專題2三角形的內(nèi)角和

(知識(shí)精講+典型例題+專題專練+拓展培優(yōu))

1、三角形的內(nèi)角和是180°o

2、三角形的內(nèi)角和的應(yīng)用。

已知三角形的兩個(gè)角的度數(shù)，可以根據(jù)三角形的內(nèi)角和計(jì)算出第三個(gè)角的度數(shù)，從而判斷出

該三角形是什么三角形。

3、多邊形的內(nèi)角和=(n2)X180°

典型一題團(tuán)

考點(diǎn)一：三角形的內(nèi)角和

方法總結(jié)：根據(jù)“三角形內(nèi)角和等于180°”，當(dāng)已知三角形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)時(shí)，可以求

出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并可以由此判斷三角形的形狀。

【例一】求下面各個(gè)三角形中NA的度數(shù)。

【分析】三角形的內(nèi)角和是180°o左邊三角形中NB是直角，ZB=90°,用180°-90°-60°即可求

出NA的度數(shù)；右邊三角形中，用180°-135°-20°即可求出NA的度數(shù)。

【詳解】ZA=180°-90°-60°

=90°-60°

=30°

NA=180°-135°-20°

=45°-20°

=25°

【彳列二】N1、N2、N3分別是三角形中的三個(gè)內(nèi)角。

(1)Z1=140",乙2=25°,求N3。

(2)Z2=65°,Z3=73°,求N1。

【分析】三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180度，180度減去兩個(gè)已知角的度數(shù)等于未知角的度數(shù)。

【詳解】(1)N3=180°-Z1-Z2

=180°-140°-25

=40°-25°

=15°

(2)Z1=180°-N2-N3

=180°-65°-73°

=115°-73°

=42°

【專題專練一】下圖中三角形ABC是等邊三角形，求N1和N2的度數(shù)。

【專題專練二】求下圖中N1的度數(shù)。

拓展悟一團(tuán)

一、計(jì)算題

1.計(jì)算下面各角的度數(shù)。

2.三角形ABC是一個(gè)直角三角形，計(jì)算圖中N1、N2、N3的度數(shù)。

3.看圖計(jì)算。

求：N1+N2+N3+N4+N5+N6的度數(shù)和。

4.求下面各圖中N1的度數(shù)。

6.求下面各未知角的度數(shù)。

7.計(jì)算下面未知角的度數(shù)。

8.求出圖中未知角的度數(shù)。

CA

JB

9.求出各題中N1的度數(shù)。

10.算一算角的度數(shù)。

11.看圖列式計(jì)算下面各角的度數(shù)。

AA

12.計(jì)算下面未知角的度數(shù)。

13.根據(jù)條件，求出三角形未知內(nèi)角的度數(shù)。

14.如圖，已知N1=127°求N2和N3的度數(shù)。

15.三角形ABC是一個(gè)直角三角形，三角形DBC是一個(gè)等腰三角形，Z1=Z2,Z3=42°,求N4的度數(shù)。

16.求N1和N2的度數(shù)。

等腰三角形

18.求出下面各角的度數(shù)。

19.求NA的度數(shù)。

20.求出下面N1的度數(shù)。

21.如圖所示求N1,N2,N3各是多少度？

2

54。3

22.求下面各圖中N1的度數(shù)。

23.算出下面未知角的度數(shù)。

參考答案

1.(1)N3是120°

(2)Z1是33°

【分析】為便于描述，標(biāo)記N3相鄰角為N2;53°角相鄰角為N4,如下圖：

(1)三角形的內(nèi)角和是180°,所以可列式計(jì)算N2為：(180°-50°-70°);N3與N2構(gòu)成平角，

平角為180°角，所以用180°減去N2即可得到N3的度數(shù)，據(jù)此計(jì)算即可；

(2)圖中標(biāo)記53°角與N4構(gòu)成平角，所以N4=180°—53°;再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°,即可列

式計(jì)算N1=180°-20°-Z4,據(jù)此計(jì)算即可。

【詳解】(1)180°-(180°-50°-70°)

=180°-(130°-70°)

=180°-60°

=120°

所以N3是120°o

(2)180°-20°-(180°-53°)

