第2節(jié)排列與組合課標(biāo)要求1.理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.2.能解決簡單的實際問題.【知識梳理】1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并按照排成一列,稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列組合并成一組,稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有的個數(shù),稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù),用符號Anm(2)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有的個數(shù),稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù),用符號Cnm表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝____________＝eq\f(n！,（n－m）！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝AnmAmm＝______________(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。絖_____；Aeq\o\al(n,n)＝________(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝________[常用結(jié)論與微點提醒]1.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)！－n?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2.解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題倍縮法處理.(7)分排問題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化.【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.()(3)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立.()(4)(n＋1)?。璶?。絥·n！.()(5)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).()2.(蘇教選修二P69T4原題)下列各式中，不等于n！的是()A.Aeq\o\al(n,n) B.eq\f(1,n＋1)Aeq\o\al(n＋1,n＋1)C.Aeq\o\al(n,n＋1) D.nAeq\o\al(n－1,n－1)3.(人教A選修三P37T1(3)改編)安排6名歌手演出排序時，要求某歌手不是第一個出場，也不是最后一個出場，則不同排法的種數(shù)是()A.120 B.240C.480 D.7204.(人教B選修二P22練習(xí)BT1(1)改編)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,9)＋Ceq\o\al(7,10)＝________.考點一排列問題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(4)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定.思維建模排列應(yīng)用問題的分類與解法對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.訓(xùn)練1(1)(2025·深圳調(diào)研)已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名(無并列情況)，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有()A.72種 B.96種C.144種 D.288種(2)(2025·成都診斷)某停車場有兩排空車位，每排4個，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有________種(填數(shù)字).考點二組合問題例2某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？思維建模組合問題的兩種題型與解法題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個元素的組合解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理訓(xùn)練2(1)(2025·太原模擬)北斗七星是夜空中的七顆亮星，我國漢代緯書《春秋運斗樞》就有記載，它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗，故命名為北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示某季節(jié)的北斗七星，其中B，D，E，F(xiàn)看作共線，其他任何三點均不共線.若過這七個點中任意三個點作三角形，則所作的不同三角形的個數(shù)為()A.30 B.31C.34 D.35(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答).考點三排列與組合的綜合角度1相鄰、相間問題例3(1)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A.12種 B.24種C.36種 D.48種(2)(2025·濰坊模擬)在濰坊國際風(fēng)箏會期間，某學(xué)校派5人參加連續(xù)6天的志愿服務(wù)活動，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有________種.(結(jié)果用數(shù)值表示)角度2分組、分配問題例4按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本.思維建模1.相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.2.對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點(1)處理分配問題要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分堆時要注意是否均勻.訓(xùn)練3(1)(2025·溫州調(diào)研)6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有()A.72種 B.144種C.216種