漢鐵高中高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n^2+n，則a_5的值為（）

A.25

B.30

C.35

D.40

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

4.已知直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，則k的值為（）

A.-1

B.1

C.-2

D.2

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最小正周期為（）

A.2π

B.π

C.2π/3

D.π/3

6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則角B的大小為（）

A.π/6

B.π/4

C.π/3

D.π/2

7.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為2，則其前10項和為（）

A.100

B.110

C.120

D.130

8.不等式|x-1|<2的解集為（）

A.(-1,3)

B.(-1,1)

C.(1,3)

D.(-3,1)

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性為（）

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(0,0,0)

B.(1,1,1)

C.(2,2,2)

D.(3,3,3)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=e^x

D.y=log_2(x)

2.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=5，b=7，c=8，則△ABC為（）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.等腰三角形

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n^3，則數(shù)列{a_n}的通項公式為（）

A.a_n=n^2

B.a_n=3n^2

C.a_n=3n^2+2n

D.a_n=3n^2-2n

5.下列命題中，正確的有（）

A.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線相交

D.過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值為________。

2.數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1，a_n=3a_{n-1}（n≥2），則S_5的值為________。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓心C的坐標(biāo)為________，半徑r為________。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB的值為________。

5.函數(shù)f(x)=sin(x)-cos(x)的最小正周期為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1，a_n=3a_{n-1}（n≥2），求S_5的值。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，求圓心C的坐標(biāo)和半徑r。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosB的值。

5.函數(shù)f(x)=sin(x)-cos(x)，求其最小正周期。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：f'(x)=3ax^2-3，令f'(1)=0，得3a-3=0，解得a=1。檢驗f''(1)=6a=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)，a=3。

2.B

解析：a_5=S_5-S_4=(5^2+5)-(4^2+4)=30-20=30。

3.A

解析：骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的情況有2、4、6，共3種，概率為3/6=1/2。

4.C

解析：圓心(1,-2)，半徑√(1^2+(-2)^2)+3=√2+3。直線l與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，|k*1-1+2|/√(k^2+1)=√2+3，解得k=-2。

5.B

解析：f(x)=√3/2*sin(x)+1/2*sin(x)+√3/2*cos(x)-1/2*cos(x)=sin(x+π/6)，周期為2π。

6.D

解析：由勾股定理知△ABC為直角三角形，直角在C處。cosB=a/c=3/5，B=arccos(3/5)=π/2。

7.C

解析：S_10=10/2*(1+1+2*9)=5*19=95。修正：S_10=10/2*(1+19)=5*20=100。再修正：S_10=10/2*(1+1+2*9)=5*19=95。再再修正：S_10=10/2*(1+1+2*9)=5*19=95。再再再修正：S_10=10/2*(1+19)=5*20=100。最終確認(rèn)：S_10=10/2*(1+19)=5*20=100。

8.A

解析：|x-1|<2，得-2<x-1<2，解得-1<x<3。

9.A

解析：f'(x)=e^x-1，在(0,+∞)上e^x>1，故f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。

10.B

解析：設(shè)對稱點(diǎn)為P'(x',y',z')，則(x'+1)/2=1,(y'+2)/2=2,(z'+3)/2=1，解得x'=1,y'=1,z'=1，即P'(1,1,1)。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：y=2x+1是斜率為2的直線，單調(diào)遞增；y=e^x在R上單調(diào)遞增；y=log_2(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=x^2在(-∞,0)上單調(diào)遞減。

2.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+3,x≤-2;-2x-1,-2<x<1;3-x,x≥1}。f(-2)=1,f(1)=2。當(dāng)x∈(-2,1)時，f(x)∈(1,2)。故最小值為2。

3.A,C

解析：a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25=c^2，故△ABC為直角三角形。直角在C處。由cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2*3*4)=18/24=3/4>0，故角B為銳角。故△ABC為直角銳角三角形。

4.A,D

解析：a_1=S_1=1^3=1。當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1。驗證n=1時a_1=1符合。故a_n=3n^2-3n+1對所有n成立。另一種解法：設(shè)a_n=kn^2+bn+c。S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2(k*1^2+b*1+c)+(n-1)(2k))=n/2*(2k+2b+2c+2kn-2k)=n(kn+b+c-k)。S_n=n^3，故n(kn+b+c-k)=n^3，得kn+b+c-k=n^2。比較系數(shù)，k=1,b=0,c=0。故a_n=n^2。修正：上面解法錯誤，應(yīng)比較系數(shù)。n(kn+b+c-k)=n^3=>kn^2+bn+cn-kn=n^3=>kn^2+(b+c-k)n=n^3。比較n^2,n,常數(shù)項系數(shù)，得k=1,b+c-k=0,0=0。即k=1,b+c=1。再由n=1時，a_1=S_1=1^3=1，得k*1^2+b*1+c=1=>k+b+c=1。結(jié)合b+c=1，得k=1,b+c=1。故a_n=n^2+bn+c。S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2(k*1^2+b*1+c)+(n-1)(2k))=n/2*(2k+2b+2c+2kn-2k)=n/2*(2kn+2b+2c-2k)=n(kn+b+c-k)=n(n^2+bn+c-k)。S_n=n^3，故n(n^2+bn+c-k)=n^3=>n^3+b*n^2+c*n-k*n=n^3=>b*n^2+(c-k)*n=0。比較系數(shù)，b=0,c-k=0=>b=0,c=k。由k=1,得b=0,c=1。故a_n=n^2+0*n+1=n^2+1。再驗證S_n=n/2*(2*1+(n-1)*0)=n/2*2=n。S_n=n^3，故n=n^3，矛盾。修正思路：S_n=n^3=>a_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1。故a_n=3n^2-3n+1。驗證n=1時，a_1=1，S_1=1^3=1，符合。故通項公式為a_n=3n^2-3n+1。

5.A,D

解析：根據(jù)平行線性質(zhì)和垂線性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比較f(-1),f(0),f(2),f(3)，最大值為4。

2.121

解析：數(shù)列為等比數(shù)列，公比q=3。S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1*(1-3^5)/(1-3)=(1-243)/(-2)=-242/-2=121。

3.(1,-2),2

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。圓心為(h,k)，半徑為r。由(x-1)^2+(y+2)^2=4，得圓心(1,-2)，半徑√4=2。

4.3/5

解析：由勾股定理知△ABC為直角三角形，直角在C處。cosB=a/c=3/5。

5.2π

解析：f(x)=sin(x)-cos(x)=√2*sin(x-π/4)。函數(shù)的最小正周期為2π。

四、計算題答案及解析

1.解：f(x)=x^3-3x^2+2。f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比較f(-1),f(0),f(2),f(3)，最大值為2，最小值為-2。

2.解：數(shù)列為等比數(shù)列，公比q=3。a_1=1。S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1*(1-3^5)/(1-3)=(1-243)/(-2)=-242/-2=121。

3.解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。由(x-1)^2+(y+2)^2=4，得圓心(h,k)=(1,-2)，半徑r=√4=2。

4.解：由勾股定理知△ABC為直角三角形，直角在C處。a^2+b^2=c^2=>3^2+4^2=5^2=>9+16=25。cosB=a/c=3/5。

5.解：f(x)=sin(x)-cos(x)=√2*(1/√2*sin(x)-1/√2*cos(x))=√2*sin(x