2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)收心檢測卷

I口J—

注意事項：

1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項目填寫清楚.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.

第I卷(選擇題共58分)

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的)

1.設(shè)aeRi為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)"="十以。一")i為純虛數(shù)，則°的值為()

A.1B.-1C.0D.-i

【答案】B

【解析】

【分析】由純虛數(shù)的概念列出等式即可求解.

【詳解】因為2=a+l+(l—a)i為純虛數(shù)，

a+1=0

所以解得Q=—1

1一4W0

故選：B

2.已知集合2=卜,2<4},8={-2,—1,0,1,2},則()

A.{0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1)

【答案】C

【解析】

【分析】化簡集合/={x卜2<X<2},即可由交集定義求解.

【詳解】由2={小<4}得2={#2cx<2},故小8={—1,0/},

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故選：c

3.中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會試分南卷、北卷、中卷，按n：7:2的

比例錄取，若某年會試錄取人數(shù)為200,則中卷錄取人數(shù)為（）

A.150

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)和抽樣比計算即可.

2

【詳解】由于分層抽樣比為11:7:2,則200個人中，中卷錄取人數(shù)為200x—=20.

20

故選：D.

4.已知單位向量3滿足后一3尸6，則￡與否的夾角為（）

717127157c

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】c

【解析】

【分析】將5-q=6兩邊平方求得,再利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】根據(jù)題意得=02—21石+廬=3,得G石=—。，

所以cos（原Z?

故選：C

5.已知a,尸是兩個不同的平面，“存在直線/,l±a,…力"是“a〃夕”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的判定與性質(zhì)判段其充分性和必要性即可.

【詳解】當a,0是兩個不同的平面,

對于其充分性：/J_a,夕可以推出0〃，；

對于其必要性：&〃力可以推出存在直線/,Ila,IA./3,

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故其為充分必要條件，

故選：C.

6.我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療支原體肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段.已知這種新藥

在注射停止后的血藥含量c（。（單位：mg/L）隨著時間/（單位：h）的變化用指數(shù)模型。（/）=%片”描

述，假定該藥物的消除速率常數(shù)左=0.1（單位：h-1），剛注射這種新藥后的初始血藥含量Co=3000mg/L,

且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對支原體肺炎起療效，現(xiàn)給某支原體肺炎患者

注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（）（參考數(shù)據(jù)：In230.693,ta3-1.099）

A.5.32hB,6.23hC.6.93hD.10.99h

【答案】D

【解析】

【分析】由題設(shè)有3000e得21000,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對數(shù)關(guān)系求解，即可得答案.

tt1

【詳解】由題意=3000e1。31000，則一歷之=>/<10M3土10.99小時.

故選：D

7.如圖，在正四棱臺4BCD—中，48=4,4呂=2,/4=叵，則該正四棱臺的體積為（）

3

112140

C.----D.——

3

【答案】A

【解析】

【分析】作出截面，過點4作結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得到高，再計算體積即可.

【詳解】過zc,4G作出截面如圖所示，過點4作4ELZC，垂足為E，

易知A.E為正四棱臺ABCD-的高，

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因為AB-4,AXBX-2,

所以由勾股定理得AC=4后，4G=2后，

又cq=力4=孚

則在等腰梯形/CG4中，AE=C，

所以AXE=JAA；-AE2=欄_2=1,

所以所求體積為

SSSX16+4+16x4

「=1X(S/BCD+A,BiClDl+slABCD'^B^D,)-4^=~(^)*]=.

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=cos2x,若關(guān)于x的方程/(x)=a在曾泉：上有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取

值范圍是()

B.加口

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意先根據(jù)余弦型函數(shù)性質(zhì)求出/(x)=cos2x在-5，：上的取值范圍及相應(yīng)單調(diào)性情況，

再結(jié)合V=。與y=/(x)有兩個交點，從而可求解.

【詳解】由題意知當xe~—時，2xe,所以/(x)e[0,1],

當2xe-p0時，外久)單調(diào)遞增，此時/(x)e—,1,

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當2xe0,|時，/(x)單調(diào)遞減，此時/(x)e[O』,

所以要使/(x)=a有兩個不同實數(shù)根,

等價于函數(shù)V=a與N=/(x)在2xe—go及2xe0,￡上各有一個交點，所以吏＜。＜1，

L6JL2J2

所以。的取值范圍為￡」]，故B正確.

