專(zhuān)題10垂徑定理（3知識(shí)點(diǎn)+8大題型+3大拓展訓(xùn)練+過(guò)關(guān)測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練+3大拓展訓(xùn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1：垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；AE=BE如圖，幾何語(yǔ)言為：AE=BE2.推論定理1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦.要點(diǎn)：（1）分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn)，叫做這條弧的中點(diǎn).（2）這里的直徑也可以是半徑，也可以是過(guò)圓心的直線或線段.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）下列命題正確的是（）A．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線必垂直于弦B．垂直于弦的直線平分弦C．平分弦的直線必平分弦所對(duì)的兩條弧D．平分弦的直徑必平分弦所對(duì)的兩條弧A．1 B． C． D．知識(shí)點(diǎn)2：垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性及垂徑定理還有如下結(jié)論：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。黄椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.圓的兩條平行弦所夾的弧相等．注意：在垂徑定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【即時(shí)訓(xùn)練】A．7 B．4 C．5 D．65．（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)，，作一圓弧，圓心坐標(biāo)是．6．（2023九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A、B、C作圓弧，則圓心的坐標(biāo)是．

知識(shí)點(diǎn)3：常見(jiàn)輔助線做法：⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．【即時(shí)訓(xùn)練】

9．（2324九年級(jí)上·浙江寧波·期中）蘇州古典園林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南園林甲天下之美，如圖是一蘇州園林中的窗飾特寫(xiě)，四個(gè)水平放置正方形木框的邊長(zhǎng)都為20cm，頂點(diǎn)A，B，C是圓形窗上的點(diǎn)，則這個(gè)圓形窗的半徑為cm．【題型1垂徑定理的概念辨析】1．下列命題中，正確的是（

）A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C．弦的垂線必經(jīng)過(guò)這條弦所在圓的圓心D．在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和平分它所對(duì)的弦的直線必經(jīng)過(guò)這個(gè)圓的圓心2．下列命題中正確的是（）A．垂直于弦的直線平分這條弦 B．平分弦的直徑垂直于這條弦C．平分弧的直線垂直于弧所對(duì)的弦 D．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分這條弦3．下列命題中，假命題是（）A．如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦B．如果圓的一條直徑平分一條弦，那么這條直徑垂直這條弦C．如果一條直線垂直平分一條弦，那么這條直線一定經(jīng)過(guò)圓心D．如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線平分這條弦4．請(qǐng)完善本課時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．垂徑定理（1）定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑，并且．∴，∴．5．如圖，舞臺(tái)地面上有一段以點(diǎn)O為圓心的，某同學(xué)要站在的中點(diǎn)C的位置上．于是他想：只要從點(diǎn)O出發(fā)，沿著與弦AB垂直的方向走上，就能找到的中點(diǎn)，老師肯定了他的想法．這位同學(xué)確定點(diǎn)C所用方法的依據(jù)是．【題型2利用垂徑定理求半徑】6．如圖，在中，弦的長(zhǎng)為4，圓心到弦的距離為2，則圓O的半徑長(zhǎng)是（

）A． B．6 C．5 D．4【題型3利用垂徑定理求弦長(zhǎng)】A．5 B．8 C．10 D．16(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．【題型4垂徑定理的推論】A．2.5 B．2 C．1.5 D．1A． B． C． D．【題型5垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】22．石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖是某地的石拱橋局部，其跨度為24米，所在圓的半徑為米，則這個(gè)弧形石拱橋的拱高（的中點(diǎn)C到弦的距離）為（

