1/7《實(shí)際問題與反比例函數(shù)(第2課時(shí))》教案一、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)生活與反比例函數(shù)的關(guān)系，通過“杠桿定律”解決實(shí)際問題，探究實(shí)際問題與反比例函數(shù)的關(guān)系；2.掌握反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的運(yùn)用，體驗(yàn)學(xué)科的整合思想.【過程與方法】在解決問題的過程中，對(duì)實(shí)際問題中的變量關(guān)系進(jìn)行分析，建立反比例函數(shù)模型解決問題．【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在運(yùn)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．二、課型新授課三、課時(shí)第2課時(shí)共2課時(shí)四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 掌握從實(shí)際問題中建構(gòu)反比例函數(shù)模型.【教學(xué)難點(diǎn)】 實(shí)際問題中尋找變量間的關(guān)系.五、課前準(zhǔn)備 教師：課件、直尺、三角板等.學(xué)生：直尺、三角板.六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！──阿基米德⑴你認(rèn)為可能嗎？⑵大家都知道開啤酒的開瓶器，它蘊(yùn)含什么科學(xué)道理？⑶同樣的一塊大石頭，力量不同的人都可以撬起來(lái)，是真的嗎？（二）探索新知出示課件4：公元前3世紀(jì),古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”:若杠桿上的兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比,則杠桿平衡.通俗一點(diǎn)可以描述為:阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂.請(qǐng)利用杠桿定律解決以下問題：知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)與力學(xué)（出示課件5）小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m.（1）動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動(dòng)力臂為1.5m時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?學(xué)生先獨(dú)立思考，教師關(guān)注學(xué)生能否主動(dòng)用“杠桿原理”中杠桿平衡的條件理解實(shí)際問題，從而發(fā)現(xiàn)其與反比例函數(shù)的關(guān)系．引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，逐步分析，最后通過建立反比例函數(shù)模型解決問題．解：根據(jù)“杠桿原理”，得Fl=1200×0.5，∴F關(guān)于l的函數(shù)解析式為當(dāng)l=1.5m時(shí)，（N）.對(duì)于函數(shù)，當(dāng)l=1.5m時(shí)，F(xiàn)=400N，此時(shí)杠桿平衡.因此撬動(dòng)石頭至少需要400N的力.出示課件:6：（2）若想使動(dòng)力F不超過題（1）中所用力的一半，則動(dòng)力臂l至少要加長(zhǎng)多少?師生共同分析：對(duì)于函數(shù)，F(xiàn)隨l的增大而減小.因此，只要求出F=200N時(shí)對(duì)應(yīng)的l的值，就能確定動(dòng)力臂l至少應(yīng)加長(zhǎng)的量.解：當(dāng)時(shí)，由，得300－1.5=1.5（m）.對(duì)于函數(shù)，當(dāng)l＞0時(shí)，l越大，F(xiàn)越小.因此，若想用力不超過400N的一半，則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)1.5m.出示課件7：學(xué)生分組討論，教師加以指正：1.什么是“杠桿定律”？已知阻力與阻力臂不變，設(shè)動(dòng)力為F，動(dòng)力臂為L(zhǎng)，當(dāng)F變大時(shí)，L怎么變？當(dāng)F變小時(shí)，L又怎么變？2.在第（2）問中，根據(jù)第（1）問的答案，可得F≤200，要求出動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)多少，就是要求L的什么值？由此判斷我們?cè)谑褂们斯鲿r(shí)，為什么動(dòng)力臂越長(zhǎng)就越省力？出示課件8，學(xué)生獨(dú)立思考后口答，教師訂正.出示課件9～12：某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地.