2025年特許金融分析師考試的信號(hào)分析試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）1.以下關(guān)于確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)的描述中，正確的是（）。A.股票日收益率序列是確定性信號(hào)，因其可通過(guò)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)B.國(guó)債收益率曲線是隨機(jī)信號(hào)，因其受宏觀經(jīng)濟(jì)變量影響C.確定性信號(hào)的未來(lái)值可由當(dāng)前值完全確定，隨機(jī)信號(hào)則具有不確定性D.隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)必為偶函數(shù)，確定性信號(hào)無(wú)此特性2.某離散時(shí)間信號(hào)x[n]={1,2,3,2,1}（n=0到4），其能量為（）。A.15B.19C.23D.273.連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)=e^(at)u(t)（a>0，u(t)為單位階躍函數(shù)）的傅里葉變換X(jω)為（）。A.1/(a+jω)B.1/(ajω)C.a/(a2+ω2)D.2a/(a2+ω2)4.若兩個(gè)信號(hào)x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)R_xy(τ)在τ=2時(shí)取得最大值，則說(shuō)明（）。A.x(t)比y(t)延遲2個(gè)單位時(shí)間時(shí)相關(guān)性最強(qiáng)B.y(t)比x(t)延遲2個(gè)單位時(shí)間時(shí)相關(guān)性最強(qiáng)C.x(t)與y(t)在τ=2時(shí)完全相關(guān)D.x(t)與y(t)的能量在τ=2時(shí)最大5.設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為10Hz的低通濾波器，用于處理某金融資產(chǎn)的分鐘收益率序列（采樣頻率為60Hz）。若采用矩形窗設(shè)計(jì)FIR濾波器，其最小階數(shù)應(yīng)滿足（）（取主瓣寬度近似為4π/N）。A.N≥12B.N≥24C.N≥36D.N≥486.某隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度為S(ω)=1/(1+ω2)，其均方值為（）。A.1/2B.1C.π/2D.π7.對(duì)離散時(shí)間信號(hào)x[n]進(jìn)行理想采樣（采樣間隔T=1），其頻譜X(e^jω)與原連續(xù)信號(hào)頻譜X(jΩ)的關(guān)系為（）。A.X(e^jω)=X(jω/T)B.X(e^jω)=(1/T)ΣX(j(ω2πk)/T)C.X(e^jω)=X(jω)D.X(e^jω)=TΣX(j(ω2πk)/T)8.已知信號(hào)x(t)的帶寬為B，對(duì)其進(jìn)行均勻采樣時(shí)，為避免混疊，采樣頻率f_s需滿足（）。A.f_s≥BB.f_s≥2BC.f_s≥3BD.f_s≥4B9.某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=e^(t)u(t)，輸入信號(hào)x(t)=δ(t1)（δ為沖激函數(shù)），則輸出y(t)為（）。A.e^((t1))u(t1)B.e^(t)u(t1)C.e^((t+1))u(t+1)D.e^(t)u(t)10.信噪比（SNR）為20dB的信號(hào)，其信號(hào)功率與噪聲功率之比為（）。A.10:1B.100:1C.1000:1D.10000:1二、計(jì)算題（每題10分，共50分）1.已知離散時(shí)間信號(hào)x[n]={2,1,3,0}（n=0到3），y[n]={1,2,1}（n=0到2）。計(jì)算：（1）x[n]與y[n]的卷積z[n]；（2）x[n]的自相關(guān)函數(shù)R_xx[k]（k=0,±1,±2）。2.某金融資產(chǎn)的日收益率序列r[t]可表示為r[t]=0.5r[t1]+w[t]，其中w[t]為白噪聲（方差σ_w2=0.01）。（1）求r[t]的自相關(guān)函數(shù)R_r[k]；（2）繪制R_r[k]隨k變化的示意圖（k≥0）。3.連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)=cos(2πf1t)+0.5cos(2πf2t)（f1=10Hz，f2=50Hz），疊加高斯白噪聲n(t)（功率譜密度N0/2=0.001）。設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為20Hz的理想低通濾波器，求濾波后的輸出信號(hào)y(t)及其信噪比（SNR）。4.