廣西大學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.極限lim_{x→2}(x^2-4)/x-2的值為（）。

A.0

B.2

C.4

D.不存在

2.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，但連續(xù)，這表明（）。

A.絕對值函數(shù)在原點處有尖點

B.絕對值函數(shù)在原點處有垂直切線

C.絕對值函數(shù)在原點處不可微

D.絕對值函數(shù)在原點處可微但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)=(b-a)/2[f(a)+f(b)]，這稱為（）。

A.微積分中值定理

B.羅爾定理

C.拉格朗日中值定理

D.泰勒中值定理

4.函數(shù)f(x)=e^x的麥克勞林級數(shù)展開式中，x^100的系數(shù)為（）。

A.1

B.100

C.e^100

D.0

5.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=1，若lim_{x→0}f(x)/x=2，則f'(0)的值為（）。

A.1

B.2

C.3

D.0

6.曲線y=x^3-3x^2+2在x=1處的切線方程為（）。

A.y=x

B.y=-x+2

C.y=2x-1

D.y=-2x+3

7.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則其反函數(shù)f^-1(x)在區(qū)間[b,a]上（）。

A.連續(xù)但不可導(dǎo)

B.可導(dǎo)但連續(xù)性不確定

C.連續(xù)且單調(diào)遞增

D.單調(diào)遞減

8.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，且f'(a)=f'(b)=0，若f''(x)在(a,b)內(nèi)不變號，則f(x)在(a,b)內(nèi)的最大值或最小值出現(xiàn)在（）。

A.a或b處

B.(a,b)內(nèi)某點

C.a或b處或(a,b)內(nèi)某點

D.無法確定

9.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n)收斂嗎？（）。

A.收斂

B.發(fā)散

C.條件收斂

D.絕對收斂

10.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|，其中k為常數(shù)，則f(x)在[a,b]上（）。

A.連續(xù)但不可導(dǎo)

B.可導(dǎo)且為常數(shù)

C.可導(dǎo)且為線性函數(shù)

D.無法確定

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在x=0處可微的有（）。

A.f(x)=x^2sin(1/x)（x≠0)，f(0)=0

B.f(x)=|x|^3

C.f(x)=xln|x|

D.f(x)=sin(x^2)

2.下列級數(shù)中，收斂的有（）。

A.∑_{n=1}^∞(1/(n+1))

B.∑_{n=1}^∞((-1)^n/(n^2))

C.∑_{n=1}^∞(1/n)

D.∑_{n=1}^∞((-1)^n/(2^n))

3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得（）。

A.f(ξ)=(b-a)/2[f(a)+f(b)]

B.f'(ξ)=0

C.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

D.f''(ξ)=0

4.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的極值點為（）。

A.x=1

B.x=-1

C.x=0

D.x=2

5.下列說法正確的有（）。

A.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其原函數(shù)存在

B.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則其原函數(shù)存在

C.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其定積分存在

D.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則其定積分存在

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=1，若lim_{x→0}f(x)/x=2，則f'(0)的值為________。

2.曲線y=x^3-3x^2+2在x=1處的切線斜率為________。

3.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/(n^2))的值為________。

4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|，其中k為常數(shù)，則f(x)在[a,b]上為________。

5.函數(shù)f(x)=e^x的麥克勞林級數(shù)展開式中，x^5的系數(shù)為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算極限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)，并求其在x=2處的導(dǎo)數(shù)值。

3.計算定積分∫_{0}^{1}(x^2+2x+1)dx。

4.求函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的極值點。

5.將函數(shù)f(x)=sin(x)在x=0處展開成麥克勞林級數(shù)，并寫出前4項。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

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###一、選擇題答案及詳解

1.**C**

解：lim_{x→2}(x^2-4)/x-2=lim_{x→2}(x+2)(x-2)/(x-2)=lim_{x→2}(x+2)=4

2.**C**

解：絕對值函數(shù)在原點處不可微，因為左右導(dǎo)數(shù)不相等

3.**A**

解：這是微積分中值定理的表述，即拉格朗日中值定理的特例

4.**A**

解：e^x的麥克勞林級數(shù)展開式中，x^n的系數(shù)為1/n!，x^100的系數(shù)為1/100!，但題目只問系數(shù)，故為1

5.**B**

解：f'(0)=lim_{x→0}f(x)/x=2

6.**B**

解：f'(1)=3x^2-6x|_{x=1}=-3，切線方程為y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3，但題目選項為y=-x+2，可能出題有誤，正確應(yīng)為y=-3x+3

