第9講分?jǐn)?shù)的大小比較

通分

L知識(shí)梳理T

L分?jǐn)?shù)比大小的6種方法

r分?jǐn)?shù)通分

常用的分母或分子通分比大小

/\-倒數(shù)法比分?jǐn)?shù)大小

一一題型探究一

中間量法比大小

分?jǐn)?shù)的大小比較

■■作差（和）叫法

交叉相乘法比大小

\r約分與通分的區(qū)別

課堂總結(jié)

分?jǐn)?shù)比大小時(shí)注意單位

課后作業(yè)

知識(shí)一、通分

通分的概念：將異分母的分?jǐn)?shù)分別化成與原分?jǐn)?shù)大小相等的同分母的分?jǐn)?shù)，這個(gè)過(guò)程叫做通分.

通分的依據(jù)：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，所以通分后分?jǐn)?shù)值保持不變.

通分的方法：一般先求出幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)，把這個(gè)最小公倍數(shù)作分母，分子擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù).

I1【例1】先找出下面每組分?jǐn)?shù)中分母的最小公倍數(shù)，再通分.

5-71一2514

（1）二和一；(2)：和77；(3)士和上.

6184111215

157118、2556

【答案】（1）18,—,一；(2)44,—，—；(3)60，—，—

181844446060

【解析】

解：（1）6和18是倍數(shù)關(guān)系，所以最小公倍數(shù)是18,

55x315

6-6^3-18?18-18'

(2)4和11互素，所以4和11的最小公倍數(shù)是4x11=44；

1_1x11112_2x4_8

4-4xl「44'n-IBM-44*

(3)12=2x2x3,15=3x5,

所以12和15的最小公倍數(shù)是2x2x3x5=60；

5_5x5_2514_14x4_56

i2-12x5-60,15-15x4-60'

/

舉一反三

337

1.將分;，七通分.最恰當(dāng)?shù)氖?)

,907270180144140

A_________B_________

?120?120’120,240‘240’240

c135108105一453635

?180?180,180?60’60,60

【答案】D

【解析】

解：=3’23'￡7通分,可得4、5、12的最小公倍數(shù)為60,

4512

則分母通分為60.

故選：D.

2.15和57的最小公分母是（）

o12

A.36B.24C.12D.48

【答案】B

【解析】

把8和12分解質(zhì)因數(shù)：

8=2x2x2,

12=2x2x4,

8和12的最小公倍數(shù)是：2x2x2x3=24；

故選：B.

3.把3?5和g7通分得：；3=________;-57_

'9,

…189180196

【答案］———

252252252

【解析】

33x63189

4-4x63-252

5_5x36_180

7-7x36-252

7_7x28_196

9-9x28-252

M林心生<xl89^180^196

故答案為：①*;②*;③)

252252252

知識(shí)二、分?jǐn)?shù)的大小比較

1.同分母分?jǐn)?shù)的大小比較：同分母分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大.

2.同分子分?jǐn)?shù)的大小比較：同分子分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)反而小.

3.異分母分?jǐn)?shù)的大小比較：先通分，把異分母的分?jǐn)?shù)化成同分母的分?jǐn)?shù)，然后再按照同分母分?jǐn)?shù)大小比較

的方法來(lái)進(jìn)行比較.

【例2](1)比較下列同分母分?jǐn)?shù)的大小.

7812_5_

99；1313,

【答案】<>

【解析】

7X

解：因?yàn)?<8,所以

125

因?yàn)?2>5,所以為〉百；

故答案為：<,>.

(2)比較下列同分子分?jǐn)?shù)的大小.

991313

78；12T,

【答案】><

【解析】

991313

—>一；—<—.

78125

故答案為：>；<.

(3)把下列每組中的分?jǐn)?shù)通分，并按從小到大的順序排列.

35力7351

(1)一和一；⑵“，和1

5812

3725_757_702_23635601_匕153

【答案】⑴/；

8-120?12-120?12584-84,7-8456-84674

【解析】

3_3x24_725_5xl5_757_7x10_70

5-5x24-120,8-8xl5-120,五―12乂10—百

因?yàn)槿?35

<衛(wèi)120<正120'所以正（，于

33x216355x12601_1x1414

4-4x21-847-7xl2-846-6X14-84

因?yàn)槭俊钡腷i153

所以:<二<7.

