第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法目錄/Contents第四節(jié)函數(shù)性態(tài)與圖形三、曲線的凹凸性與拐點四、曲線的漸近線五、函數(shù)圖形的描繪一、函數(shù)單調(diào)性的判別法先從幾何直觀圖形來觀察.若區(qū)間內(nèi),曲線是上升的,即函數(shù)是單調(diào)增加的,則曲線上每一點的切線斜率都非負(fù),也即,(如圖3.3(a)).若區(qū)間內(nèi),曲線是下降的,即函數(shù)是單調(diào)減少的,則曲線上每一點的切線斜率都非正,也即,(如圖3.3(b)).(a)函數(shù)圖形上升時切線斜率都非負(fù)(b)函數(shù)圖形下降時切線斜率都非正圖3.3反過來,能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判別函數(shù)的單調(diào)性呢?一、函數(shù)單調(diào)性的判別法OxyABaby=f(x)OxyABaby=f(x)一、函數(shù)單調(diào)性的判別法定理3.8（單調(diào)性判定定理）在內(nèi)可導(dǎo),（1）如果,恒有,則在內(nèi)單調(diào)增加；（2）如果,恒有,則在內(nèi)單調(diào)減少.證明在區(qū)間內(nèi)任取兩點,,設(shè),則函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理,得,.（1）如果,恒有,則,于是,即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加.（2）如果,恒有,則,于是,即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少.在上連續(xù),設(shè)函數(shù)一、函數(shù)單調(diào)性的判別法注意（1）如果定理中的換成其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間）,結(jié)論仍然成立；（2）若有（或）,且等號只是在個別點處成立,結(jié)論仍然成立.判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟:①確定函數(shù)的定義域；②求,找出定義域內(nèi)或不存在的點

,這些點將定義域分成若干區(qū)間；③列表在各區(qū)間判別的符號,從而確定函數(shù)的單調(diào)性.一、函數(shù)單調(diào)性的判別法圖3.4【例1】判斷函數(shù)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域為,又,且只有當(dāng)時,,所以在內(nèi)單調(diào)增加（如圖3.4）.Oxyy=x3一、函數(shù)單調(diào)性的判別法↗↘↗【例2】確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1).解函數(shù)的定義域為,又令,得,.列表判斷如下:注:表中符號“↗”表示單調(diào)增加;“↘”表示單調(diào)減少.,圖3.5一、函數(shù)單調(diào)性的判別法所以,在

內(nèi)單調(diào)減少(如圖3.5).y21Ox-1

在

,

內(nèi)單調(diào)增加；圖3.6一、函數(shù)單調(diào)性的判別法↘↗y=x23yOx(2).解函數(shù)的定義域為,又,當(dāng)時不存在.列表判斷如下:所以,在內(nèi)單調(diào)減少；(如圖3.6).內(nèi)單調(diào)增加在一、函數(shù)單調(diào)性的判別法【例3】證明：當(dāng)時,.證明令,則當(dāng)時,；即,故也即.,在內(nèi)單調(diào)增加,所以,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)性態(tài)與圖形三、曲線的凹凸性與拐點四、曲線的漸近線五、函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)的極值及其求法定義3.1設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,對于鄰域內(nèi)異于的任意一點均有,則稱是函數(shù)極大值,稱是函數(shù)的極大值點；對于鄰域內(nèi)異于的任意一點均有,則稱函數(shù)極小值,稱是函數(shù)的極小值點.函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱極值；函數(shù)的極大值點和極小值點統(tǒng)稱極值點.圖3.7Oxy二、函數(shù)的極值及其求法bax1x2x3x4x5函數(shù)在點,有極大值,,在點,有極小值,；即該切線的斜率為零,但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.例圖3.7中處曲線上有水平切線,但不是極值.顯然,函數(shù)的極值是一個局部性的概念,它只是在與極值點附近局部范圍的所有點的函數(shù)值相比較而言.為了研究函數(shù)極值的求法,先觀察(如圖3.7)所示函數(shù)的圖形.,如果曲線的切線存在,那么該切線平行于軸,在函數(shù)取得極值處二、函數(shù)的極值及其求法定理3.9

(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo),且在點處取得極值,則函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)為零,即.證明不妨設(shè)為極大值(極小值情形可類似證明),由極大值的定義,在點的某個去心鄰域內(nèi),對于任何點,總有成立,于是當(dāng)時,；當(dāng)時,,由函數(shù)極限的保號性推論,可知二、函數(shù)的極值及其求法又由假設(shè)在處可導(dǎo),所以即有.,；,二、函數(shù)的極值及其求法使導(dǎo)數(shù)為零即的點稱為函數(shù)的駐點.定理3.9說明,可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點；值點.例如,是函數(shù)的駐點,可它并不是極值點.另外,對于導(dǎo)數(shù)不存在的點,函數(shù)也可能取得極值.例如,函數(shù),它在點處導(dǎo)數(shù)不存在,但在該點卻取得極小值.所以,函數(shù)的可能的極值點在,或不存在的點中.下面給出函數(shù)極值的判別法.但駐點不一定是極二、函數(shù)的極值及其求法定理3.10