離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H(e^jω)=1e^(j2ω)，（1）求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h[n]；（2）分析該系統(tǒng)對(duì)頻率ω=π/2和ω=π的正弦信號(hào)的幅度響應(yīng)。5.對(duì)某股票的5分鐘收益率序列（采樣頻率f_s=12次/小時(shí)）進(jìn)行頻譜分析，測(cè)得其功率譜密度在ω=π/3（對(duì)應(yīng)頻率f=f_s/(2π)·ω）處有顯著峰值。（1）計(jì)算該峰值對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率（單位：Hz）；（2）若該序列存在周期為T(mén)的隱含周期，求T的可能值（單位：分鐘）。三、分析題（每題20分，共20分）某量化投資團(tuán)隊(duì)擬通過(guò)信號(hào)分析方法優(yōu)化波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型。已知標(biāo)的資產(chǎn)的高頻收益率序列r[t]存在明顯的“高頻噪聲”（如市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲）和“低頻趨勢(shì)”（如信息驅(qū)動(dòng)的真實(shí)波動(dòng)）。團(tuán)隊(duì)計(jì)劃采用數(shù)字濾波器分離這兩部分：（1）應(yīng)選擇低通濾波器還是高通濾波器提取低頻趨勢(shì)？說(shuō)明理由；（2）若采用FIR濾波器，其線性相位特性對(duì)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的意義是什么？（3）實(shí)際應(yīng)用中，濾波器的截止頻率應(yīng)如何根據(jù)數(shù)據(jù)特征確定？結(jié)合金融場(chǎng)景舉例說(shuō)明。答案一、單項(xiàng)選擇題1.C（解析：股票收益率含隨機(jī)噪聲，屬隨機(jī)信號(hào)；國(guó)債收益率曲線由市場(chǎng)決定，也屬隨機(jī)；自相關(guān)函數(shù)偶函數(shù)是隨機(jī)信號(hào)的特性，但確定性周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也可能是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤。）2.B（能量=12+22+32+22+12=1+4+9+4+1=19）3.A（傅里葉變換公式∫?^∞e^(at)e^(jωt)dt=1/(a+jω)）4.B（互相關(guān)函數(shù)R_xy(τ)=E[x(t)y(t+τ)]，τ=2時(shí)最大，說(shuō)明y(t+2)與x(t)最相關(guān)，即y(t)比x(t)延遲2個(gè)單位。）5.B（主瓣寬度≈4π/N，對(duì)應(yīng)頻率寬度≈4π/(N·T)，T=1/60s，要求截止頻率10Hz對(duì)應(yīng)ω_c=2π×10=20πrad/s。主瓣寬度需覆蓋過(guò)渡帶，通常取N≥4π/(2π×(f_s/2f_c)×T)，簡(jiǎn)化后N≥24。）6.C（均方值=(1/(2π))∫_{∞}^∞S(ω)dω=(1/(2π))×π=1/2？不，正確計(jì)算：∫_{∞}^∞1/(1+ω2)dω=π，故均方值=π/(2π)=1/2？但實(shí)際隨機(jī)信號(hào)的均方值是功率，功率譜積分除以2π。正確應(yīng)為(1/(2π))×π=1/2，但選項(xiàng)無(wú)此答案?？赡茴}目中S(ω)是單邊譜，若為雙邊譜則均方值=∫_{0}^∞S(ω)dω=π/2，選C。）7.B（理想采樣頻譜為原頻譜以2π/T為周期的周期延拓，幅度為1/T，故X(e^jω)=(1/T)ΣX(j(ω2πk)/T)）8.B（奈奎斯特采樣定理要求f_s≥2B）9.A（沖激響應(yīng)h(t)作用于δ(t1)，輸出為h(t1)=e^((t1))u(t1)）10.B（SNR(dB)=10log10(P_s/P_n)=20→P_s/P_n=102=100:1）二、計(jì)算題1.（1）卷積z[n]計(jì)算：x[n]長(zhǎng)度4（n=03），y[n]長(zhǎng)度3（n=02），卷積后長(zhǎng)度4+31=6（n=05）。z[0]=x[0]y[0]=2×1=2z[1]=x[0]y[1]+x[1]y[0]=2×2+(1)×1=41=3z[2]=x[0]y[2]+x[1]y[1]+x[2]y[0]=2×1+(1)×2+3×1=22+3=3z[3]=x[1]y[2]+x[2]y[1]+x[3]y[0]=(1)×1+3×2+0×1=1+6=5z[4]=x[2]y[2]+x[3]y[1]=3×1+0×2=3z[5]=x[3]y[2]=0×1=0故z[n]={2,3,3,5,3,0}（n=05）（2）自相關(guān)函數(shù)R_xx[k]：R_xx[0]=x[0]2+x[1]2+x[2]2+x[3]2=4+1+9+0=14R_xx[1]=x[0]x[1]+x[1]x[2]+x[2]x[3]=2×(1)+(1)×3+3×0=23+0=5R_xx[2]=x[0]x[2]+x[1]x[3]=2×3+(1)×0=6+0=6R_xx[1]=R_xx[1]=5（自相關(guān)偶函數(shù)）R_xx[2]=R_xx[2]=6k≥3時(shí)，R_xx[k]=0（因序列長(zhǎng)度4，k=3時(shí)x[0]x[3]=2×0=0，無(wú)其他項(xiàng)）2.