=180°-20°-127°

=160°-127°

=33°

所以N1是33°□

2.Z1=20°,Z2=30°,Z3=130°

【分析】由圖中可知：因?yàn)槿切蜛BC是一個(gè)直角三角形，先根據(jù)三角形內(nèi)角和180°算出NBAC中左邊

角的度數(shù)，又因?yàn)镹BAC是直角，所以NBAC=90°,據(jù)此可以算出N2=90°-ZB：N3和50°的角組成

了180°的平角，因此可以算出N3的度數(shù)。據(jù)此解答。

【詳解】180°-60°-50°=70°

Z1=90°-70°=20°

Z2=90°-60°=30°

Z3=180°-50°=130°

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和，應(yīng)熟練掌握并靈活運(yùn)用。

3.360°

【分析】如圖:,N1、N3、N5是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，N2、N4、Z6

是三角形DEF的三個(gè)內(nèi)角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,所以可得N1+N3+N5=180°,Z2+Z4

+N6=180°,據(jù)此即可求出/1+N2+N3+N4+/5+N6的度數(shù)和。

【詳解】根據(jù)分析得，N1+N3+N5=180°,Z2+Z4+Z6=180",

所以N1+N2+N3+N4+N5+N6=180°+180°=360°。

4.(1)110°;

(2)110°

【分析】(1)三角形的內(nèi)角和為180°,先求出N1旁邊的南的度數(shù)=180°-60°—50°,再用平角180°

減去N1旁邊的角的度數(shù)，求出N1的度數(shù)；

(2)兩條直線相交的夾角中，相對(duì)的角相等，也就是N1的度數(shù)與N1對(duì)角的度數(shù)相等；三角形的內(nèi)角和

為180°,則N1的對(duì)角=180°-40°-30°;據(jù)此解答。

【詳解】(1)180°-(180°-50°-60°)

=180°-(130°-60°)

=180°-70°

=110°

所以N1的度數(shù)為110°;

(2)180°-40°-30°=110°

所以N1的度數(shù)為110°o

5.70°

【分析】三角形內(nèi)角和是180°,用三角形內(nèi)角和減去兩個(gè)已知角的度數(shù)即可求出N3的度數(shù)。

【詳解】180°-50°-60°

=130°-60°

=70°

答：N3的度數(shù)是70°。

6.4=115。；?270?;Z3=110°;Z4=128°

【分析】(1)三角形的內(nèi)角和是180。，已知三角形其中兩個(gè)角的度數(shù)，求N1的度數(shù)，用180。減去已知的

兩個(gè)角的度數(shù)即可。

(2)從題圖中可知，N2與N3構(gòu)成了一個(gè)平角，所以/3=180。-N2。而N2可根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。求

出。

(3)本題根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360。和平角是180。進(jìn)行求解。

【詳解】(1)4=180°—35°—30°=115°

(2)Z2=180°-60°-50°=70°

Z3=180°—N2=180°-70°=110°

(3)360°—103°—120°—85°=52°

Z4=180°-52°=128°

7.40°;65°

【分析】(1)三角形的內(nèi)角和是180。，減去圖中已知的75°和65°即可求解；

(2)平行四邊形的內(nèi)角和是360°,減去已知的三個(gè)角即可求解未知角；

據(jù)此解決。

【詳解】(1)180°-75°-65°

=105°-65°

=40°

(2)360°-115°-115°-65°

=245°-115°-65°

=130°-65°

=65°

8.(1)55

(2)120

【分析】(1)如圖一個(gè)直角三角形，那么一個(gè)角是90度，另兩個(gè)角的和是90度，用90度減去給出的一

個(gè)角的度數(shù)就是所求的角的度數(shù)；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和度數(shù)是180度，減去所給的兩個(gè)角的度數(shù)，就是所求角的度數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】(1)90-35=55

(2)180-36-24

=144-24

=120

9.57°；63°

【分析】(1)觀察圖形可知，三角形的第三個(gè)內(nèi)角與115°組成平角，平角=180°,據(jù)此利用180°減

去115°,先求出三角形的第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°,用180°減去兩個(gè)已知角

的度數(shù)就等于N1的度數(shù)；

(2)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°,用360°減去三個(gè)已知角的度數(shù)就等于N1的度數(shù)。

【詳解】180°-58°-(180°-115°)

=180°-58°-65°

=122°-65°

=57°

360°-117°-63°-117°

=243°-63°-117°

=180°-117°

=63°

10.①N1=50。;②N1=130°

【分析】①如下圖，N2等于180°減140°,180°減90°,再減N2等于N1;