當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S(m2)的變化，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p(Pa)也隨之變化.如果人和木板對(duì)濕地地面的壓力合計(jì)為600N，那么(1)用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？(2)當(dāng)木板面積為0.2m2時(shí)，壓強(qiáng)是多少？(3)如果要求壓強(qiáng)不超過6000Pa，木板面積至少要多大？(4)在直角坐標(biāo)系中，作出相應(yīng)的函數(shù)圖象．由學(xué)生獨(dú)立完成，一生板演，教師根據(jù)學(xué)生完成情況及時(shí)給予評(píng)價(jià)，規(guī)范解題書寫過程.解：⑴由，得p是S的反比例函數(shù)，因?yàn)榻o定一個(gè)S的值，對(duì)應(yīng)的就有唯一的一個(gè)p值和它對(duì)應(yīng)，根據(jù)函數(shù)定義，則p是S的反比例函數(shù)．⑵當(dāng)S＝0.2m2時(shí)，故當(dāng)木板面積為0.2m2時(shí)，壓強(qiáng)是3000Pa．⑶當(dāng)p=6000時(shí)，由得對(duì)于函數(shù)，當(dāng)S＞0時(shí)，S越大，p越小.因此，若要求壓強(qiáng)不超過6000Pa，則木板面積至少要0.1m2.⑷如圖所示.出示課件13，學(xué)生獨(dú)立思考后口答，教師訂正.知識(shí)點(diǎn)2反比例函數(shù)與電學(xué)（出示課件14～15）一個(gè)用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為110～220Ω.已知電壓為220V，這個(gè)用電器的電路圖如圖所示.(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)這個(gè)用電器功率的范圍是多少?學(xué)生自主思考后獨(dú)立解答，一生板演，教師加以訂正，規(guī)范解題書寫過程.解：⑴根據(jù)電學(xué)知識(shí)，當(dāng)U=220時(shí)，得⑵根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，電阻越大，功率越小.把電阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值把電阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值因此用電器功率的范圍為220~440W.教師問：根據(jù)物理知識(shí)可以判斷：當(dāng)用電器兩端的電壓一定時(shí)，用電器的輸出功率與它的電阻之間呈什么關(guān)系？這一特征說明用電器的輸出功率與它的電阻之間滿足什么函數(shù)關(guān)系？（出示課件16）學(xué)生分組討論，教師指點(diǎn)后總結(jié)：（出示課件17）解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式，進(jìn)一步根據(jù)題意求解答案．其中往往要用到電學(xué)中的公式PR＝U2，P指用電器的輸出功率（瓦），U指用電器兩端的電壓（伏），R指用電器的電阻（歐姆）．出示課件18～19，學(xué)生獨(dú)立思考后口述解題過程，教師訂正.（三）課堂練習(xí)（出示課件20-28）教師引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)課件20-28題目，約用時(shí)15分鐘。（四）課堂小結(jié)（出示課件29）本節(jié)課你有哪些收獲？你還有什么困惑嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考答復(fù)）師生一起提煉本節(jié)課的重要知識(shí)和必須掌握的技能：解答本節(jié)問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式，進(jìn)一步根據(jù)題意求解答案．其中往往要用到力學(xué)、電學(xué)中的公式.（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（27.1）的相關(guān)內(nèi)容.知道什么是相似圖形.七、課后作業(yè)1、教材第16、17頁(yè)練習(xí)第6，8題.2、課堂第24～25頁(yè)第3,4，6,10題.八、板書設(shè)計(jì)26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)（第2課時(shí)）知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)與力學(xué)知識(shí)點(diǎn)2反比例函數(shù)與電學(xué)九、教學(xué)反思本節(jié)課是用函數(shù)的觀點(diǎn)處理實(shí)際問題，關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題．將實(shí)際問題置于已有的知識(shí)背景之中，用數(shù)學(xué)知識(shí)重新解釋“這是什么”，使學(xué)生逐步形成考察實(shí)際問題的能力．