第3節(jié)統(tǒng)計(jì)模型課標(biāo)要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表,會運(yùn)用這些方法解決簡單的實(shí)際問題.【知識梳理】1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系的分類:正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(2)線性相關(guān):如果變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫,則稱x與y線性相關(guān).一般地,如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如:(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①|(zhì)r|≤1,且y與x正相關(guān)的充要條件是r>0,y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r<0;②|r|越小,說明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越弱,也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價(jià)值,即方程越不能反映真實(shí)的情況;|r|越大,說明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng),也就是得出的回歸直線方程越有價(jià)值;③|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在回歸直線上.3.一元線性回歸模型(1)我們將y=bx+a稱為y關(guān)于x的回歸直線方程,其中(2)殘差:觀測值減去預(yù)測值,稱為殘差.(3)決定系數(shù)R2=1-,R2越大,即擬合效果越好,R2越小,模型擬合效果越差.4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表和χ2如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下.AA總計(jì)Baba+bBcdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d記n=a+b+c+d,則χ2=n((2)獨(dú)立性檢驗(yàn)要推斷“A與B有關(guān)系”可按下面的步驟①作2×2列聯(lián)表.②根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值.③獨(dú)立性檢驗(yàn):ⅰ.若χ2≥k成立,就稱在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下,可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱為A與B有關(guān));或說有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).ⅱ.若χ2<k成立,就稱沒有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).統(tǒng)計(jì)學(xué)中,常用的顯著性水平α以及對應(yīng)的分位數(shù)k如表所示.α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.求解線性回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a,b,應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x,y).2.根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度,若χ2越大,則兩個(gè)分類變量有關(guān)的把握越大.3.回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷,得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.4.基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是:當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α;當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)散點(diǎn)圖無法判斷兩個(gè)變量是否相關(guān).()(2)通過線性回歸方程y=bx+a可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢.()(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系,所得到的回歸模型才有預(yù)測價(jià)值.()(4)事件X,Y關(guān)系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的值越小.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段.(4)χ2的值越大,相關(guān)性越強(qiáng),關(guān)系越密切.2.(人教B選修二P121T3原題)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)答案A解析因?yàn)?0.1<0,所以x與y負(fù)相關(guān),又因?yàn)樽兞縴與z正相關(guān),所以x與z負(fù)相關(guān).3.(蘇教選修二P169T1改編)某小吃店的日盈利y(單位:百元)與當(dāng)天平均氣溫x(單位:℃)之間有如下數(shù)據(jù):x/℃-2-1012y/百元54221甲、乙、丙3位同學(xué)對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,下列回歸方程正確的是()A.y=-x+2.8 B.y=-x+3C.y=-1.2x+2.6 D.y=x-0.8答案A解析計(jì)算得x=15(-2-1+0+1+2)=0y=15(5+4+2+2+1)=2.8回歸直線必過(0,2.8),故只有A項(xiàng)滿足.4.(人教A選修三P139T3改編)根據(jù)分類變量x與y的觀測數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=3.974.依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),結(jié)論為x與y(填獨(dú)立、不獨(dú)立),這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過.

