第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津市河東區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.一個盒子中裝有紅、黃、白三種顏色的球若干個，從中任取一個球，已知取到紅球的概率為12，取到黃球的概率為16，則取到白球的概率為(

)A.12 B.16 C.1122.唐代以來，牡丹之盛，以“洛陽牡丹甲天下”的美名流傳于世.唐朝詩人白居易“花開花落二十日，一城之人皆若狂”和劉禹錫“唯有牡丹真國色，花開時節(jié)動京城”的詩句正是描寫洛陽城的景象.已知根據(jù)花瓣類型可將牡丹分為單瓣類、重瓣類、千瓣類三類，現(xiàn)有牡丹花n朵，千瓣類比單瓣類多30朵，采用分層抽樣方法從中選出12朵牡丹進行觀察研究，其中單瓣類有4朵，重瓣類有2朵，千瓣類有6朵，則n=(

)A.360 B.270 C.240 D.1803.若α，β是兩個不重合的平面，a，b，c是三條不重合的直線，則下列命題中正確的是(

)A.若a//α，α∩β=b，則a//b

B.若a?α，b?β，b//α，a//β，則α//β

C.若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，則c⊥α

D.若a⊥α，α∩β=c，b//c，則a⊥b4.在5件產(chǎn)品中，有3件一級品和2件二級品，從中任取2件，下列事件中概率為710的是(

)A.都是一級品 B.都是二級品

C.一級品和二級品各1件 D.至少有1件二級品5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)為正方體內(nèi)A.若E∈BD1，F(xiàn)∈BD，則EF⊥AC

B.若E∈BD1，F(xiàn)∈BD，則平面BEF⊥平面A1BC1

C.若E∈AC，F(xiàn)∈CD1，則EF//AD1

D.若E∈AC，F(xiàn)∈CD1，則EF//平面A1BC1

6.某企業(yè)為響應國家新舊動能轉換的號召，積極調(diào)整企業(yè)擁有的5A.2021年的甲系列產(chǎn)品收入和2020年保持不變

B.2021年的丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的4倍

C.2021年的丙和丁系列產(chǎn)品的收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多

D.2021年的乙和丙系列產(chǎn)品的收入之和比2020年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和的2倍還少7.盒子中有四張卡片，分別寫有“筆墨紙硯”四個字，有放回地從中任取一張卡片，直到“紙”“硯“兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次取到卡片后停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用1，2，3，4代表“筆墨紙硯”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：

343?432?314?134?234?132?243?331?112?324

342?241?244?342?124?431?233?214?344?434

由此可以估計，恰好第三次結束時就停止的概率為(

)A.220 B.15 C.148.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別是棱BC，CC1，C1D1的中點，點P為底面AA.22

B.6

C.二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。9.將一個容量為m的樣本分成3組，已知第一組的頻數(shù)為8，第二、三組的頻率為0.15和0.45，則m=______．10.某校高三年級10次?？贾屑淄瑢W的數(shù)學成績從小到大依次排列為94，96，98，98，100，101，101，102，102，103，則甲同學在這10次模考中數(shù)學成績的第40百分位數(shù)為______．11.一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球，則兩次取到的球顏色相同的概率為______．12.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，且AA1⊥底面ABC，若AB=213.在對樹人中學高一年級學生身高(單位：cm)調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差為______．14.如圖，P是邊長為22的正方形ABCD外一點，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC=5，則二面角P?BD?A的余弦值為______．三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

學校體育節(jié)的投籃比賽中，10名學生的投中個數(shù)(每人投10個球)統(tǒng)計表如下：編號12345678910投中個數(shù)79898107769(1)求這10名學生投中球的個數(shù)的方差；

(2)從投進9個球和10個球的學生中選2人接受采訪，求這2人恰好是投進9個球和10個球各1人的概率．16.(本小題12分)

如圖，E為正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AA1的中點．

(1)求證：AC//平面BE17.(本小題12分)

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．

(1)求證：AB1⊥平面A1BC18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，M為AD的中點．

(1)求證：PM⊥BC；

(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；

(3)在棱PA上是否存在一點N，使得PC//平面BMN？若存在，求ANNP的值；若不存在，請說明理由．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：設盒子中裝有紅、黃、白三種顏色的球的個數(shù)分別為a，b，c，

∵取到紅球的概率為12，取到黃球的概率為16，

則aa+b+c=12ba+b+c=16，得到a=3b，c=2b，

∴取到白球的概率為p=ca+b+c=2b6b=132.【答案】D

【解析】【分析】本題考查分層抽樣，屬于基礎題．

利用分層抽樣中各層之間的比例，結合已知條件列方程求解．【解答】

解：根據(jù)分層抽樣的特點，設單瓣類、重瓣類、千瓣類的朵數(shù)分別為4x，2x，6x，

由題意可得6x?4x=30，解得x=15，所以n=4x+2x+6x=12x=12×15=180．

故選：D．3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎題．

由空間中直線與直線，直線與平面的位置關系判斷A與B，由直線與平面垂直的判定判斷C，由異面直線所成角的求法判定D．【解答】

解：若a/?/α，α∩β=b，則a/?/b或a與b異面，故A錯誤；

若a?α，b?β，b/?/α，a/?/β，則α/?/β或α與β相交，故B錯誤；

若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，只有添加條件a與b相交，才有c⊥α，故C錯誤；

若a⊥α，α∩β=c，則a⊥c，又b/?/c，所以有a⊥b，故D正確．

故答案選：D．4.【答案】D

【解析】解：設A1，A2，A3分別表示3件一級品，B1，B2分別表示2件二級品．任取2件，

則樣本空間Ω={A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2}，共10個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．