（1）r[t]為一階自回歸AR(1)模型，φ=0.5。AR(1)的自相關(guān)函數(shù)R_r[k]=φ^kR_r[0]（k≥0）。R_r[0]=Var(r[t])=σ_w2/(1φ2)=0.01/(10.25)=0.01/0.75≈0.0133故R_r[k]=0.0133×(0.5)^k（k≥0），k<0時(shí)R_r[k]=R_r[k]（2）示意圖：k=0時(shí)R_r[0]≈0.0133，k=1時(shí)≈0.00665，k=2時(shí)≈0.003325，呈指數(shù)衰減趨勢(shì)，無(wú)負(fù)值。3.（1）理想低通濾波器截止頻率20Hz，可保留f1=10Hz分量，濾除f2=50Hz分量。輸出y(t)=cos(2π×10t)+n'(t)，其中n'(t)為濾波后的噪聲（僅保留020Hz內(nèi)的噪聲）。（2）信號(hào)功率P_s=0.5×12+0.5×0.52（余弦信號(hào)功率為振幅平方的1/2）？不，原信號(hào)x(t)中cos(2πf1t)的功率為(12)/2=0.5，0.5cos(2πf2t)的功率為(0.52)/2=0.125。濾波后僅保留f1分量，故P_s'=0.5。噪聲功率P_n'=∫_{20}^{20}(N0/2)dω=(N0/2)×2×20×2π（注意ω=2πf，dω=2πdf）？更簡(jiǎn)單的方式：噪聲功率譜密度為N0/2=0.001V2/Hz（雙邊譜），濾波后噪聲帶寬B=20Hz（單邊），故P_n'=N0/2×2B=0.001×40=0.04（雙邊譜時(shí)，總噪聲功率=∫_{B}^{B}(N0/2)dω=N0/2×2B=N0B，這里B=20Hz，N0=0.002（單邊譜密度為N0/2=0.001，故N0=0.002），所以P_n'=0.002×20=0.04）。SNR=P_s'/P_n'=0.5/0.04=12.5（即10log10(12.5)≈10.97dB）4.（1）頻率響應(yīng)H(e^jω)=1e^(j2ω)=e^(jω)(e^(jω)e^(jω))=2je^(jω)sinω，對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h[n]為H(e^jω)的逆離散時(shí)間傅里葉變換（IDTFT）。H(e^jω)=δ[n]δ[n2]（因e^(j2ω)對(duì)應(yīng)δ[n2]的傅里葉變換），故h[n]=δ[n]δ[n2]（2）幅度響應(yīng)|H(e^jω)|=|1e^(j2ω)|=|e^(jω)(e^(jω)e^(jω))|=|2sinω|（利用歐拉公式）。當(dāng)ω=π/2時(shí)，|H(e^jπ/2)|=2sin(π/2)=2；當(dāng)ω=π時(shí)，|H(e^jπ)|=2sinπ=0，故對(duì)ω=π的信號(hào)完全抑制。5.（1）離散頻率ω=π/3，對(duì)應(yīng)實(shí)際頻率f=(ω/(2π))×f_s=(π/3)/(2π)×12=(1/6)×12=2Hz（因f_s=12次/小時(shí)=12/(3600)Hz？不，用戶可能混淆了采樣頻率的單位。原題中“采樣頻率f_s=12次/小時(shí)”即每小時(shí)采樣12次，間隔為5分鐘（60/12=5）。離散頻率ω=2πf/f_s（f為實(shí)際頻率，單位：次/小時(shí)），故f=(ω/(2π))×f_s=(π/3)/(2π)×12=2次/小時(shí)=2/60=1/30Hz≈0.0333Hz。（2）周期T=1/f=1/(2次/小時(shí))=0.5小時(shí)=30分鐘，或考慮奈奎斯特頻率f_nyq=f_s/2=6次/小時(shí)，可能的周期為T(mén)=30分鐘（基頻）或其整數(shù)分之一（如15分鐘、10分鐘等），但需滿足f≤f_nyq，故T≥10分鐘（f=6次/小時(shí)對(duì)應(yīng)T=10分鐘）。三、分析題（1）應(yīng)選擇低通濾波器提取低頻趨勢(shì)。高頻噪聲通常表現(xiàn)為短時(shí)間尺度的劇烈波動(dòng)（如買(mǎi)賣(mài)價(jià)差、訂單沖擊），頻率較高；低頻趨勢(shì)反映信息驅(qū)動(dòng)的真實(shí)波動(dòng)，頻率較低。低通濾波器允許低頻成分通過(guò)，抑制高頻噪聲，因此適合分離趨勢(shì)。（2）FIR濾波器的線性相位特性意味著不同頻率成分的延遲時(shí)間相同（群延遲恒定），避免相位失真。在波動(dòng)率預(yù)測(cè)中，收益率序列的時(shí)間順序和相位關(guān)系對(duì)波動(dòng)聚集性（如ARCH效應(yīng)）的建模至關(guān)重要。若濾波器存在非線性相位，會(huì)導(dǎo)致不同頻率成分的時(shí)間對(duì)齊錯(cuò)誤，影響后續(xù)條件異方差模型（如GARCH）的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確性