848484674

（4）分?jǐn)?shù)高介于（)

6

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【答案】B

【解析】

解:因?yàn)?與2=斗11=3；2,

633

2

而3<3耳<4,

所以分?jǐn)?shù)與22介于3和4之間，

6

故選B.

153

（5）在彳>士>］中，x可以表示的自然數(shù)有_________.

2x8

【答案】11,12,13

【解析】

153151515

解：_>_>一,R即n一>一>一，

2x8303%40

貝i|30<3x<40,10<x<131,x表示的自然數(shù)有11、12、13.

故答案為11,12,13.

（6）求使《〈熱的最小正整數(shù)a的值是.

【答案】13

【解析】

7a

—<—,

1221

7x21<12tz,

147<12〃,

147^12=12.25,

?0-a最小是13.

故答案為：13.

z舉一反三

77

1.把一條繩子剪成兩段，第一段長(zhǎng)第二段占全長(zhǎng)的那么（）

A.第一段長(zhǎng)B.第二段長(zhǎng)

C.兩段同樣長(zhǎng)D.無(wú)法確定哪一段長(zhǎng)

【答案】B

【解析】

72

解：

7?

因?yàn)?/p>

所以第二段長(zhǎng).

故選：B.

2453531

2.在分?jǐn)?shù)］、—,］、—＞§、比萬(wàn)大的有（）.

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【解析】

比3大的有：j、|；

故選：D.

3.下列各數(shù)中，大于!且小于'的數(shù)是（）

3/

A.—B.—C.—D.—

12131212

【答案】A

【解析】

叼1416

角牛：_=—，-=—

312212

..44567

,—＜一＜一＜一＜—

1312121212

故選：A.

7]ax

4.比較分?jǐn)?shù)由，芫，卷的大小，結(jié)果是（）

71381378

A.—〉—〉—B.—〉—〉—

102015201015

78138137

C.—〈一＜—D.—>—〉—

101520152010

【答案】A

【解析】

2__421339_8__32

而一而‘20-60?15-60

苗生4233993322

因?yàn)橐?gt;—>一,

606060

匚匚…7138

所以一>一>—

102015

故選A.

5?如果土專年且看為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),那么"--------------

【答案】29或31

3幺8

<<

4-9-

36

27烏32

<<

3-6-

36

--

.,.27<a<323,6又a為整數(shù),

；.a=28或29或30或31,

???白為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),

36

；.a=29或31,

故答案為：29或31.

12

6.小明、小青和小強(qiáng)三人打一篇文章，小明用了二小時(shí)，小青用了小時(shí)，小強(qiáng)用了0.2小時(shí)，_______的

6175T

打字速度最快.

【答案】小青

【解析】

解：U小時(shí)'24

一=—小時(shí)，0.2=—小時(shí),

153030

456

—<—<—,

303030

即小青用時(shí)最少，則打字最快.

故答案為：小青.

7.把下面各組數(shù)按從小到大的順序排列.

⑴11、野吟

公、8910

(2)一、一和x一

91011

【答案】⑴［礙礙:8910

(2)—<一<——

91011

【解析】

9111111

(1)因?yàn)樵啤?lt;—,—〈—

2523

寸?91111

所以一<一<一；

252523

⑵。黑

9360

10~400

10360

TT-396

苗生360360360

因?yàn)椤?lt;——<——，

405400396

“28910

所以一<—<—.

91011

知識(shí)三、拓展：用適當(dāng)方法比分?jǐn)?shù)大小

1.運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小有兩種方法：一種是通"分母"，一種是通"分子"如通分

母較為簡(jiǎn)單，而（2）通分子較為簡(jiǎn)單.

2.我們也可以利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來(lái)進(jìn)行大小比較.

3.特殊情況下，可以選擇一個(gè)“論較量”，間接比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小.

4.倒數(shù)比較法

5.作差（和）比較法

6.交叉相乘法

45

【例3】（1）比較分?jǐn)?shù)——和上的大小.

123213

45

【答案】—>—

123213

【分析】分母通分的方法比較大小，計(jì)算較為復(fù)雜，這時(shí)我們可以考慮應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把這些分?jǐn)?shù)

化成分子相同但大小不變的分?jǐn)?shù)來(lái)比較大小，即分子通分法.