記事件A表示“2件都是一級品”，包含3個樣本點，則P(A)=310．

記事件B表示“2件都是二級品”，包含5.【答案】C

【解析】解：對于A，如圖所示：

若E∈BD1，F(xiàn)∈BD，則EF?平面

B1D1DB，

因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則DD1⊥AC，

又AC⊥BD，且DD1?BD=D，DD1?平面B1D1DBBD?平面B1D1DB，

所以

AC⊥平面B1D1DB，又EF?平面B1D1DB，所以EF⊥AC，故A正確；

對于B，若E∈BD1，F(xiàn)∈BD，則EF?平面

B1D1DB，由正方體的性質得AC⊥平面B1D1DB，

又A1C1/?/AC，則A1C1⊥平面B1D1DB，即A1C1⊥平面A1BC1，

又A1C1?平面BEF，所以平面BEF⊥平面A1BC1，故B正確；

對于C，當E∈AC，F(xiàn)∈CD1時，則EF?平面AD1C，則EF與

AD1共面，不一定平行，故C錯誤；

對于D，如圖所示：

若E∈AC，F(xiàn)∈CD1，則EF?平面AD1C，因為A6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了扇形圖的相關知識，屬于基礎題．

根據(jù)題意設2020年總收入為a，則2021年總收入為2a，依次計算可解．【解答】

解：根據(jù)題意設2020年總收入為a，則2021年總收入為2a，

對于A：2020年甲系列收入為40%a=0.4a，2021年甲系列收入為20%?2a=0.4a，故A正確；

對于B：2020年丁系列收入為15%a=0.15a，2021年丁系列收入為30%?2a=0.6a，故B正確；

對于C：2021年丙和丁系列收入之和為(25%+30%)?2a=1.1a，2020年企業(yè)總收入為a，故C正確；

對于D：2020年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和為(20%+10%)?a=0.3a，2021年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和為(20%+25%)?7.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)題意，分析在20組隨機數(shù)中，表示“恰好第三次結束時就停止”的數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案．

本題考查模擬方法估算概率，涉及古典概型的計算，屬于基礎題．【解答】

解：根據(jù)題意，在20組隨機數(shù)中，恰好第三次結束時就停止有314、134、234、243、324，共有5組，

則恰好第三次結束時就停止的概率P=520=148.【答案】B

【解析】解：連接CD1，BA1，BC1，A1C1，

由正方體性質可知：BA1//CD1//GF，

因GF?平面EFG，BA1?平面EFG，

所以BA1/?/平面EFG，

同理，BC1//EF，

因EF?平面EFG，BC1?平面EFG，

所以BC1/?/平面EFG，

又BA1∩BC1=B，

BA1?平面BA1C1，BC1?平面BA1C1，

所以平面BA1C1/?/平面EFG，

因直線BP與平面EFG無公共點，點P為底面A1B1C9.【答案】20

【解析】解：∵第二、三組的頻率為0.15和0.45

∴第一組的頻率為1?0.15?0.45=0.4

∵第一組的頻數(shù)為8

∴m=80.4=20

故答案為：20．

利用頻率和為1，求出第二組的頻率，利用公式頻率=頻數(shù)樣本容量，求出樣本容量m的值．

解決頻率分布直方圖的問題，一般要注意：頻率和為110.【答案】99

【解析】解：因為10×40%=4，

所以第40百分位數(shù)為第四、五兩數(shù)的平均數(shù)即為98+1002=99．

故答案為：99．

根據(jù)百分位數(shù)的定義直接計算即可．11.【答案】715【解析】解：一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球，

基本事件總數(shù)n=10×9=90，

兩次取到的球顏色相同包含的基本事件個數(shù)m=4×3+6×5=42，

則兩次取到的球顏色相同的概率為P=mn=4290=715．

故答案為：71512.【答案】15【解析】解：取A1B1中點M，連C1M，BM，

因為在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，所以底面A1B1C1是等邊三角形，從而C1M⊥A1B1，

因為AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥底面A1B1C1，

所以AA13.【答案】46.8

【解析】解：根據(jù)題意，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，

則總體的平均數(shù)x?=174×20+164×3050=168，

則總體的方差S2=205014.【答案】2【解析】解：如圖，

因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，

所以PA⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又因為四邊形ABCD為正方形，

所以BD⊥AC，

所以BD⊥平面PAO(其中O為AC與BD的交點)，

所以BO⊥PO，

所以∠POA為二面角PBDA的平面角．

又因為AB=22，

所以AC=4，

所以AO=2．

又因為PA=PC2?AC2=52?42=3，PO=PA2+AO2=32+42=1315.【答案】1.4；

12．【解析】(1)依題意，這10名學生投中球的個數(shù)的平均數(shù)為110×(6+3×7+2×8+3×9+10)=8．

方差為s2=110(12+12+02+12+02+22+12+12+22+12)=1.4．

(2)依題意，這10名學生的投中10個球的有1人，記為a，

投中9個球的有3人，記為A，B，C，從中任選2人，共有6種情況，即{(aA),(aB),(aC),(AB),(AC),(BC)}，

16.【答案】(1)證明：連接A1C與BD1，設交于點O，連接EO，

由正方體的性質可知：O為A1C的中點，又因為E為AA1的中點，

所以AC//EO，

又因為EO?平面BED1，AC?平面BED1，

所以AC/?/平面BED1；

(2)解：由(1)可知∠D1EO等于為直線AC與ED1所成的角，

由題意AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，

所以DD1⊥AC，BD∩DD1=D，

所以AC⊥BD1，

【解析】(1)連接A1C與BD1，設交于點O，連接EO，由題意可證得AC//EO，進而可證得AC/?/平面BED1；

(2)由(1)可得∠D1EO等于為直線AC與E17.【答案】證明見解答；