2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-空間幾何體的性質(zhì)與計(jì)算綜合題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離為（）A.3B.2C.1D.0.52.已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，若△ABC的面積為6，則三棱錐P-ABC的體積為（）A.2√3B.3√3C.4√3D.6√33.設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/34.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=AC=1，BC=√2，AA1=2，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為（）A.1B.√2C.√3D.25.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2，高為2，則其外接球的表面積為（）A.4πB.8πC.12πD.16π6.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，則三棱錐P-ABD的體積為（）A.1B.√2C.√3D.27.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱C1D1的中點(diǎn)，則直線AE與平面BCE所成的角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1=2，則三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為（）A.12√3B.16√3C.20√3D.24√39.已知球O的半徑為R，球面上有兩點(diǎn)A和B，且AO⊥BO，AB=√2R，則A和B兩點(diǎn)間的球面距離為（）A.π/4B.π/3C.π/2D.π10.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1=AD=2，∠BAD=60°，則點(diǎn)A1到平面BCD的距離為（）A.1B.√2C.√3D.2二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱C1D1的中點(diǎn)，則直線AE與直線CF所成角的余弦值為________。12.設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是△ABC的外心，若△ABC的面積為6，PA=PB=PC=3，則三棱錐P-ABC的體積為________。13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為________。14.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則其側(cè)面積與底面積之比為________。15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，則四棱錐P-ABCD的表面積為________。三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.(本小題滿分14分)在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=AB=1。求：（1）棱PC與平面PAB所成的角的正弦值；（2）二面角A-PBC的余弦值。17.(本小題滿分14分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3。點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)。求：（1）直線A1E與平面A1B1CD1所成的角的正弦值；（2）三棱錐F-BCD的體積。18.(本小題滿分15分)已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是△ABC的垂心，且PA=PB=PC=2，△ABC的面積為2√3。求：（1）三棱錐P-ABC的高；（2）三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值。19.(本小題滿分15分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，AA1=2，∠BAD=60°。求：（1）點(diǎn)A1到平面B1CD1的距離；（2）四棱錐A1-BCD1的體積。20.(本小題滿分12分)在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長為2，高為2。求：（1）側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值；（2）正四棱錐S-ABCD的外接球的半徑。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)。求證：平面PAD⊥平面PAC。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離公式為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)，代入得d=|1+2+3-1|/√(12+12+12)=3√3/3=√3，選項(xiàng)C正確。2.B解析：三棱錐P-ABC的高為點(diǎn)P到底面ABC的距離，設(shè)高為h，則體積V=1/3×底面積×高=1/3×6×h=2h，又由射影性質(zhì)可知h=2√3/3，故V=2×2√3/3=3√3，選項(xiàng)B正確。3.A解析：設(shè)側(cè)面與底面所成的二面角為θ，取底面中心O，連接SO⊥底面，SO為高，設(shè)SO=h，則AO=√2，由直角三角形SOA得cosθ=AO/SA=√2/2，選項(xiàng)A正確。4.A解析：點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離即為點(diǎn)A1到BC的垂線段長度，由直角三角形A1BD得A1D=√(AA12+AD2)=√(4+1)=√5，又BC=√2，故距離為1，選項(xiàng)A正確。5.B解析：正三棱錐外接球半徑R=√(3/4×(2√3)2+22)=√(12+4)=√16=4，表面積S=4πR2=16π，選項(xiàng)B正確。6.A解析：三棱錐P-ABD的體積V=1/3×底面積×高=1/3×1/2×1×2=1，選項(xiàng)A正確。7.D解析：連接AE，設(shè)正方體棱長為1，則AE=√(12+(1/2)2)=√5/2，連接OF，OF⊥面BCE，∠AEF為所求角，tan∠AEF=OF/AE=1/(√5/2)=2/√5，cos∠AEF=√(1-tan2∠AEF)=√(1-4/5)=1，選項(xiàng)D正確。8.A解析：表面積=2×底面積+4×側(cè)面積=2×(√3/4×22)+4×(2×2)=3√3+16=12√3，選項(xiàng)A正確。9.C解析：球面上兩點(diǎn)A、B的球面距離為∠AOB的弧長，由AO⊥BO得∠AOB=90°，故球面距離為Rπ/2，選項(xiàng)C正確。10.A解析：點(diǎn)A1到平面BCD的距離即為A1到BD的垂線段長度，由直角三角形A1BD得A1D=√(AA12+AD2)=√(4+4)=2√2，又BD=√(AB2+AD2)=√(1+4)=√5，cos∠ABD=AB/BD=1/√5，sin∠ABD=2√5/5，故距離=2√2×2√5/5=2√2，選項(xiàng)A正確。二、填空題答案及解析11.√3/2解析：設(shè)正方體棱長為1，則AE=√5/2，CF=√5/2，連接EO、FO，∠EOF為所求角，由余弦定理cos∠EOF=(EO2+FO2-OF2)/(2EO×FO)=0，故cos∠EOF=√3/2。12.3√3解析：設(shè)底面外心為O，連接PO，PO⊥面ABC，設(shè)PO=h，則△ABC面積S=1/2×AC×BC×sin∠ACB=1/2×2×2×√3/2=2√3，又h=2√3/(2√3/3)=3，體積V=1/3×6×3=3√3。13.1解析：體積V=底面積×高=1/2×1×1×2=1，選項(xiàng)1正確。14.√3:1解析：側(cè)面積=4×(1/2×2×√3)=4√3，底面積=22=4，比值為√3:1。15.10解析：表面積=側(cè)面積+底面積=4×(1/2×1×2)+2×1=4+2=6，選項(xiàng)10正確。三、解答題答案及解析16.（1）√6/3解析：取AB中點(diǎn)M，連接PM，PM⊥AB，設(shè)PC與平面PAB所成角為θ，tanθ=PM/AM=√3/2，cosθ=AM/PC=√6/3。（2）√2/2解析：取BC中點(diǎn)N，連接PN，PN⊥BC，設(shè)二面角A-PBC為φ，cosφ=PN/PA=√2/2。17.（1）√10/5解析：A1E⊥平面A1B1CD1，設(shè)∠A1EB=θ，sinθ=A1B/A1E=√5/√10=√10/5。（2）1解析：三棱錐體積V=1/3×底面積×高=1/3×1/2×1×3=1。18.（1）2解析：設(shè)底面垂心為O，連接PO，PO⊥面ABC，由等腰三角形性質(zhì)PO=2√3/(2√3/3)=2。（2）√3/3解析：設(shè)側(cè)面與底面所成角為θ，cosθ=底面邊長/側(cè)面斜邊=2/2=√3/3。19.（1）√3解析：A1到平面B1CD1的距離即為A1到BC的垂線段，由直角三角形A1BD得距離=√(22+12)=√5，選項(xiàng)√3正確。（2）1解析：四棱錐體積V=1/3×底面積×高=1/3×2×1×2=1。20.（1）√2/2解析：設(shè)側(cè)面與底面所成角為θ，cosθ=AO/SA=√2/2。（2）√3解析：外接球半徑R