人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)24.1.2垂直于弦的直徑教學(xué)目標(biāo)問(wèn)題

：你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋主橋拱的半徑是多少？情境導(dǎo)入用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？結(jié)論：1.圓是軸對(duì)稱圖形；任何一條過(guò)圓心的直線都是圓的對(duì)稱軸.2.圓是中心對(duì)稱圖形；圓心為對(duì)稱中心.新知探究活動(dòng)1：探索圓的對(duì)稱性思考：1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是有多少條對(duì)稱軸？2.圓是中心對(duì)稱圖形嗎？如果是對(duì)稱中心在何處？例1求證：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.思考：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.新知探究AA'證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C,D以外的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AA'⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A'，垂足為M，連接OA，OA'.在△OAA'中，∵OA=OA',∴△OAA'是等腰三角形.又AA'⊥CD，∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分線.這就是說(shuō)，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，因此⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱.即圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.ACDOA'M新知探究如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．根據(jù)圓的對(duì)稱性，你發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。啃轮骄炕顒?dòng)2：探索垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。CD是直徑CD⊥AB過(guò)圓心垂直于弦平分弦平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧幾何語(yǔ)言文字描述垂徑定理適用范圍情況歸納：歸納小結(jié)注意：定理中的徑可以是直徑、半徑、弦心距、弓形高等過(guò)圓心的直線或線段思考：下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說(shuō)明理由嗎？DOCAEBDOCAEB圖1圖2圖3圖4OAEBDOCAEB練習(xí)鞏固問(wèn)題：你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？在圖中，AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+（R－7.2）2解得：R≈27．9（m）∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.解決問(wèn)題1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．練習(xí)鞏固2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．練習(xí)鞏固根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō).如果具備：（1）過(guò)圓心直線或線段（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任意

個(gè)條件都可以推出其他

個(gè)結(jié)論.兩三總結(jié)歸納思考：如果把定理中條件和結(jié)論位置交換，命題還成立嗎，你試試看？為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦不是直徑？新知探究活動(dòng)3：探索垂徑定理的推論垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。。NOABMCD

一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直.因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立．刨根問(wèn)底1.如圖1,OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.2.如圖2,⊙O的弦AB＝8cm,直徑CE⊥AB于D,DC＝2cm,半徑OC的長(zhǎng)為

cm.3.如圖3,已知⊙O中弦AB∥CD,圖中相等的弧是

.圖1圖2圖3變式訓(xùn)練常見(jiàn)輔助線：添半徑，作弦心距85AC=BD⌒⌒涉及解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件，構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解。弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：2.扇形形中重要數(shù)量關(guān)系1.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法方法提煉變式訓(xùn)練1.下列說(shuō)法中正確的是()A.在同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦只有一條B.垂直于弦的直徑必平分弦C.平分弦的直徑必垂直于弦D.圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑都是它的對(duì)稱軸B隨堂練習(xí)2.如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.∠AOD=∠BODB.AD=BDC.OD=DCD.AC=BC3.半徑為5的⊙O內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP=4，則過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)是

，最短弦的長(zhǎng)是

.C106⌒⌒4.如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心.求證：AC=BD.隨堂練習(xí)⊙O的半徑為13cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離.拓展提升解：分兩種情況討論.第一種情況：當(dāng)AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí).如圖(一)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，垂足為M，交AB于點(diǎn)E.∵AB∥CD.

∴OE⊥AB，連接OB、OD.∴EM＝OM-OE＝7cm.第一種情況：當(dāng)AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí).如圖(二)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，垂足為M，交AB于點(diǎn)E.∵AB∥CD.

∴OE⊥AB，連接OB、OD.∴EM＝OM-OE＝7cm.圖一圖二10.如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，圓心O到它們的垂線段分別是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么關(guān)系？為什么？拓展提升解：OM＜ON.理由如下：連接OA、OC.則OA＝OC.∵ON⊥CD