在解決問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.平時(shí)多與學(xué)生交流，了解學(xué)生，課堂上合理的設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)單的題，多鼓勵(lì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，讓他們積極參與課堂活動(dòng).知能演練提升能力提升1.一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地,當(dāng)汽車以80km/h的平均速度行駛時(shí),到達(dá)乙地用了4小時(shí),當(dāng)按原路勻速返回時(shí),汽車的速度v(單位:km/h)與時(shí)間t(單位:h)的函數(shù)解析式是()A.v=320t B.v=320C.v=20t D.v=202.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),連接DP,過點(diǎn)A作AE⊥DP,垂足為E.設(shè)DP=x,AE=y,則能反映y與x之間的函數(shù)的大致圖象是()3.某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí),用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長(zhǎng)最快的新品種.某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚內(nèi)溫度y(單位:℃)隨時(shí)間x(單位:h)變化的函數(shù)圖象如圖所示,其中BC段是雙曲線y=kx的一部分.恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有h;k=;當(dāng)x=16時(shí),大棚內(nèi)的溫度約為℃.4.如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,AB∥x軸,BC∥y軸,反比例函數(shù)y=2x與y=-2x的圖象均與正方形ABCD的邊相交,則圖中陰影部分的面積之和是(第4題圖)5.某人利用一個(gè)最大電阻為200Ω的滑動(dòng)變阻器及電流表測(cè)電源電壓,如圖所示.(1)該電源電壓為;

(2)電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)之間的函數(shù)解析式為;

(3)當(dāng)電阻在2~200Ω之間時(shí),電流應(yīng)在范圍內(nèi),電流隨電阻的增大而;

(4)若限制電流不超過20A,則電阻應(yīng)在之間.

6.某蓄水池的排水管每小時(shí)排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(1)蓄水池的容積是多少?(2)如果增加排水管,使每小時(shí)的排水量達(dá)到Q(單位:m3),那么將滿池水排空所需的時(shí)間t(單位:h)將如何變化?(3)寫出t與Q的函數(shù)解析式.(4)如果準(zhǔn)備在5h內(nèi)將滿池水排空,那么每小時(shí)的排水量至少為多少?(5)已知排水管的最大排水量為每小時(shí)12m3,那么最少多長(zhǎng)時(shí)間可將滿池水全部排空?7.杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用(杠桿原理:阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂),小明利用這一原理制作了一個(gè)稱量物體質(zhì)量的簡(jiǎn)易“秤”(如圖①).制作方法如下:第一步:在一根勻質(zhì)細(xì)木桿上標(biāo)上均勻的刻度(單位長(zhǎng)度為1cm),確定支點(diǎn)O,并用細(xì)麻繩固定,在支點(diǎn)O左側(cè)2cm的A處固定一個(gè)金屬吊鉤,作為秤鉤;第二步:取一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的金屬物體作為秤砣.(1)圖①中,把重物掛在秤鉤上,秤砣掛在支點(diǎn)O右側(cè)的B處,秤桿平衡,就能稱得重物的質(zhì)量.當(dāng)重物的質(zhì)量變化時(shí),OB的長(zhǎng)度隨之變化.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,OB的長(zhǎng)為ycm.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;若0<y<48,求x的取值范圍.(2)調(diào)換秤砣與重物的位置,把秤砣掛在秤鉤上,重物掛在支點(diǎn)O右側(cè)的B處,使秤桿平衡,如圖②.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,OB的長(zhǎng)為ycm,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,完成下表,畫出該函數(shù)的圖象.x/kg……0.250.5124……y/cm……?