2

L7

故選：B.

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A.y=—B.y=cx-e~x

x

3

C.y=xD.y=log2x

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)解析式直接判斷奇偶性與單調(diào)性即可求解.

【詳解】選項A：＞=?為奇函數(shù)不是增函數(shù)，選項B：j=ex-e-x,為奇函數(shù)和增函數(shù)，

X

選項C：歹=/為奇函數(shù)和增函數(shù)，選項D:歹=log2%不是奇函數(shù).

故選：BC.

10.若復(fù)數(shù)2=",則()

1-1

-1+i

A.z的共輾復(fù)數(shù)z=——B.

2

C.復(fù)數(shù)z的實部與虛部相等D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

【答案】ABD

【解析】

【分析】先化簡，再計算即可；

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z_「i「-i(l+i)1-i

【詳解】

1-i1-i(l-i)(l+i)F2-2

-1i1+i

選項A：z=--1——=,故正確;

222

11-1

選項C:2=------,實部為一，虛部為---，故錯誤;

2222

選項D：z=L-上在復(fù)平面對應(yīng)坐標為住,-g,在第四象限，故正確;

22122

故選:ABD

H.在棱長為2的正方體ABCD-&耳G2中，點分別是線段qn，線段qc,線段48上的動

點（包含端點），且MG=NGwO.則下列說法正確的有（）

A.7W//平面48片4

B.異面直線"N與4P所成的最大角為60°

C.三棱錐P-COM的體積為定值

D.當四棱錐尸-N8S的體積最大時，該四棱錐外接球的表面積為127r

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用線面平行的判定定理求解選項A,利用異面直線的定義得到直線九W與/尸所成的角就是直線

48與/P所成的角求解選項B,分析可知三棱錐的體積為（邑co”x正方體棱長，即可判斷C,

轉(zhuǎn)化為求正方體外接球半徑即可判斷D.

【詳解】選項A：連結(jié)，因為在正方體ABCD-481G3中，MG=NC[M,

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所以MN//DQ,又易知四邊形4ACS為矩形，所以43//。。,所以"N//4B,

又因為"N<2平面28片4,48U平面28四4,所以"N//平面28片4，故選項A正確.

選項B：又D。//A&,因此7W//48,

因此直線VN與4P所成的角就是直線&B與NP所成的角，

當尸為4臺中點時，直線48與/尸所成的角最大為90。，故選項B錯誤.

1114

選項C：觀察可知，三棱錐P—CDM的體積為I5".，2=?5*2*2乂2=7

故三棱錐P-COM的體積為定值，故選項C正確.

選項D：由正方體的性質(zhì)可知，當四棱錐尸-/88的體積最大時，P與其重合，

此時四棱錐的外接球為正方體的外接球，表面積為47r42=12兀，故選項D正確.

\27

故選：ACD.

第n卷（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知角6的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點尸。,3）,則

2cos（?！?/p>

cos。-sin（兀+。）

【答案】—##—0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得tan8=3,根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合齊次化問題運算求解.

【詳解】因為角6的終邊經(jīng)過點尸（1,3）,則tand=?=3,

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2cos（兀一2cos。2_2_1

所以

cosO-sin（兀+。）cos。+sin。1+tan31+32

故答案為：—.

2

13.盒中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個白球、1個黑球，從中不放回地依次隨機摸出2個球.則

恰好摸出一個白球一個黑球的概率為.

【答案】2

3

【解析】

【分析】利用列舉法求出基本事件總數(shù)，再求出符合條件的事件數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解即可.

【詳解】記1個黑球為A,2個白球分別為。，b,現(xiàn)從中不放回地依次隨機摸出2個球，

則可能結(jié)果有Aa.Ab.aA.ab.bA.ba,共6種情況,

其中恰好摸出一個白球一個黑球的有Aa.Ab.aAM＞共4種情況,

42

所以恰好摸出一個白球一個黑球的概率P=—=—.

63

2

故答案為：一.

3

14.已知向量1=(1,—2),b=(x,-l),c=(-4,x),若21+B，彳―己反向共線，則實數(shù)x的值為.

【答案】-7

【解析】

【分析】首先利用平面向量的坐標運算求出21+3，a-c,再利用向量共線的坐標表示計算即可.

