第05講有理數(shù)的乘法與除法（知識(shí)清單+9大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算題型二多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算題型三有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用題型四倒數(shù)題型五有理數(shù)乘法運(yùn)算律題型六有理數(shù)的除法運(yùn)算題型七有理數(shù)除法的應(yīng)用題型八有理數(shù)乘除混合運(yùn)算題型九有理數(shù)四則混合運(yùn)算知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)1．有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單．知識(shí)點(diǎn)2．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?＝1（a≠0），就說(shuō)a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒(méi)有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫(xiě)成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒(méi)有倒數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3．有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．題型方法題型方法【題型一】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【例1】（2425七年級(jí)上·浙江杭州·期中）把表示成兩個(gè)整數(shù)的積，共出現(xiàn)的可能性有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【舉一反三】1．（2425七年級(jí)上·浙江杭州·期中）用2，0，2，4這四個(gè)數(shù)進(jìn)行如下運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果最大的式子是（

）(1)求的值；【題型二】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【例2】（2425七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（

）①最大的負(fù)整數(shù)是；②有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)；③0的絕對(duì)值是0；④幾非零數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【舉一反三】1．（2425七年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）在軍訓(xùn)期間，701班43名學(xué)生做游戲，起初全體學(xué)生站立，教官每次任意點(diǎn)m個(gè)不同學(xué)號(hào)的學(xué)生，被點(diǎn)到的學(xué)生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學(xué)生都正確完成指令（同一名學(xué)生可以多次被點(diǎn)名），則n次點(diǎn)名后（n，m為正整數(shù)），下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，無(wú)論n何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)B．當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，無(wú)論n何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)C．當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論n何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)D．當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論n何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)2．（2425七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于的所有整數(shù)的積是．3．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各式：【題型三】有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用A．現(xiàn)價(jià)比原價(jià)高 B．現(xiàn)價(jià)比原價(jià)低 C．價(jià)格相同 D．無(wú)法比較【舉一反三】1．（2425七年級(jí)上·浙江·期中）相傳有神龜出于洛水，其背上有此圖案（圖1），史稱(chēng)“洛書(shū)”，圖2是洛書(shū)的數(shù)字表示．這也就是術(shù)數(shù)中常說(shuō)的“九宮格”，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入的方格中，使每一行、每一列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等．在圖3的“九宮格”中也有類(lèi)似于圖2的數(shù)字之和的這個(gè)規(guī)律，則的值為（

）A． B． C．5 D．93．（2425七年級(jí)上·浙江溫州·期中）某倉(cāng)庫(kù)在一周內(nèi)的原料進(jìn)出記錄如下表所示（記運(yùn)進(jìn)為正，運(yùn)出為負(fù)，單位：噸）：時(shí)間周一周二周三周四周五周六周日進(jìn)出數(shù)量532進(jìn)出次數(shù)2132122(1)該周倉(cāng)庫(kù)的原料比原來(lái)增加或減少了多少?lài)崳?2)根據(jù)實(shí)際情況，現(xiàn)有兩種方案：方案一：運(yùn)進(jìn)每噸原料費(fèi)用5元，運(yùn)出每噸原料費(fèi)用8元；方案二：不管運(yùn)進(jìn)還是運(yùn)出，費(fèi)用都是每噸原料6元；從節(jié)約運(yùn)費(fèi)的角度考慮，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明選用哪一種方案比較合適？【題型四】倒數(shù)【例4】（2425七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2425七年級(jí)上·浙江·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（

）A．1與 B．與3 C．與 D．與2．（2324七年級(jí)上·浙江寧波·期中）若兩個(gè)數(shù)的積為，我們稱(chēng)它們互為負(fù)倒數(shù)，則3的負(fù)倒數(shù)是．3．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）求下列各數(shù)的倒數(shù)：(1)；(2)；(4)．【題型五】有理數(shù)乘法運(yùn)算律A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律C．分配律 D．乘法交換律和乘法結(jié)合律【舉一反三】A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．（2425七年級(jí)上·浙江·期末）學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們這樣兩道題目：有兩位同學(xué)的解法如下：請(qǐng)參考上述解法，計(jì)算下列兩題：【題型六】有理數(shù)的除法運(yùn)算【例6】（2425七年級(jí)上·浙江溫州·期中）在，2，0，，這5個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相除，所得的商最小的是（