②如下圖，N2等于180°減135°,四邊形內(nèi)角和等于360°,360°減100°,再減85°,然后減N2等

于N1。

【詳解】①N2=180°-140°=40°

Z1=180°-90°一/2

=90°-40°

=50°

②N2=180°-135°=45°

Z1=360°-100°-85°-Z2

=175°-45°

=130°

11.(1)60°;(2)95°

【分析】(1)(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,用180°分別減去已知的兩個(gè)角的度數(shù)，即可求出

第三個(gè)角的度數(shù)，列式解答即可。

【詳解】(1)180°-90°-30°

=90°-30°

=60°

(2)180°-40°-45°

=140°-45°

=95°

12.60°；50°

【分析】(1)三角形的內(nèi)角和是180°,直角三角形的兩個(gè)銳角之和是90°,根據(jù)減法的意義，用減法

解答；

(2)四邊形的內(nèi)角和是360°,直角梯形有兩個(gè)直角，根據(jù)減法的意義，用360°減去已知的3個(gè)內(nèi)角的

度數(shù)即可。

【詳解】90°-30°=60°

360°-(90°+90°+130°)

=360°-(180°+130°)

=360°-310°

=50°

13.ZB=150";ZC=70°,ZA=40°;ZC=40°

【分析】(1)180°減兩個(gè)已知角的度數(shù)即等于NB的度數(shù)；

(2)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，所以NC等于NB,180°減NC、NB的度數(shù)等于NA的度數(shù)；

(3)直角三角形兩銳角和等于90°,90°減NA等于NC。

【詳解】(1)ZB=180°-10°-20°

=170°-20°

=150°

(2)NC=NB=70°

ZA=180°-70°X2

=180°-140°

=40°

(3)ZC=90°-50°=40°

14.N2=37°；Z3=53°

【分析】如下圖，N4等于180°減N1,N2和N4是直角三角形中的兩個(gè)銳角，所以N2等于90°減N4,

N3和N2也是直角三角形的兩個(gè)銳角，所以N3等于90°減N2,據(jù)此即可解答。

【詳解】Z4=180°-127°=53°

Z2=90°-Z4

=90°-53°

=37°

Z3=90°-Z2

=90°-37°

=53°

15.84°

【分析】三角形ABC是一個(gè)直角三角形，Z3=42°,可求出N1=180°-90°-Z3,又因?yàn)镹1=N2,

所以可求出N2的度數(shù)。在三角形DBC中，用N4=180°-Z1-Z2O

【詳解】Z1=180°-90°-Z3

=180°-90°-42°

=90°-42°

=48°

N4=180°-Z1-Z2

=180°-48°-48°

=132°-48°

=84°

16.Z1=40°；Z2=70°

【分析】此三角形是等腰三角形，等腰三角形兩個(gè)底角相等，所以可知N2的度數(shù)是70°,再用三角形的

內(nèi)角和減70°,所得差再減70°即可求出N1的度數(shù)。

【詳解】N2=70°

Z1=180°-70°-70°=110°-70°=40°

【點(diǎn)睛】三角形的內(nèi)角和是180°o等腰三角形兩腰長(zhǎng)相等，兩底角相等。

17.65°

【分析】

從上圖可知：Z2+1100=180°,因此N2=180°-110°;三角形的內(nèi)角和為180°,因此N1=180°

-Z2-450;據(jù)此解答。

【詳解】Z2=180°-110°=70°

Z1=180°-70°-45°

=110°-45°

=65°

18.72°；32°；120°

【分析】三角形的內(nèi)角和是180度，所以用180度，減去已知的兩個(gè)角的度數(shù)，即可求出三角形的第三個(gè)

角的度數(shù)，據(jù)此即可解答問題。

【詳解】Z1=180°-62°-46°=72°

Z2=180°-58°-90°=32°

Z3=180°-35°-25°=120°

19.(1)22°

(2)38°

(3)95°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°:(1)ZA=180°-130°-28°。(2)ZA=180°-52°-90°。

(3)180°-135°=45°,ZA=180°-45°-40°。

【詳解】(1)ZA=180°-130°-28°=22°

(2)ZA=180°-52°-90°=38°

(3)180°-135°=55°,ZA=180°-45°-40°=95°

20.70°;25°;52°

【分析】根據(jù)三甬形的內(nèi)角和是180°,求出N1的度數(shù)，并由此求解。

【詳解】據(jù)分析可知：

圖1：180°-70°-90°

=110°-90°