附:α=P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案不獨(dú)立0.05解析因?yàn)?.974>3.841,即認(rèn)為x,y不獨(dú)立,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05.考點(diǎn)一相關(guān)性檢驗(yàn)例1(1)(2024·上海卷)已知沿海地區(qū)氣溫和海水表層溫度相關(guān),且樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù),對此描述正確的是()A.沿海地區(qū)氣溫高,海水表層溫度就高B.沿海地區(qū)氣溫高,海水表層溫度就低C.隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高,海水表層溫度呈上升趨勢D.隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高,海水表層溫度呈下降趨勢答案C解析因?yàn)檠睾５貐^(qū)氣溫和海水表層溫度相關(guān),且樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù),所以隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高,海水表層溫度呈上升趨勢,故選C.(2)(2025·石家莊質(zhì)檢)某興趣小組研究光照時(shí)長x(h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系,采集5組數(shù)據(jù),作如圖所示的散點(diǎn)圖.若去掉D(10,2),則下列說法正確的是()A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)R2變小C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)答案D解析可知點(diǎn)D偏離程度較大,去掉點(diǎn)D后,相關(guān)系數(shù)r變大,決定系數(shù)R2變大,殘差平方和變小,解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng).故選D.思維建模判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖:點(diǎn)的分布從左下角到右上角,兩個(gè)變量正相關(guān);點(diǎn)的分布從左上角到右下角,兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).(2)樣本相關(guān)系數(shù):當(dāng)r>0時(shí),正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),負(fù)相關(guān);|r|越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng).(3)決定系數(shù)法:利用決定系數(shù)判定,R2越接近1,模型的擬合效果越好,相關(guān)性越強(qiáng).訓(xùn)練1(1)(2023·天津卷)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說法正確的是()A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245答案C解析因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=0.8245>0.75,所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較強(qiáng),并且呈正相關(guān),所以A,B錯(cuò)誤,C正確;因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān),所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時(shí),相關(guān)系數(shù)也會發(fā)生變化,所以D錯(cuò)誤.(2)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=-12x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(A.-1 B.0 C.-12答案A解析因?yàn)闃颖军c(diǎn)在直線y=-12x+1上,呈現(xiàn)完全負(fù)相關(guān),樣本相關(guān)系數(shù)為-相關(guān)系數(shù)與散點(diǎn)圖的聯(lián)系1.教材母題(1)(人教A選修三P101例2)有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù),如表所示.第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點(diǎn)圖,推斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān),并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷A商品銷售額與居民年收入的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.(2)(湘教選修二P166T1)對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得以下散點(diǎn)圖(如圖),將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較,正確的有()A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r32.散點(diǎn)圖與樣本相關(guān)系數(shù)在反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系及相關(guān)程度時(shí)具有相同的作用:r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性,在散點(diǎn)圖中則表現(xiàn)為上升或下降;|r|的大小反映了線性相關(guān)的強(qiáng)弱程度,在散點(diǎn)圖中的表現(xiàn)為數(shù)據(jù)點(diǎn)集中于一條直線附近的程度.典例(2024·天津卷)下列圖中,線性相關(guān)系數(shù)最大的是()答案A解析選項(xiàng)A中的散點(diǎn)有明顯的從左下角到右上角沿直線分布的趨勢,且散點(diǎn)集中在一條直線的附近,故選項(xiàng)A中的線性相關(guān)系數(shù)最大,故選A.考點(diǎn)二回歸分析角度1線性回歸分析例2(多選)(2025·廈門質(zhì)檢)為了預(yù)測某地的經(jīng)濟(jì)增長情況,某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2025年1~6月的GDP數(shù)據(jù)y(單位:百億元)建立了一元線性回歸模型,根據(jù)最小二乘法得到的線性回歸方程為y=0.42x+a,其中解釋變量x指的是1~6月的編號,其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:時(shí)間1月2月3月4月5月6月編號x123456y/百億元y1y2y311.107y5y6(參考數(shù)據(jù):6∑i=1yi2=796,6∑i則下列說法正確的是()A.線性回歸直線經(jīng)過點(diǎn)(3.5,11)B.a=10.255C.根據(jù)該模型,該地2025年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元D.第4個(gè)樣本點(diǎn)(x4,y4)的殘差為0.103答案AC解析對于A,x=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5∵6∑i=1yi2=796,6∑i=1(yi-y∴796-6y2=70,則y=11∴該線性回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(3.5,11),∴A正確;對于B,11=0.42×3.5+a,則a=9.53,∴B錯(cuò)誤;對于C,y=0.42x+9.53,當(dāng)x=12時(shí),y=14.57,∴該地2025年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元,∴C正確;對于D,當(dāng)x=4時(shí),y=11.21,相應(yīng)于點(diǎn)(x4,y4)的殘差為11.107-11.21=-0.103,∴D錯(cuò)誤.角度2非線性回歸分析例3(2025·湖州質(zhì)檢)一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本.