2025年春季學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二年級數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第3頁，第Ⅱ卷第3頁至第6頁．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【詳解】命題“”的否定是“”，故選：B．2.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A. B.1 C.3 D.9【答案】C【詳解】法一：雙曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近線的距，法二：利用結(jié)論“雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于虛半軸長”得，.故選：C．3.已知，則有（）A.最大值 B.最大值C.最小值 D.最小值【答案】A【詳解】設(shè)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因此，函數(shù)在處取得最大值為.故選：A．4.已知向量，，，當(dāng)與垂直時(shí)，點(diǎn)的軌跡為（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線【答案】C【詳解】由題，，當(dāng)與垂直時(shí)，，∴，化簡得，點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：C．5.已知數(shù)列滿足：均有，且，，則（）A.5 B.-5 C.-3 D.3【答案】B【詳解】∵①，∴②，由①②得，即，∴，故數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列．∴，∴故選：B．6.的三邊長分別為，，2，則三邊的中線長不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，邊的中點(diǎn)為，則，∴，又由余弦定理，得，∴，∴，將的三邊長代入上式可得，故選：D．7.已知，將的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列說法不正確的是（A.的圖象關(guān)于直線對稱B.C.函數(shù)f(x)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)D.時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緾【詳解】對于A，∴，從而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，即，又∵∴，∴，∴，故B正確；對于C，由得，∴，由，∴，故函數(shù)在區(qū)間上只有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，∵，時(shí)，，，∴故D正確，故選：C．8.已知，當(dāng)（且）時(shí)，的最大值為（）A.1011 B.1012 C.1013 D.1014【答案】A【詳解】由已知為展開式中的系數(shù)，且，∴，當(dāng)時(shí)，必為奇數(shù)，且，，∴，，所以的最大值為.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（）A. B.C.為純虛數(shù) D.復(fù)數(shù)z的虛部為i【答案】BC【詳解】因?yàn)?，可得，?對于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以為純虛?shù)，故C正確；對于選項(xiàng)D：復(fù)數(shù)的虛部為1，故D錯(cuò)誤；故選：BC．10.下列說法正確的是（）A若，則B.連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.若事件A，B滿足：，，且，則事件A，B相互獨(dú)立D.已知一組成對數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則【答案】BCD【詳解】對于A，∵，∴從而故A不正確；對于B，∵且，∴，故B正確；對于C，，，且，，，，故相互獨(dú)立，故C正確；對于D，成對數(shù)據(jù)中，，，又∵經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本點(diǎn)中心，∴，∴，故D正確，故選：BCD．11.已知，且，則下列說法正確的是（）A.是R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)B.C.D.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱【答案】ABD【詳解】對于A，易知的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，又∵在R恒成立，從而是R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對于B，∵在R上單調(diào)遞增且，∴，∴，故B正確；對于C，令，易知在R上單調(diào)遞增，∴，即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，∵，所以，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，則________（用含m的式子表示）．【答案】【詳解】．故答案為：.13.在本次數(shù)學(xué)試卷的8道單選題中，學(xué)生小明對其中的6道題有思路，2道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為，沒有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜對答案的概率為．小明從這8道題中隨機(jī)選做一題，則他做對這道題的概率為________．【答案】【詳解】設(shè)事件：小明選到有思路的題；事件：小明選到的題做對，由題有，，，，所以，由全概率公式得．故答案為：14.正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長為，則當(dāng)最大時(shí)，正四棱錐P-ABCD的高為________；此時(shí)正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為________．【答案】①.3②.【詳解】如圖，記正方形的中心為，易得，，設(shè)，則由得，，，記，則，令，解得，又時(shí)，，∴單調(diào)遞增；時(shí)，，∴單調(diào)遞減；∴，此時(shí)．設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，半徑為，易知球心在上，則，∴在中，，即，解得，∴正四棱錐的外接球的表面積．故答案為：3，四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.保山小粒咖啡是云南省保山市特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志保護(hù)產(chǎn)品，它以其顆粒均勻飽滿、氣味清新、香氣濃郁、口感醇厚而聞名，被譽(yù)為“全國咖啡之冠”．某校高一數(shù)學(xué)興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥瓤Х鹊膽B(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：年齡段態(tài)度合計(jì)不喜歡喝咖啡喜歡喝咖啡35歲以下（含35歲）25356035歲以上251540合計(jì)5050100（1）根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝咖啡與年齡有關(guān)？（2）該興趣小組在被調(diào)查的喜歡喝咖啡的人群中，用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人參加咖啡文化藝術(shù)節(jié)．抽取的4人中，35歲以上的人數(shù)記為X，求X的分布列與期望．參考公式：，其中n=a+b+c+d．參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）推斷該地居民喜歡喝咖啡與年齡有關(guān)．（2）分布列見解析，【小問1詳解】零假設(shè)為該地居民喜歡喝咖啡與年齡無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，∴根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷成立，因此可以認(rèn)為不成立，即可推斷該地居民喜歡喝咖啡與年齡有關(guān)．【小問2詳解】由題，在被抽取10人中，35歲以下（含35歲）的有人，35歲以上的有人，∴的可能取值為0，1，2，3，且；；；；∴的分布列為0123．16.已知數(shù)列滿足：，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【小問1詳解】由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，即．【小問2詳解】由題意及（1）證明如下，，在數(shù)列中，，∴，，∴單調(diào)遞增，，∵，∴，∴．17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且與交于點(diǎn)O，動點(diǎn)E滿足（），異面直線與所成的角為．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】平面，且平面，∴．又∵四邊形是菱形，．∵，且平面，平面．又平面，．【小問2詳解】∵四邊形是菱形，，∴．∴即為異面直線與所成的角．∴當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，連接，如圖，則，平面．從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面的法向量，則由得，令，則，，設(shè)與平面所成的角為，則．18.已知橢圓的離心率為，長軸長為4，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓C的上頂點(diǎn)重合．（1）求橢圓C和拋物線E的方程；（2）設(shè)點(diǎn)M是拋物線E準(zhǔn)線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：（i）直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）以線段AB為直徑的圓與拋物線E的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．【答案】（1），（2）（i）證明見解析，；（ii）證明見解析【小問1詳解】由題，解得，∴橢圓的方程為，其上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，即．∴拋物線的方程為．【小問2詳解】由（1）知，拋物線準(zhǔn)線方程為，∴可設(shè)，（i）由得，且．又，∴拋物線在處的切線方程為，即．在切線上，①，同理可得②，由①②得直線的方程為，令，則，所以直線恒過拋物線的焦點(diǎn)．（ii）聯(lián)立得，∴，則線段AB的中點(diǎn)為，，又，∴MN與拋物線E的準(zhǔn)線垂直，且，故以線段AB為直徑的圓與拋物線E的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．19.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（