)(x^2+x+1)=0\)。由于\(x^2+1\)對(duì)于所有實(shí)數(shù)\(x\)總是正的，因此它不能為零。接下來(lái)，我們考慮\(x^2+x+1\)。這個(gè)二次方程的判別式\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3\)，由于判別式小于零，\(x^2+x+1\)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。3.（10分）解方程\(x^5-x^4-5x^3+5x^2+9x-9=0\)。答案：我們可以嘗試使用有理根定理來(lái)找到可能的有理根?？赡艿挠欣砀浅?shù)項(xiàng)\(-9\)的因子除以首項(xiàng)系數(shù)\(1\)的因子，即\(\pm1,\pm3,\pm9\)。測(cè)試這些值，我們發(fā)現(xiàn)\(x=1\)是一個(gè)根。使用綜合除法或多項(xiàng)式除法，我們可以將\(x^5-x^4-5x^3+5x^2+9x-9\)除以\(x-1\)，得到\(x^4-5x^2+9\)。進(jìn)一步分解\(x^4-5x^2+9\)為\((x^2-3)^2\)。因此，方程的根為\(x=1\)和\(x=\pm\sqrt{3}\)的重根。4.（10分）證明方程\(x^3-3x^2+3x-1=0\)的根是\(x=1\)。答案：考慮方程\(x^3-3x^2+3x-1=0\)。我們可以將其重寫為\((x-1)^3=0\)。顯然，\(x=1\)是方程的唯一根，且重?cái)?shù)為3。四、解答題（共50分）1.（25分）解方程\(x^6-7x^4+14x^2-8=0\)。答案：首先，我們?cè)O(shè)\(y=x^2\)，則原方程變?yōu)閈(y^3-7y^2+14y-8=0\)。使用有理根定理，我們測(cè)試可能的有理根\(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\)。測(cè)試這些值，我們發(fā)現(xiàn)\(y=1\)是一個(gè)根。使用綜合除法或多項(xiàng)式除法，我們可以將\(y^3-7y^2+14y-8\)除以\(y-1\)，得到\(y^2-6y+8\)。進(jìn)一步分解\(y^2-6y+8\)得到\((y-2)(y-4)\)。因此，\(y\)的解為\(y=1,y=2,y=4\)。由于\(y=x^2\)，我們得到\(x^2=1\)，\(x^2=2\)，\(x^2=4\)。因此，\(x\)的解為\(x=\pm1,x=\pm\sqrt{2},x=\pm2\)。2.（25分）證明方程\(x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0\)的根是復(fù)數(shù)。答案：考慮方程\(x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0