）A．8米 B．6米 C．4米 D．2米A．寸 B．寸 C．寸 D．寸25．如圖1，某公園有一個(gè)圓形音樂(lè)噴泉，為了保障游客安全，管理部門(mén)打算在噴泉周?chē)O(shè)置一圈防護(hù)欄現(xiàn)在對(duì)噴泉進(jìn)行測(cè)量和規(guī)劃，其示意圖如圖2所示，相關(guān)信息如下：信息二：已知防護(hù)欄要距離噴泉邊緣1米，以O(shè)為圓心，R為半徑作防護(hù)欄所在圓．請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護(hù)欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）【題型6利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】A．甲和乙的方法均正確B．甲和乙的方法均不正確C．甲的方法正確，乙的方法不正確D．甲的方法不正確，乙的方法正確30．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在以下兩個(gè)圖中畫(huà)出線段BC的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【題型7利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】32．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時(shí)排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m34．已知圓的兩條平行弦分別長(zhǎng)6dm和8dm，若這圓的半徑是5dm，則兩條平行弦之間的距離為．【題型8利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G37．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.【拓展訓(xùn)練一垂徑定理與角度結(jié)合的計(jì)算】A． B． C． D．【拓展訓(xùn)練二垂徑定理與三角形、四邊形結(jié)合的計(jì)算】A．21 B．22 C．23 D．2450．綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)圓中的變換進(jìn)行了如下探究．問(wèn)題背景：?jiǎn)栴}遷移：（2）如圖2，在以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓中，是大圓的弦，將平移一定的距離得到對(duì)應(yīng)線段，若線段的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在小圓上，連接，．問(wèn)題拓展：【拓展訓(xùn)練三垂徑定理實(shí)際問(wèn)題的綜合】(1)計(jì)算橋拱圓弧所在圓的半徑；(1)求拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一個(gè)直徑為的圓桌面（桌面的厚度忽略不計(jì)），已知搬桌面的兩名工人在搬運(yùn)時(shí)所抬高度相同（桌面與地面平行），通過(guò)計(jì)算說(shuō)明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使該圓桌面通過(guò)拱門(mén)．(1)在圖①中，過(guò)點(diǎn)A作的切線；(2)在圖②中，作點(diǎn)P關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M；(3)在圖③中，已知點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），作點(diǎn)Q關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N．54．問(wèn)題情境：筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問(wèn)題解決：(2)求筒車(chē)水面的寬度；2．（2324九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．如圖，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離等于（

）3．（2025·浙江衢州·一模）如圖，點(diǎn)O是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，點(diǎn)P，，，，是以O(shè)為圓心的圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（

）A． B． C． D．4．（2425九年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，某橋的主橋拱呈圓弧形，跨度為，拱高為，則該橋主橋拱半徑約為（

）A． B． C．3 D．4

13．（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)一定點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)P作弦，使點(diǎn)P是的中點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；17．（2324九年級(jí)上·浙江紹興·期末）利用素材解決：《橋梁的設(shè)計(jì)》問(wèn)題驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)方案方案一方案二設(shè)計(jì)類(lèi)型圓弧型拋物線型任務(wù)一設(shè)計(jì)成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑．設(shè)計(jì)成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)二18．（2425九年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如何確定拱橋形狀？問(wèn)題背景河面上有是一座拱橋，對(duì)它的形狀，同學(xué)們各抒己見(jiàn)．有同學(xué)說(shuō)拱橋是拋物線，也有同學(xué)說(shuō)是圓．為了確定拱橋形狀，九年級(jí)綜合實(shí)踐小組開(kāi)展了一次探究活動(dòng)．素材一在正常水位時(shí)，小組成員對(duì)水面寬度和拱頂離水面的距離進(jìn)行了測(cè)量并繪制了如圖測(cè)量水面寬為m，拱頂離水面的距離為4m素材二大雨過(guò)后，水位上漲．小組成員對(duì)水面寬度和拱頂離水面的距離進(jìn)行了兩次測(cè)量發(fā)現(xiàn)當(dāng)水面為m時(shí)，水位（相對(duì)正常水位）上漲m；當(dāng)水面寬8m時(shí)，水位（相對(duì)正常水位）上漲m，素材三如何檢驗(yàn)探究過(guò)程中提出的假設(shè)是否符合實(shí)際情況呢？定義：離差平方和是實(shí)際觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間差的平方和，反映了基于假設(shè)算得的預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值之間的差異．離差平方和越小，說(shuō)明預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值之間的誤差越小，提出的假設(shè)與實(shí)際情況更為接近．假設(shè)1小組成員首先假設(shè)拱橋形狀是拋物線．根據(jù)素材一