13.2與三角形有關(guān)的線段13.2.2三角形的中線、角平分線、高學習目標3.提高學生動手操作及解決問題的能力.1.了解三角形的高、中線、角平分線等有關(guān)概念.2.掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法，通過觀察認識到三角形的三條高、三條中線、三條角平分線分別交于一點.

定義圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線復習回顧3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有(

)A．2條

B．3條C．4條

D．5條B

我們學習了三角形的高，我們已經(jīng)知道了三角形的面積公式，你能經(jīng)過三角形的一個頂點畫一條線段，將這個三角形分為面積相等的兩個三角形嗎？三角形中線的概念如圖，點D是BC的中點，則線段AD是△ABC的中線，幾何語言：BD=DC=BC．

在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．三角形的中線的定義如上頁圖，畫出△ABC的另兩條中線，觀察三條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？畫一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再分別畫出這三個三角形的三條中線.

三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．

三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.1.定義：在三角形中，連接一個頂點和所對邊的中點的線段叫做三角形的中線.2.三角形的重心：三角形三條中線的交點.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形內(nèi)部.4.三角形的任何一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.如上圖：AD為中線，則S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一邊上的中線把三角形分成的兩個小三角形周長之差等于原三角形長邊與短邊之差.△ABD的周長–△ACD的周長=AB–AC.歸納總結(jié)例

如圖所示，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長為(

)A.19cm

B.22cm

C.25cm

D.31cm解：∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周長的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB

–AC.

∵△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，

∴△ACD的周長為25–6=19(cm).

利用三角形的中線求線段的值A(chǔ)

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．

(1)AC=

AE，AE=_____；

CD=

；

AF=

AB；

(2)若S△ABC

=12cm2，

則S△ABD=

．(3)若AB=4，AC=3，則△ABD的周長與△ACD的周長之差是___.2BD6cm2ABCDEFGEC1在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設(shè)法畫出它的一個內(nèi)角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?三角形的角平分線BAC用量角器畫最簡便，用圓規(guī)也能.

在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCD在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD“三角形的角平分線”是一條線段.幾何語言：∠1=∠2=∠BAC三角形的角平分線的定義

每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?

(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系?做一做三角形共有三條內(nèi)角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點.三角形角平分線的性質(zhì)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD＝180°–36°–34°

＝110°.

例

如圖，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC利用三角形的角平分線求角的度數(shù)

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則：

∠1=

；∠3=

；

∠ACB=2

.ABCDEF12341234∠2∠ABC∠4三角形的重要線段概念圖形表示法數(shù)量及交點位置三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.3條高，銳角三角形：形內(nèi)；鈍角三角形：形外；直角三角形：直角頂點三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中的線段3條，交點叫作三角形的重心.形內(nèi)三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段3條，形內(nèi).你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?

過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?BAC三角形高的概念三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖，

線段AD是BC邊上的高.012345678910012345012345幾何語言：AD⊥BC于點D，讀作AD垂直BC于點D或∠ADC=∠ADB=90°.你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條高.直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;ABC(1)畫出直角三角形的三條高，ABBC它們有怎樣的位置關(guān)系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD直角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)

AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD鈍角三角形的三條高ABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點.311相交相交不相交相交相交相交三角形的三條高所在直線交于一點.三條高所在直線的交點的位置三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部例1作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過三角形的一個頂點；(2)為頂點到其對邊所在直線的垂線段.D識別三角形的高在下圖中，正確畫出△ABC中邊BC上高的是(

)

A

B

C

DADCBADCBADCBADCBC例2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．方法總結(jié)：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．利用三角形的高求值解析：當BP⊥AC時，BP的值最小.∵S△ABC=BC·AD，S△ABC=AC·BP，∴BC·AD=AC·BP∴BC·AD=AC·BP∴6×4=5BP，BP=所以BP的最小值為如圖，(1)寫出以AE為高的三角形;(2)當BC=8，AE=3，AB=6時，求AB邊上的高的長度.解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)設(shè)AB邊上的高為x，∵S△ABC=BC·AE=AB·x∴BC·AE=AB·x，8×3=6x解得x=4.(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.如圖所示；銳角三角形的三條高B1.如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是(

)A．線段DE

B．線段BE

C．線段EF

D．線段FG2.如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=(

)A．75° B．80° C．85° D．90°解析：∵AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°–25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°–∠ABC–∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.A1．下列說法正確的是(

)A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線B一、基礎(chǔ)鞏固題

2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是(

)A．①②

B．③④ C．①④

D．②③DABDCE4.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDD5.填空：(1)如圖①，AD，BE，CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿，BD=＿＿，AE=＿＿＿.(2)如圖②，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.

圖①圖②AFDC∠2∠4AC∠ABC在ΔABC中，CD是中線，已知BC–AC=5cm，ΔDBC的周長為25cm，求ΔADC