）A． B． C． D．0【舉一反三】1．（2425七年級(jí)上·浙江杭州·期中）若在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處依次標(biāo)上“我”“愛(ài)”“數(shù)”“學(xué)”四個(gè)字，且將正方形放置在數(shù)軸上，其中“我”“愛(ài)”對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和，如圖，現(xiàn)將正方形繞著頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上向右無(wú)滑動(dòng)地翻滾．例如，第一次翻滾后“數(shù)”所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，則連續(xù)翻滾后數(shù)軸上數(shù)2024對(duì)應(yīng)的字是（

）A．我 B．愛(ài) C．?dāng)?shù) D．學(xué)2．（2425七年級(jí)上·浙江嘉興·期中）數(shù)軸上在與27之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)中每相鄰兩個(gè)數(shù)之間的距離相等，則這三個(gè)數(shù)的和是．【題型七】有理數(shù)除法的應(yīng)用【舉一反三】1．（2425七年級(jí)上·浙江·期中）某輛新能源車(chē)每次充電都會(huì)把電充滿，下表記錄了該車(chē)相鄰兩次充電時(shí)的情況．（注：“累計(jì)里程“指汽車(chē)從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程）充電時(shí)間充電量（度）充電時(shí)的累計(jì)里程（千米）2024年9月30日10350002024年10月2日2535200在這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每100千米平均耗電量為（

）A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度3．（2425七年級(jí)上·浙江杭州·期中）商店同時(shí)賣(mài)出兩臺(tái)洗衣機(jī)，每臺(tái)2400元，其中一臺(tái)比進(jìn)價(jià)高，另一臺(tái)比進(jìn)價(jià)低．總的來(lái)看商店是賺錢(qián)還是賠錢(qián)？賺（賠）多少元？【題型八】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算A． B．16 C． D．【舉一反三】A． B． C． D．3．（2425七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）計(jì)算：【題型九】有理數(shù)四則混合運(yùn)算A． B． C． D．【舉一反三】2．（2425七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）計(jì)算：3．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)便的要簡(jiǎn)便計(jì)算．好題必刷好題必刷一、單選題1．的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．2．若三個(gè)有理數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，在這三個(gè)有理數(shù)中，有（

）個(gè)負(fù)數(shù)．A．1 B．1或3 C．2 D．33．下列運(yùn)算結(jié)果等于1的是（

）4．若使得算式﹣2□0.25的值最小，則“□”中填入的運(yùn)算符號(hào)是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷6．點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和，對(duì)于以下結(jié)論：其中正確的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）7．下列算式中運(yùn)用分配律帶來(lái)簡(jiǎn)便的是（）8．與101×9.9計(jì)算結(jié)果相同的是（

）A．100×9.9＋1 B．100×9.9＋9.9C．100×9＋100×0.9 D．100×9.9﹣9.910．下列說(shuō)法：①如果兩個(gè)數(shù)的和為1，那么這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；②如果兩個(gè)數(shù)積為0，那么至少有一個(gè)數(shù)為0；③絕對(duì)值是其本身的有理數(shù)只有0；④倒數(shù)是其本身的數(shù)是，0，1；⑤一個(gè)數(shù)乘就是它的相反數(shù)；⑥任何一個(gè)有理數(shù)a的倒數(shù)是．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題13．最大的負(fù)整數(shù)與倒數(shù)等于本身的數(shù)的積是．16．（1）除法法則二：兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)為正，異號(hào)為，并把相除，（2）0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)都得．三、解答題17．計(jì)算：18．把下表中第一個(gè)圈內(nèi)的每個(gè)數(shù)分別乘，將結(jié)果寫(xiě)在第二個(gè)圈內(nèi)相應(yīng)的位置．19．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：20．計(jì)算：21．有兩列同方向行駛的火車(chē)，快車(chē)每秒行米，慢車(chē)每秒行米．如果從兩車(chē)頭對(duì)齊開(kāi)始算，則行20秒后快車(chē)超過(guò)慢車(chē)；如果從兩車(chē)尾對(duì)齊開(kāi)始算，則行秒后快車(chē)超過(guò)慢車(chē)．那么，兩車(chē)長(zhǎng)分別是多少？如果兩車(chē)相對(duì)行駛，兩車(chē)從車(chē)頭重疊起到車(chē)尾相離需要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？(1)結(jié)束當(dāng)天的科考活動(dòng)時(shí)，科考隊(duì)是在海島M的北邊還是南邊？距離海島M有多遠(yuǎn)？(2)從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動(dòng)，科考隊(duì)的船只總共行駛了多少海里？(3)如果船只每行駛1海里耗油4升，那么在整個(gè)科考活動(dòng)過(guò)程中，船只共