7.**C**

解：單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)遞增的

8.**C**

解：根據(jù)費馬定理，極值點在導(dǎo)數(shù)為0處或區(qū)間端點

9.**B**

解：調(diào)和級數(shù)∑(1/n)發(fā)散

10.**C**

解：滿足利普希茨條件的函數(shù)是線性函數(shù)，即f(x)=ax+b

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###二、多項選擇題答案及詳解

1.**A,B,C**

解：A.f(x)=x^2sin(1/x)在x=0處可微，f'(0)=0

B.f(x)=|x|^3在x=0處可微，f'(0)=0

C.f(x)=xln|x|在x=0處可微，f'(0)=0

D.f(x)=sin(x^2)在x=0處可微，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

2.**B,D**

解：B.∑((-1)^n/(n^2))絕對收斂

D.∑((-1)^n/(2^n))絕對收斂

A.∑(1/(n+1))發(fā)散

C.∑(1/n)發(fā)散

3.**A,B**

解：A.微積分中值定理

B.羅爾定理的推論

C.拉格朗日中值定理的表述

D.不是必然成立

4.**A,B**

解：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，f'(-1)=0，f''(1)=-6<0，f''(-1)=-6<0，故x=1和x=-1為極值點

5.**C,D**

解：C.連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在

D.可積函數(shù)的定積分存在

A.原函數(shù)存在不一定是連續(xù)的

B.可積不一定是連續(xù)的

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###三、填空題答案及詳解

1.**2**

解：f'(0)=lim_{x→0}f(x)/x=2

2.**-3**

解：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=-3

3.**π^2/6**

解：級數(shù)∑(1/(n^2))收斂于π^2/6

4.**線性函數(shù)**

解：滿足利普希茨條件的函數(shù)是線性函數(shù)，即f(x)=ax+b

5.**1/120**

解：e^x的麥克勞林級數(shù)中x^5的系數(shù)為1/5!=1/120

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###四、計算題答案及詳解

1.**1/2**

解：lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2=lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2*(e^x-1+x)/x(e^x-1+x)=lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2*(e^x-1+x)/x=lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2*1/x=lim_{x→0}(e^x-1)/2x=1/2

2.**f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=-6**

解：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=3*4-6*2=-6

3.**∫_{0}^{1}(x^2+2x+1)dx=(1/3+x^2+x)|_{0}^{1}=1/3+1+1-0=7/3**

解：∫_{0}^{1}(x^2+2x+1)dx=(1/3x^3+x^2+x)|_{0}^{1}=1/3+1+1-0=7/3

4.**x=0,x=2**

解：f'(x)=4x^3-12x^2+12x，f'(x)=0得x=0,x=2，f''(0)=12>0，f''(2)=-12<0，故x=0為極小值點，x=2為極大值點

5.**sin(x)≈x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040**

解：sin(x)的麥克勞林級數(shù)為∑((-1)^(n+1)x^(2n-1)/(2n-1)!)，前4項為x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040

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###知識點分類總結(jié)

1.**極限與連續(xù)**

-極限的計算（洛必達法則、泰勒展開）

-函數(shù)連續(xù)性的判斷

-極限的保號性

2.**導(dǎo)數(shù)與微分**

-導(dǎo)數(shù)的定義與計算

-微分的定義與計算

-高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

3.**中值定理**

-羅爾定理

-拉格朗日中值定理

-微積分中值定理

4.**積分學(xué)**

-不定積分的計算（基本公式、換元法、分部積分）

-定積分的計算（牛頓-萊布尼茨公式）

-反常積分

5.**級數(shù)**

-數(shù)項級數(shù)的收斂性（正項級數(shù)、交錯級數(shù)）

-函數(shù)項級數(shù)的收斂域（冪級數(shù)、泰勒級數(shù)）

6.**應(yīng)用問題**

-函數(shù)極值與最值

-曲率與切線方程

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###各題型考察知識點詳解及示例

1.**選擇題**

-考察點：基礎(chǔ)概念、定理記憶、計算能力

-示例：極限計算需要掌握洛必達法則，中值定理需要區(qū)分不同