【詳解】因為向量值=(1,-2),b=(x,-l),己=(-4,x),所以2G+B=(2+X,-5),3-C=(5,-2-X).

因為21+3，5—己共線，所以(2+x)x(—2—x)—(―5)x5=0,解得x=3,或x=-7.

又2G+B，5—己反向共線，代入驗證可知x=3時為同向，舍去.

而x=-7滿足條件，所以x=-7.

故答案為：-7.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚)

15.已知角ae(O,7i),且cosa=—1.

(1)求sin(兀+a)的值；

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（2）求cos[tz-；J的值.

3

【答案】（1）-1

⑵一也

10

【解析】

【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.

（2）利用兩角差的余弦公式求解即可.

【小問1詳解】

,/ae（0,7t）,且cosa=Ig.

sincr=Jl-cos%=g,

sin（兀+a）=-sincr=一g.

【小問2詳解】

…4?3

因為cosa=——，sina=—,

55

也

io-

i—.—■一

16.如圖，在V45c中，40=—48,點E是CD的中點，設(shè)45=1,ZC=b,

3

（1）用扇B表示函,1宕；

（2）如果:=3m，CD,/E有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.

—■1一一?11-

【答案】（1）CD=-a-b,AE=-a+-b.

362

（2）CDLAE,證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解;

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(2)因為同=3網(wǎng)，化簡函/=f(3|B|)2TBi2=0,即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

解：因為所以麗=彳方—充=1次—元=工彳—B,

333

因為E是CD的中點,

pJ^AE=-(Z0+l4C')=--A8+I4C=-AB+-AC=-a+-b.

2、J2(3J6262

【小問2詳解】

解：CDLAE.

因為同=3同，

2222

則麗?次=+=La+-a-b--a-b--b=—a--b

13只62J18662182

=.|殲向)2二而=o

1o21o2

以麗，樂，所以C￡>_L/￡.

17.已知函數(shù)/(》)=25/(加+9)]2〉0,?！?,0<9<僅滿足下列四個條件中的三個:

①/(x)的最小正周期為兀；②/(x)的最大值為2；③/(0)=—1；@f0.

(1)請找出函數(shù)/(x)滿足的三個條件，并說明理由；

(2)求函數(shù)/(x)的解析式.

【答案】(1)滿足條件①②④，理由見解析

(2)/(x)=2sin^2x+

【解析】

【分析】(1)發(fā)現(xiàn)條件③與題干矛盾，進而選出正確條件即可.

(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解解析式即可.

【小問1詳解】

若函數(shù)/(x)滿足條件③,則〃0)=/sin。=-1,

第10頁/共14頁

這與2〉0,0<9<］矛盾，故/(x)不能滿足條件③，

，函數(shù)/(x)只能滿足條件①②④，

【小問2詳解】

由條件①，得”=兀，故。=2,由條件②，得2=2,

CD

又0<0<萬,「.0=

函數(shù)/(X)的解析式為/(》)=2$①12》+；］.

18.記V48c的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,“c,已知—JsiM=0+c)(sinS-sinC).

(1)求角C；

(2)若V48c外接圓的半徑為2,求V4BC面積的最大值.

7T

【答案】(1)c=-

6

⑵2+V3

【解析】

【分析】(1)運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理進行求解即可；

(2)根據(jù)正弦定理，結(jié)合外接圓的半徑可以求出c=2,根據(jù)三角形面積公式、利用重要不等式進行求解

即可.

【小問1詳解】

由已知及正弦定理可得(回—a)a=(b+c)9—c),

整理得a2+b2-c~=#>ab，

.?.cosC="+b2-c?=在

2ab2

jr

?/CG(0,7T),.,.C=—.

【小問2詳解】

???△48C外接圓的半徑為2,

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=4,得c=2,「.a?+/=4+,

sinC

又a1+b?>2ab,:.ab<4（2+囪），

當且僅當Q=b二C+后時，等號成立，

.-.5=-?teinC<-x4（2+V3）x-=2+V3,

△/me22、,2

即VABC面積的最大值為2+G.

19.如圖，在四棱錐P—48C。中，ZABC=ZACD=900>ZBCA=ZCDA=30°，平面48CZ）,

￡產(chǎn)分別為尸。,尸。的中點.

(1)求