8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積第八章立體幾何初步數(shù)學學習目標①掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積求法．②掌握棱柱、棱錐、棱臺的體積公式．③能解決一些棱柱、棱錐、棱臺相關的計算問題．學習重難點重點：棱柱、棱錐、棱臺的表面積及體積公式．難點：解決棱柱、棱錐、棱臺相關的計算及實際應用問題．課堂導入

【導入新課】在日常生活中,我們經常會遇到一些與空間幾何體相關的問題,比如說粉刷房屋墻壁時,需要計算粉刷面積;建造糧倉時,需要計算糧倉體積.本節(jié)課我們就研究一下常見的空間幾何體的表面積與體積的求法.

思考1

類比正方體與長方體的表面積，猜想一下多面體的表面積的定義是什么？具體到棱柱、棱錐、棱臺，它們的表面積指的是什么？

結論：多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和，棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.課堂探究

思考2

初中求解正方體與長方體表面積的方法，在求棱柱、棱錐、棱臺的表面積時是否一樣適用？

結論：將正方體或長方體展開，求解展開圖的面積（如圖），將空間問題轉化為平面問題.

同理，求解棱柱、棱錐、棱臺的表面積時，只需將其各個面的面積分別求出，然后求和即可.課堂探究課堂探究【典例分析】

跟蹤訓練1已知正四棱臺上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側面積.解析：如圖，E，E1分別是BC，B1C1的中點，O，O1分別是下、上底面正方形的中心，O1O為正四棱臺的高，則O1O＝12，連接OE，O1E1，則OE＝

AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3，過

E1作E1H⊥OE，垂足為

H，則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3，在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3，所以S側＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.

課堂探究【名師解惑】多面體的側面積與表面積求法：(1)多面體的表面積是各個面的面積之和側面積是所有側面的面積之和.(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側面積與各自底面積的和.課堂探究

思考3

以前學過的正方體、長方體的體積公式是什么？

結論：V正方體=a3(a為正方體的棱長)，

V長方體=abc(a，b，c為長方體的長、寬、高)，正方體、長方體的體積公式可以統(tǒng)一為S·h.課堂探究思考4

正方體、長方體都是棱柱，那么對于一般棱柱，上面的體積公式是否還適用？棱柱的高是什么？結論：棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，則棱柱的體積V棱柱

=S·h.課堂探究思考5

觀察下面圖①，一個三棱柱可以分解成三個三棱錐（如圖②），這三個三棱錐的體積有什么關系？因此三棱錐的體積與同底等高三棱柱的體積之間什么關系？一般棱錐是否成立？

①

②

結論：這三個三棱錐體積相等，所以上圖中每一個三棱錐的體積都等于原三棱柱體積的

.這個結論可以對于一般棱錐也是普遍適用的，因此，三棱錐的體積公式為

課堂探究思考6

回顧一下棱臺的定義，想想如何求棱臺的體積？結論：由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差求棱臺的體積，得到棱臺的體積公式為其中S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高（指兩底面之間的距離）.

課堂探究思考7

棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？結論：課堂探究【典例分析】例2如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到0.01m3）？解：由題意知

；

；所以這個漏斗的容積.

課堂探究跟蹤訓練2

如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為

a

的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1上一點，求三棱錐A1－D1EF的體積.課堂探究

【名師解惑】

1.公式法：直接代入公式求解（柱錐臺體積公式）；

2.等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可；

3.補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補:成棱柱，三棱柱補成四棱柱等；

4.分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.課堂探究1.若一個長方體的三個面的面積分別為

則這個長方體的體積為(

)A．6

B．

C．3

D．2

B評價反饋2.若正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為

BC上一點，則三棱錐B1－AC1E的體積為（

）A．

B．

C．

D．D評價反饋3.若正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為

，則正三棱臺的側面積S1與底面面積之和S2的大小關系為（

）A．S1>S2

B．S1<S2C．S