2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)知識(shí)點(diǎn)二一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)三二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識(shí)點(diǎn)四解一元二次不等式①化為基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；②計(jì)算Δ＝b2－4ac，以確定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；③有根求根；④根據(jù)圖象寫出不等式的解集.知識(shí)點(diǎn)五解分式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0?f(x)·g(x)>0；(2)eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0；))(3)eq\f(fx,gx)≥a?eq\f(fx－agx,gx)≥0.知識(shí)點(diǎn)六一元二次不等式恒成立問(wèn)題恒成立的不等式問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，即：k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.【基礎(chǔ)自測(cè)】A．全體實(shí)數(shù) B．空集 C．正實(shí)數(shù) D．負(fù)實(shí)數(shù)【答案】B故選：B．【答案】D故選：D【答案】A故選：A【答案】B故選：B.【例題詳解】題型一、解不含參數(shù)的一元二次不等式例1解下列不等式：【分析】（1）（2）（3）根據(jù)一元二次不等式的解法解出答案即可.所以解集為.【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.原不等式的解集為.跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式．【分析】（1）（2）利用一元二次不等式解法即可求出解集.【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法運(yùn)算求解.【分析】借助三個(gè)“二次”的關(guān)系解不等式和不等式組即可.題型二、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】將與1比較，分類討論即可求解．【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及根的情況進(jìn)行分類討論，分別求得相應(yīng)的解集.【分析】分類討論解含參不等式，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，開(kāi)口方向，兩根的大小.綜上可得：題型三、由一元二次不等式的解確定參數(shù)A． B． C． D．【答案】B故選：B【答案】A故選：A.題型四、一元二次方程根的分布問(wèn)題【答案】C故選：C【答案】A故選：A【答案】D故選：D【分析】利用二次方程根的分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】分別求得命題p，q為真時(shí)m的范圍，根據(jù)題意可得命題p，q一真一假，分p真q假和p假q真兩種情況，分別求解，綜合即可得答案．由題意，p與q中有且只有一個(gè)是真命題，分兩種情況：題型五、解分式不等式例5解關(guān)于的不等式：【答案】C【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定義求得結(jié)果．故選：C.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】BCD故選：BCD【分析】根據(jù)分式不等式的解法，即可得到結(jié)果.(4)解下列不等式.題型六、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問(wèn)題【答案】C【分析】討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，結(jié)合判別式符號(hào)可得答案.故選：C【答案】A【分析】根據(jù)二次不等式恒成立求出充要條件，再由充分條件，必要條件的概念求出選項(xiàng).故選：A【答案】A故選：【分析】由判別式小于0可得．題型七、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題A．0 B． C． D．【答案】B故選:B【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖象列不等式，解不等式即可.故選：D.【答案】D故選：D.【答案】B故選：B(=1\*romani)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；題型八、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問(wèn)題【答案】A答案選A【點(diǎn)睛】本題考查不等式與對(duì)應(yīng)的函數(shù)的關(guān)系問(wèn)題，含參不等式分類討論是求解時(shí)常用方法【答案】A故選：A.【答案】D故選：D【答案】C故選：C題型九、一元二次不等式的應(yīng)用例4某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，每盞的最低售價(jià)為15元，若每盞按最低售價(jià)銷售，每天能賣出45盞，每盞售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺(tái)燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（

）【答案】B【分析】由題意為了使這批臺(tái)燈每天獲得600元以上的銷售收入，故選：B．跟蹤訓(xùn)練4某景區(qū)旅館共有200張床位，若每床每晚的定價(jià)為50元，則所有床位均有人入住；若將每床每晚的定價(jià)在50元的基礎(chǔ)上提高10的整數(shù)倍，則入住的床位數(shù)會(huì)減少10的相應(yīng)倍數(shù).若要使該旅館每晚的收入超過(guò)1.54萬(wàn)元，則每個(gè)床位的定價(jià)應(yīng)為_(kāi)_____（元）.【答案】120或130因?yàn)橐乖撀灭^每晚的收入超過(guò)1.54萬(wàn)元，因?yàn)槭?0的整數(shù)倍，所以，每個(gè)床位的定價(jià)應(yīng)為120或130元.故答案為：120或130【課堂鞏固】【答案】C故選：C.【點(diǎn)晴】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式，是一道容易題.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三個(gè)二次的關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理可求.故選：A.3．已知：，：，，則是的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】記集合，，用集合法判斷.【詳解】記集合，.因?yàn)锳B，所以是的充分不必要條件.故選：A【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：故選：C．【答案】B故選：B.【答案】A故選：A7．（多選）下列四個(gè)不等式中，解集為的是（

）【答案】BD【解析】由一元二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合各一元二次不等式的判別式、函數(shù)開(kāi)口方向即可判斷各選項(xiàng)是否為空集.故選：BD【答案】CD【分析】解出不等式，然后根據(jù)條件p成立的一個(gè)充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可得到結(jié)果.故選:CD.【分析】存在量詞命題是假命題，則其否定全稱量詞命題是真命題，寫出其全稱量詞命題，是一個(gè)二次不等式恒成立問(wèn)題，分情況討論，求的范圍.【分析】根據(jù)存在量詞命題，利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.(1)求a，b；【分析】（1）根據(jù)不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系列出方程即可得到結(jié)果.（2）由題意得到不等式對(duì)應(yīng)的方程的兩根，然后根據(jù)兩根的大小討論即可得到結(jié)果.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】分類討論結(jié)合二次不等式的解法即得.【分析】先根據(jù)圖像判斷對(duì)應(yīng)的二次方程的根，得到系數(shù)的關(guān)系，再代入求解分式不等式即可.14．把一塊長(zhǎng)為80mm、寬為60mm的長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋鐵盒．求當(dāng)?shù)酌娣e不小于1500mm2時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)的取值范圍．【答案】小正方形的邊長(zhǎng)不超過(guò)15mm.【分析】設(shè)出小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)題意建立不等式，然后解出答案.【詳解】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xmm，則(80－2x)(60－2x)≥1500，即x2－70x＋15×55≥0，解得x≥55或x≤15.因?yàn)?0－2x>0,80－2x>0,x>0，解得0<x<30，所以0<x≤15.答：當(dāng)?shù)酌娣e不小于1500mm2時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)不超過(guò)15mm.(1)求a，b的值；【分析】（1）根據(jù)不等式的解集和方程的根的關(guān)系，列方程組求a，b的值；（2）代入a，b的值，然后分與的大小關(guān)系討論來(lái)解不等式.【課時(shí)作業(yè)】【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．故選：C.A． B．7 C． D．【答案】A故選：A.【答案】B故選：B.【答案】C故選：C．【答案】A故選：A.【答案】B故選：B．【答案】C【分析】分類討論一元二次不等式的解，根據(jù)解集中只有一個(gè)整數(shù)，即可求解.故選：C．【答案】D