(判別極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù),在去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),(1)若當(dāng)時,；則是函數(shù)的極大值點；(2)若當(dāng)時,；則是函數(shù)的極小值點；(3)若當(dāng)時,保號,則不是函數(shù)的極值點.時,,當(dāng)時,,當(dāng)二、函數(shù)的極值及其求法證明根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判別法,由(1)中假設(shè)可知,函數(shù)在點的左鄰域單調(diào)增加,函數(shù)在點的右鄰域單調(diào)減少,且在點處連續(xù),所以在點的某一鄰域內(nèi)恒有,即是極大值,是函數(shù)的極大值點.同理可證(2).(3)因為在,保號,因此在左右兩邊均單調(diào)增加或單調(diào)減少,所以不可能是函數(shù)的極值點.二、函數(shù)的極值及其求法判別函數(shù)極值的一般步驟如下:①確定函數(shù)的定義域；②求,找出定義域內(nèi)使或不存在的點,這些點將定義域分成若干區(qū)間；③列表由在上述點兩側(cè)的符號,確定是否是極值點,是極大值點還是極小值點；④求出極值.函數(shù)在處取得極小值.二、函數(shù)的極值及其求法↘↘↗↗【例4】求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域為,又,令,得駐點,,.列表判斷如下:所以,二、函數(shù)的極值及其求法↗↘↗所以,函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少；處取得極大值,在點處取得極小值.【例5】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解函數(shù)的定義域是,又,令,得駐點,不存在的點.列表判斷如下:在點二、函數(shù)的極值及其求法當(dāng)函數(shù)在駐點處有不等于零的二階導(dǎo)數(shù)時,我們往往利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的駐點是否為極值點,

定理3.11

(判別極值的第二充分條件)設(shè)函數(shù)在點處有二階導(dǎo)數(shù),且,.(1)若,則函數(shù)在點處取得極大值；(2)若,則函數(shù)在點處取得極小值..即有下面判定定理二、函數(shù)的極值及其求法證明(1)由二階導(dǎo)數(shù)的定義,及,,得由函數(shù)極限的保號性,可知,所以當(dāng)時,；由定理3.8可知,函數(shù)在處取得極大值.同理可證(2).,時,,當(dāng)二、函數(shù)的極值及其求法判別可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟如下:①確定函數(shù)的定義域；②求定義域內(nèi)的駐點,即定義域內(nèi)的點；③由在定義域內(nèi)的駐點處的符號,④求出極值.確定是極大值點還是極小值點；二、函數(shù)的極值及其求法【例6】求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域是,又,令,得駐點,,因為,所以函數(shù)在處取得極大值,因為,所以函數(shù)在處取得極小值.,二、函數(shù)的極值及其求法注意當(dāng)時,定理3.11

失效,此時需用定理3.10或極值定義判別.【例7】求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域是,又,,令,得駐點,,,因為,所以函數(shù)在處取得極小值,而,無法用定理3.11判別,需用定理3.10判別,過程見例1.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)性態(tài)與圖形三、曲線的凹凸性與拐點四、曲線的漸近線五、函數(shù)圖形的描繪三、曲線的凹凸性與拐點ABCD圖3.8xyO前面,我們研究了函數(shù)的單調(diào)性與極值,這對描繪函數(shù)的圖形有很大的作用,但是,僅僅知道這些,還不能比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形.同樣是上升(或下降)的曲線弧卻有不同的彎曲狀況(如圖3.8)向下彎曲,向上彎曲,因此研究函數(shù)圖形時,還要研究曲線的彎曲狀況,即曲線的凹凸性.圖3.9三、曲線的凹凸性與拐點yx1x——1x+x22x2OBAf)((x+x)——2f12（a）OBAyxx1+——x1x22x2——x)+)2f(1f(x2（b）從幾何上看到,如圖3.9,在有的曲線弧上,如果任取兩點,則連接這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段上方（如圖3-9）,而有的曲線弧,則正好相反（如圖3-9）.曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性.三、曲線的凹凸性與拐點定義3.2設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),,恒有,則稱在區(qū)間內(nèi)是凹的；如果恒有,則稱在區(qū)間內(nèi)是凸的.三、曲線的凹凸性與拐點如果在區(qū)間內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù),則有下面性質(zhì)：性質(zhì)3.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù),若曲線位于其每一點處切線的上方,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)凹的；位于其每一點處切線的下方,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)凸的.如果在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),