為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入x(單位:千萬元)對每件產(chǎn)品成本y(單位:元)的影響,對近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入xi和每件產(chǎn)品成本yi(i=1,2,3,…,10)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如下散點(diǎn)圖,并計(jì)算得:x=6.8,y=70,10∑i=11xi=3,(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知,可用函數(shù)模型y=βx+α擬合y與x的關(guān)系,試建立y關(guān)于x的回歸方程(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額m(單位:千萬元)與每件產(chǎn)品成本y的關(guān)系為m=-y2500+2y25+200y-10+100.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入,還要投入其他成本10千萬元,根據(jù)(1)的結(jié)果回答:(注:年利潤=年銷售額-年投入成本)參考公式:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β=n∑i=1uivi解(1)令u=1x,則y關(guān)于u的線性回歸方程為y=α+βu依題意,得β=10∑i=1uα=y-βu=70-200×0.3=10則y=10+200u,所以y關(guān)于x的回歸方程為y=10+200x(2)由y=10+200x,得x=200年利潤M=m-x-10=-y2500+2y25+200y=-1500(y-20)2當(dāng)y=20時(shí),年利潤M取得最大值,此時(shí),x=200y-10=200所以當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入20千萬元時(shí),年利潤的預(yù)報(bào)值最大.思維建模1.求線性回歸方程(1)當(dāng)兩個(gè)系數(shù)均未知時(shí),可利用公式法求解;(2)當(dāng)兩個(gè)系數(shù)已知一個(gè)求另一個(gè)時(shí),可利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求解.2.非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的方法(1)若y=a+bx,設(shè)t=x,則y=a+bt;(2)若滿足對數(shù)式:y=a+blnx,設(shè)t=lnx,則y=a+bt;(3)若滿足指數(shù)式:y=c1ec2x,兩邊取對數(shù)得lny=lnc1+c2x,設(shè)z=lny,a=lnc1,b=c2,則z=a3.模型擬合效果的好壞可由殘差平方和、殘差圖、決定系數(shù)R2等進(jìn)行判斷.訓(xùn)練2(1)(2025·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知變量x,y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表,對表中數(shù)據(jù)作分析,發(fā)現(xiàn)y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,利用最小二乘法,計(jì)算得到線性回歸方程為y=0.8x+a,據(jù)此模型預(yù)測當(dāng)x=10時(shí)y的值為.

x56789y3.54566.5答案7.4解析由題表數(shù)據(jù),得x=5+6+7+8+95=7y=3.5+4+5+6+6.55因?yàn)榫€性回歸直線y=0.8x+a過樣本點(diǎn)的中心(7,5),所以5=0.8×7+a,解得a=-0.6,當(dāng)x=10時(shí),y=0.8×10-0.6=7.4.(2)已知x和y的散點(diǎn)圖如圖所示,在相關(guān)關(guān)系中,若用y=c1ec2x擬合時(shí)的決定系數(shù)為R12,用y=bx+a擬合時(shí)的決定系數(shù)為R22,則答案R解析由散點(diǎn)圖知,用y=c1ecy=bx+a擬合的效果要好,所以R12>R22考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)例4(2024·全國甲卷改編)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后,從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn),數(shù)據(jù)如下:優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表:優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間依據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?依據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn),結(jié)果又如何呢?(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5.設(shè)p為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果p>p+1.65p(1-p)n,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后,附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)填寫如下列聯(lián)表:優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030完整的2×2列聯(lián)表如下:優(yōu)級品非優(yōu)級品總計(jì)甲車間262450乙車間7030100總計(jì)9654150作出零假設(shè)H0:甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率沒有差異.χ2=150×(26×30-70×24)296×54×50×100所以x0.050=3.841<χ2=4.6875<6.635=x0.010,那么依據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn),可推斷H0不成立,甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率有差異,這種犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05.而依據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,即認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率沒有差異.(2)由題意可知p=96150=0.64又p+1.65p(1-p)n=0.5+1.65×0.5×(1-0.5)150所以p>p+1.65p(1-p)n,思維建模獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式χ2=n(ad(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計(jì)推斷.