……8.制作一種產(chǎn)品,需先將材料加熱達(dá)到60℃后,再進(jìn)行操作,設(shè)該材料溫度為y(單位:℃),從加熱開始計(jì)算的時(shí)間為x(單位:min).據(jù)了解,該材料加熱時(shí),溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系,停止加熱進(jìn)行操作時(shí),溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系,如圖,已知該材料在操作加工前的溫度為15℃,加熱5min后的溫度達(dá)到60℃.(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí),y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)根據(jù)工藝要求,如果當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí),需停止操作,那么從開始加熱到停止操作共經(jīng)歷了多長(zhǎng)時(shí)間?9.(2023·寧夏中考)給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體,在溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓p(單位:kPa)是氣體體積V(單位:m3)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示.(1)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過150kPa時(shí),氣球會(huì)爆炸,若將氣球近似看成一個(gè)球體,試估計(jì)氣球的半徑至少為多少時(shí)氣球不會(huì)爆炸(球體的體積公式V=43πr3,π(2)請(qǐng)你利用p與V的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎.創(chuàng)新應(yīng)用★10.某廠從2021年起開始投入技術(shù)改進(jìn)資金,經(jīng)技術(shù)改進(jìn)后,其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低,具體數(shù)據(jù)如下表:年度2021202220232024投入技改資金x/萬(wàn)元2.5344.5產(chǎn)品成本y/(萬(wàn)元/件)7.264.54(1)請(qǐng)你認(rèn)真分析表中數(shù)據(jù),從你所學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示其變化規(guī)律,說明確定是這種函數(shù)而不是其他函數(shù)的理由,并求出它的解析式.(2)按照這種變化規(guī)律,若2025年投入技改資金5萬(wàn)元.①預(yù)計(jì)生產(chǎn)成本每件比2024年降低多少萬(wàn)元?②若打算在2025年把每件產(chǎn)品的成本降低到3.2萬(wàn)元,則還需投入技改資金多少萬(wàn)元?(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)

知能演練·提升能力提升1.B由題意知vt=80×4,則v=320t2.C如圖,連接AP,S△APD=12AD·AB=12AE·PD=6,所以xy=12,y=因?yàn)?≤DP≤5,所以其大致圖象為選項(xiàng)C.3.1021613.54.8觀察題圖,看出陰影部分的面積是正方形ABCD的面積的一半.正方形ABCD的面積為16,所以陰影部分的面積之和為8.5.(1)144V(2)I=144R(3)0.(4)7.2~200Ω6.解(1)蓄水池的容積是6×8=48(m3).(2)增加排水管會(huì)使時(shí)間縮短,將滿池水排空所需的時(shí)間t會(huì)減少.(3)因?yàn)槿莘eV=48m3,所以解析式為t=48Q(4)48Q≤5,Q≥9.6(m3),即每小時(shí)的排水量至少為9.6m3(5)設(shè)最少用xh將滿池水排空,根據(jù)題意,得12x≥48,解得x≥4,即最少用4h可將滿池水全部排空.7.解(1)∵阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂,∴重物的質(zhì)量×OA=秤砣的質(zhì)量×OB.∵OA=2cm,重物的質(zhì)量為xkg,OB的長(zhǎng)為ycm,秤砣的質(zhì)量為0.5kg,∴2x=0.5y,∴y=4x.∵4>0,∴y隨x的增大而增大,又當(dāng)y=0時(shí),x=0;當(dāng)y=48時(shí),x=12,∴當(dāng)0<y<48時(shí),0<x<12.(2)∵阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂,∴秤砣的質(zhì)量×OA=重物的質(zhì)量×OB.∵OA=2cm,重物的質(zhì)量為xkg,OB的長(zhǎng)為ycm,秤砣的質(zhì)量為0.5kg,∴2×0.5=xy,∴y=1x當(dāng)x=0.25時(shí),y=10.當(dāng)x=0.5時(shí),y=10.當(dāng)x=1時(shí),y=1;當(dāng)x=2時(shí),y=12當(dāng)x=4時(shí),y=14故答案為4;2;1;12作出函數(shù)的圖象如下圖.8.解(1)設(shè)材料加熱時(shí),y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式為y=k1x+b(k1≠0),由題意知,當(dāng)x=0時(shí),y=15;當(dāng)x=5時(shí),y=60.代入y=k1x+b,得b解得k所以y=9x+15,x的取值范圍是0≤x≤5.設(shè)停止加熱進(jìn)行操作時(shí),y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=k2x(k2由題意,當(dāng)x=5時(shí),y=60,代入函數(shù)解析式,得60=k2所以k2=300,即進(jìn)行操作時(shí)y與x的函數(shù)解析式為y=300x(x≥5)(2)由題意知,當(dāng)y=15時(shí),由y=300x,得300x=所以x=20,即當(dāng)x=20min時(shí),材料溫度為15℃,由反比例函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)x>20時(shí),y<