號來判定曲線的凹凸性.若曲線那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符三、曲線的凹凸性與拐點定理3.12

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若當(dāng)時,,則曲線在內(nèi)是凹的；(2)若當(dāng)時,,則曲線在內(nèi)是凸的.定理的證明略去.定義3.3設(shè)為曲線上一點,若曲線在點的兩側(cè)有不同的凹凸性,則點稱為曲線的拐點.三、曲線的凹凸性與拐點定理3.13（拐點的必要條件）若在點的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且為曲線的拐點,則.僅僅是為拐點的必要條件.例如,對于函數(shù),由于,因此曲線在內(nèi)是凹的,這時雖然有,但并不是該曲線的拐點.下面給出判別拐點的兩個充分條件：三、曲線的凹凸性與拐點定理3.14

設(shè)在的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且,若在點的左、右兩側(cè)異號,則是曲線的拐點,的左、右兩側(cè)同號,則不是曲線的拐點.定理3.15

設(shè)在的某個鄰域內(nèi)三階可導(dǎo),且,,則是曲線的拐點.此外,對于不存在的點,也可能是曲線的拐點.在點若三、曲線的凹凸性與拐點注意極值點,駐點是指軸上的點,而拐點是指曲線上的點.判別曲線的凹凸性與拐點的一般步驟如下:①確定函數(shù)的定義域；②求,并找出定義域內(nèi)或不存在的點,這些點將定義域分成若干區(qū)間；③列表,由在上述點兩側(cè)的符號確定曲線的凹凸性與拐點.三、曲線的凹凸性與拐點【例8】求曲線的的凹凸區(qū)間與拐點.解曲線對應(yīng)函數(shù)的定義域是,又,令,得,.列表判別如下:所以,曲線在,內(nèi)是凹的；曲線的拐點為和.,內(nèi)是凸的；在三、曲線的凹凸性與拐點【例9】求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.解曲線對應(yīng)函數(shù)的定義域是,又,,不存在的點為.列表判別如下:所以,曲線在內(nèi)是凹的；拐點為.內(nèi)是凸的；在曲線的三、曲線的凹凸性與拐點10【例】求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.解曲線對應(yīng)函數(shù)的定義域是,又,,令,得；不存在的點為.列表判別如下:所以,曲線在內(nèi)是凹的；的拐點為.內(nèi)是凸的；在曲線非拐點e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)性態(tài)與圖形三、曲線的凹凸性與拐點四、曲線的漸近線五、函數(shù)圖形的描繪四、曲線的漸近線可以判定函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性,利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),從而對函數(shù)所表示的曲線的升降和彎曲情況有定性的認(rèn)識,但當(dāng)函數(shù)的定義域為無窮區(qū)間或有無窮間斷點時,如何刻畫曲線向無窮遠(yuǎn)處延伸的趨勢變化?為此,需要引入曲線漸近線的概念.定義3.4當(dāng)曲線上的一動點沿著曲線趨于無窮遠(yuǎn)時,如果該點與某定直線的距離趨于零,那么直線稱為曲線的漸近線.四、曲線的漸近線1.水平漸近線設(shè)曲線,如果,或或,那么直線稱為曲線的水平漸近線.【例11】求曲線的水平漸近線.解因為,所以直線為曲線的水平漸近線.四、曲線的漸近線【例12】求曲線的水平漸近線.解因為,所以直線為曲線的水平漸近線.又因為,所以直線為曲線的水平漸近線.【例13】求曲線的水平漸近線.解因為,所以直線為曲線的水平漸近線.四、曲線的漸近線2.鉛直漸近線設(shè)有曲線,如果存在常數(shù),使得或或,那么直線稱為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線又叫垂直漸近線.【例14】求曲線的漸近線.解因為,所以直線為曲線的鉛直漸近線.四、曲線的漸近線【例15】求曲線的鉛直漸近線.解因為,所以直線為曲線的鉛直漸近線.【例16】求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線.解因為,,所以直線為曲線的水平漸近線,直線為曲線的鉛直漸近線.四、曲線的漸近線3.斜漸近線設(shè)有曲線和直線,如果或或,那么直線稱為曲線的斜漸近線.下面給出求的公式,由,有,所以,.四、曲線的漸近線由,有,所以,.由,有,所以,.四、曲線的漸近線【例17】求曲線的斜漸近線.解因為且所以直線為曲線的斜漸近線.,,四、曲線的漸近線【例18】求曲線的漸近線.解因為,

又因為且所以直線為曲線的斜漸近線.為曲線的鉛直漸近線；所以直線,；e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)性態(tài)與圖形三、曲線的