訓(xùn)練3某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):空氣質(zhì)量等級鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握,認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(α=P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由所給數(shù)據(jù),得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如表:空氣質(zhì)量等級1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為1100(100×20+300×35+500×(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得χ2=100×(33×8-因?yàn)镻(χ2≥3.841)=0.05,因?yàn)镻(χ2≥6.635)=0.01,由于5.820<6.635,所以沒有99%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).一、單選題1.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異,通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游,在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游.若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時(shí),用下列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是()A.均值 B.方差C.獨(dú)立性檢驗(yàn) D.回歸分析答案C解析由題意可知,“愛玩網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量,其是否有關(guān),應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷.2.已知某校50名學(xué)生的身高與體重的散點(diǎn)圖如圖所示,則下列說法正確的是()A.身高越高,體重越重B.身高越高,體重越輕C.身高與體重成正相關(guān)D.身高與體重成負(fù)相關(guān)答案C解析由題圖可知,身高越高的體重不一定就越重或越輕,但總體上來說,樣本學(xué)生的身高和體重之間具有明顯的相關(guān)性,個(gè)子高的學(xué)生往往更重一些,所以身高與體重成正相關(guān).故選C.3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn),并用回歸分析方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m,如下表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A,B兩個(gè)變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性?()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案D解析r的絕對值越大,m越小,線性相關(guān)性越強(qiáng).4.(2025·黃岡模擬)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn互不相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=13x-5上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(A.-13 B.1C.-1 D.1答案D解析由題意可知,所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=13x-5上則這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān),且樣本相關(guān)系數(shù)為1.5.(2025·濟(jì)寧質(zhì)檢)根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=6.147.依據(jù)犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),其中P(χ2≥6.635)=0.01,下列結(jié)論正確的為()A.變量x與y不獨(dú)立B.變量x與y不獨(dú)立,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01C.變量x與y獨(dú)立D.變量x與y獨(dú)立,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01答案C解析按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識及比對的參數(shù)值,當(dāng)χ2=6.147,我們可以下結(jié)論變量x與y獨(dú)立.故排除A,B;依據(jù)犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),P(χ2≥6.635)=0.01,6.147<6.635,所以我們不能得到“變量x與y獨(dú)立,這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01”這個(gè)結(jié)論,故C正確,D錯(cuò)誤.6.根據(jù)如表樣本數(shù)據(jù):x23456y42.5-0.5-2-3得到的線性回歸方程為y=bx+a,則()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<0答案B解析由表中的數(shù)據(jù)可得,變量y隨著x的增大而減小,則b<0,x=2+3+4+5+65=4y=4+2.5-0.5-2-35=0.2又線性回歸方程y=bx+a經(jīng)過樣本點(diǎn)中心(4,0.2),可得a>0.7.某醫(yī)院為了提高服務(wù)水平和病人滿意度,對一周前出院的病人進(jìn)行電話回訪,主要涉及住院期間護(hù)士的服務(wù)態(tài)度、醫(yī)生是否收取紅包、對醫(yī)院有什么建議等問題.某天上午回訪的5人中,通話時(shí)間(單位:秒)如表所示:序號x12345時(shí)間y376521m32根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+40.9.據(jù)此求出(5,32)殘差為-7.4,則m=()(殘差=實(shí)際值-觀測值)A.45 B.25C.37 D.7答案A解析由題知,當(dāng)x=5時(shí),y=5b+40.9=32+7.4=39.4,解得b=-0.3,所以y關(guān)于x的回歸方程為y=-0.3x+40.9.當(dāng)x=x=3時(shí),y=y=-0.3×3+40.9=40,所以15×(37+65+21+m+32)=40解得m=45,故選A.8.(2025·成都診斷)設(shè)兩個(gè)相關(guān)變量x和y分別滿足表:x12345y128816若相關(guān)變量x和y可擬合為非線性經(jīng)驗(yàn)線性方程y=2bx+a,則當(dāng)x=6時(shí),y的估計(jì)值為()附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其線性回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為β=n∑a=v-βu;1.155A.33 B.37 C.65 D.73答案B解析因?yàn)榉蔷€性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2bx+a,則有l(wèi)og2y=bx+a,令log2y=v,即v=bx+a,列出相關(guān)變量x,y,v關(guān)系如表:x12345y128816v01334所以5∑i=1xivx=1+2+3+4+55=3v=0+1+3+3+45=115∑i所以b=5∑i=1x所以a=v-bx=115-3=-所以v=x-45即log2y=x-45,即y=2因?yàn)?.155≈2,所以215當(dāng)x=6時(shí),y=26-45=2265=25.2=25二、多選題9.