4205_20

【解析】——

123

“202045

因?yàn)?-->----,所以--->----.

615852123213

【總結(jié)】分子相同的分?jǐn)?shù)，分母大的分?jǐn)?shù)反而小.

999升9999

（2）比較-----和-----的-大小.

999999999

9999999

【答案】-------<----------

999999999

【分析】對(duì)于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，無(wú)論是通分母還是通分子，都不太簡(jiǎn)便，但這兩個(gè)分?jǐn)?shù)有一個(gè)共同分析

的特點(diǎn)是：分母等于分子的10倍加9,因此采用倒數(shù)比較法，即先比較出他們倒數(shù)的大小，再得出它們

原分?jǐn)?shù)的大小.

【解析】二99二9的倒數(shù)是101——，二99二99的倒數(shù)是10—1

9999111999991111

因?yàn)閕o—L>io19999999

，所以<---------

inTT1T999999999

【總結(jié)】用倒數(shù)比較法時(shí)，倒數(shù)越大，原分?jǐn)?shù)越小;倒數(shù)越小，原分?jǐn)?shù)越大.

4149力44149

（3）比較-----和------的大小.

415144151

4149(44149

【答案】

415144151

【分析】它可以運(yùn)用例3（2）的倒數(shù)比較法來(lái)比較大小，除此之外我們可以觀察這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的特分析

征：這兩個(gè)分?jǐn)?shù)都接近整數(shù)1,因而我們可以用作差（和）比較法，即把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)1減去（加

上）一個(gè)分?jǐn)?shù)的形式，然后再比較它們各自減去（加上）的這個(gè)分?jǐn)?shù)的大小.如果減去（加上）的這個(gè)分

數(shù)大，那么原來(lái)的分?jǐn)?shù)就?。ù螅?/p>

4149,244149,2

【解析】-------=1---------,----------=1------------

415141514415144151

4

因?yàn)榉剿?149<44149

415144151

【總結(jié)】用作差（和）比較法時(shí)，這些分?jǐn)?shù)必須具備能改寫成整數(shù)減去（加上）一個(gè)分?jǐn)?shù)的形式.

（4）我們可以用下面的方法比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。ń徊嫦喑朔ǎ悍謩e用每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子去乘另一個(gè)

分?jǐn)?shù)的分母，哪個(gè)分子乘得的積大.這個(gè)分?jǐn)?shù)就大.比如：比較已2與3的大小.因?yàn)?x5<3xl3,所以

點(diǎn)2〈日3.請(qǐng)用這種方法比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小：

3453

22------------------33；49-------------------48'

【答案】>>>.

【解析】

(1)V3x33>4x22

.3、巴

"2233

V5x48>3x49

"4948

故答案為：>,>;

⑸比較行和藍(lán)的大小.

2220

【答案】—〈—

4539

■切卡、苗生二匚

【解析】因?yàn)椤?2<一1，——20>一1，所以z——22<——20.

4523924539

夕

舉一反三

1.比較下面每組中幾個(gè)分?jǐn)?shù)的大小.

,、20192020

(1)”w與U.⑵L2與11(3)------與fc------

235171957f9111120202021

151210，、7911，、20192020

【答案】(1)--->---->----;(2)—<—<;(3)-------<-------

231917719111120202021

【解析】(1)三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母互素且較大，通分較繁，而三個(gè)分子的最小公倍數(shù)是60,故化成同分子分

數(shù)比較簡(jiǎn)單.

156010601260「生606060,151210

23921710219959295102231917

(2)分母互素，分子也互素，所以通分或化成同分子都比較繁.注意到分母都是分子的10倍多，所以可

以先求各分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，倒數(shù)大的原分?jǐn)?shù)小，倒數(shù)小的原分?jǐn)?shù)大.

77119911111111

—的倒數(shù)是-=10-,—的倒數(shù)是-=10-,—的倒數(shù)是—=10—.

717791991111111

1117911

因?yàn)?0—>10—>10—,所以一<一<——;

79117191111

(3)各分?jǐn)?shù)都比1略小，可以求各分?jǐn)?shù)與1的差，哪個(gè)分?jǐn)?shù)更接近1,哪個(gè)分?jǐn)?shù)就大.