(2025·唐山模擬)為研究光照時(shí)長x(小時(shí))和種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系,某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù),繪制散點(diǎn)圖如圖所示,并進(jìn)行線性回歸分析,若去掉點(diǎn)P后,下列說法正確的是()A.相關(guān)系數(shù)r變小B.經(jīng)驗(yàn)回歸直線斜率變小C.殘差平方和變小D.決定系數(shù)R2變小答案BC解析由散點(diǎn)圖可知,x與y呈正相關(guān),所以相關(guān)系數(shù)r>0,點(diǎn)P相對于其他點(diǎn)來說比較異常,所以去掉點(diǎn)P后相關(guān)性更強(qiáng),所以相關(guān)系數(shù)r變大,所以A錯(cuò)誤;因?yàn)辄c(diǎn)P相對于其他點(diǎn)來說比較靠上,所以去掉點(diǎn)P之后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率變小,所以B正確;去掉點(diǎn)P后,其他點(diǎn)均在一條直線附近,所以殘差平方和變小,決定系數(shù)R2變大,所以C正確,D錯(cuò)誤.10.(2025·青島調(diào)研)為研究混凝土的抗震強(qiáng)度y與抗壓強(qiáng)度x的關(guān)系,某研究部門得到下表的樣本數(shù)據(jù):x140150170180195y2324262828若y與x線性相關(guān),且線性回歸方程為y=0.1x+a,則下列說法正確的是()A.a=9.1B.當(dāng)x增加1個(gè)單位時(shí),y增加約0.1個(gè)單位C.y與x正相關(guān)D.若抗壓強(qiáng)度為220時(shí),抗震強(qiáng)度一定是33.1答案ABC解析由題意可得x=140+150+170+180+1955=167y=23+24+26+28+285=25.8所以25.8=0.1×167+a,解得a=9.1,所以線性回歸方程為y=0.1x+9.1,A正確;對于B,由y=0.1x+9.1,可知當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y增加約0.1個(gè)單位,B正確;對于C,因?yàn)?.1>0,所以y與x正相關(guān),C正確;對于D,當(dāng)x=220時(shí),y=0.1×220+9.1=31.1,抗震強(qiáng)度約為31.1,D錯(cuò)誤.11.(2025·南昌模擬)為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別是否有關(guān),甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,得到如下兩個(gè)表格:甲校樣本喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計(jì)男性15520女性81220合計(jì)231740乙校樣本喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計(jì)男性7030100女性4555100合計(jì)11585200則下列判斷中正確的是()A.樣本中,甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例B.樣本中,甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例C.對于甲校樣本,依據(jù)犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)D.對于乙校樣本,依據(jù)犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)參考公式及數(shù)據(jù):χ2=n(ad-bc)2(a+b)(α=P(χ2≥k)0.10.010.001k2.7066.63510.828答案AD解析對于A,甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例為1540=38,乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例為70200=720<38對于B,甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例為840=15,乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例為45200=940>15對于C,因?yàn)棣?2=40×(15×12-5×8)所以對于甲校樣本,依據(jù)犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),故C不正確;對于D,χ22≈12.788>6.635,所以對于乙校樣本,依據(jù)犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),即認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān),故D正確.三、填空題12.為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉,用簡單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生,得到如下2×2列聯(lián)表:男女合計(jì)喜歡ab73不喜歡c25合計(jì)74則a-b-c等于.

答案9解析根據(jù)題意,可得c=120-73-25=22,a=74-22=52,b=73-52=21,∴a-b-c=52-21-22=9.13.咽拭子檢測是一種醫(yī)學(xué)檢測方法,用醫(yī)用棉簽從人體的咽部蘸取少量分泌物進(jìn)行檢測,可以了解患者病情、口腔黏膜和咽部感染情況.某地區(qū)醫(yī)院的醫(yī)務(wù)人員統(tǒng)計(jì)了該院近五天的棉簽使用情況,具體數(shù)據(jù)如表所示:t(單位:天)第1天第2天第3天第4天第5天y(單位:袋)1524364456根據(jù)以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y與t呈線性相關(guān),其線性回歸方程為y=10.2t+a,則估計(jì)第8天使用的棉簽袋數(shù)為.

答案86解析因?yàn)閠=1+2+3+4+55=3y=15+24+36+44+565=35所以a=35-10.2×3=4.4,所以y=10.2t+4.4.當(dāng)t=8時(shí),y=10.2×8+4.4=86.14.(2025·廣州模擬)某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重W(單位:克)與心率f(單位:次/分鐘)的對應(yīng)數(shù)據(jù)(Wi,fi)(i=1,2,…,8).根據(jù)生物學(xué)常識和散點(diǎn)圖得出f與W近似滿足f=cWk(c,k為參數(shù)).令xi=lnWi,yi=lnfi,計(jì)算得x=8,y=5,8∑i=1yi2=214.由最小二乘法得線性回歸方程為y=bx+7.4,則k的值為;為判斷擬合效果,通過線性回歸方程求得預(yù)測值yi(i=1,2,…,8),若殘差平方和8∑i=1(yi-yi)2≈0.28,則決定系數(shù)R2≈答案-0.30.98解析將x=8,y=5代入線性回歸方程y=bx+7.4,得5=8b+7.4,解得b=-0.3,所以k=-0.3;8∑i=1(yi-y)2=(y1-y)2+(y2-y)2+…+(y8-y)2=y12+y22+…+y82-2y(y1+y2+…+y8)+8y2=y12+y22+…+y82所以R2=1-8∑i=1(yi四、解答題15.(2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.