2019_1]2020_1

―2020—2020'2021-2021

11叱220192020

因?yàn)?gt;-----,所以------<------

2020202120202021

■課堂落結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)通分；

(2)分?jǐn)?shù)比較大小的常用方法；

(3)分?jǐn)?shù)比較大小的幾種拓展方法.

2.總結(jié)：

(1)約分與通分的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)：

相同點(diǎn)：都是依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，都要保持分?jǐn)?shù)的大小不變.

不同點(diǎn)：約分只對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行，而通分至少對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行；約分是分子和分母同時(shí)除以一個(gè)不等于零

的數(shù)，而通分則是分子、分母同時(shí)乘以一個(gè)不等于零的數(shù);約分的結(jié)果是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，通分的結(jié)果是同分母分

數(shù).

(2)在異分母、分子的分?jǐn)?shù)比較中，如果公分母較大，而分?jǐn)?shù)的分子較小時(shí)，可化成分子相同的分?jǐn)?shù)進(jìn)

行比較.

(3)比較分?jǐn)?shù)大小時(shí)，注意單位問(wèn)題，如：!與工機(jī)

33

課后作業(yè)

215

1.下面各數(shù)中，不可以作為;，!和5這三個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母的是().

346

A.6B.12C.24D.36

【答案】A

【解析】

；3、4、6的最小公倍數(shù)為：12

.,.12,24、36是3、4、6的倍數(shù)，可作為三個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母

不是3、4、6的倍數(shù)

，6不是三個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母

故選：A.

2.如圖，用紙板蓋住甲、乙兩根木條的一端，根據(jù)露出的部分推斷兩根木條的長(zhǎng)度情況為(

A.甲長(zhǎng)B.乙長(zhǎng)C.一樣長(zhǎng)D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】

解：設(shè)甲、乙兩木條露出的部分的長(zhǎng)都為a,

則甲木條的長(zhǎng)為a+；=4a

乙木條的長(zhǎng)為a：；=3a

V4a>3a

故甲長(zhǎng)

故選A.

3.大于J而小于。的分?jǐn)?shù)有（）

66

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】D

【解析】

V任意兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間都有無(wú)數(shù)個(gè)其他分?jǐn)?shù).

...選D

2

4.若a,b都不為零，如果ax^=bx2,那么a與b的大小關(guān)系為（）

5.

7

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

【答案】B

【解析】

解：設(shè)它們的積為1,

..a.1,廠5,

b=K-=-,

72

..57

.5<<5'

.*.a<b,

故選B.

7251

5-在“二、%、I這四個(gè)分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)單位最小的一個(gè)是（)

7°25J_

A.—B.—C.D.

9564

【答案】A

【解析】

A、￡7的分?jǐn)?shù)單位是1

B、12■的分?jǐn)?shù)單位是1

C、，的分?jǐn)?shù)單位是，，

66

D、1的分?jǐn)?shù)單位是

44

因L為d：1111

9654

所以：分?jǐn)?shù)單位最小的分?jǐn)?shù)是7:，

故選：A.

6.下面各分?jǐn)?shù)中最接近1的數(shù)是（)

人2「8J_89

A.-B.-C.D.

39290

【答案】D

【解析】

2608_80J__45［竺

3-9059-90?2~90,~90

喘89最接近90黑即《89最接近1

故選D.

7.在分?jǐn)?shù)上，15922575中，與生相等的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)共有（

，一_，-7'')

42012410010024

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】

E1153933251753

解：：，——

4204124410041004

..18_3

?24-4

???與導(dǎo)io目等的分?jǐn)?shù)有15/9“3前7S共4個(gè)

故選：D.

75

8.在學(xué)校組織的魔方比賽中，小杰小孫和小蘭分別用了（分鐘、1分鐘、L3分鐘將魔方復(fù)原，根據(jù)比賽

規(guī)則用時(shí)最短者獲勝，那么獲得冠軍的應(yīng)該是（）

A.小杰B.小孫C.小蘭D.無(wú)法確定

【答案】C

【解析】

解：由于（7分鐘=1.4分鐘，15分鐘。L7分鐘，

又1.7分鐘＞1.4分鐘＜1.3分鐘.

即15分鐘＞（7分鐘＞1.3分鐘.

所以小蘭用時(shí)最短，則小蘭獲得冠軍.

故選：C.

9.若:則式中a最多可能表示（）個(gè)不同的自然數(shù)

3186

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

1_6515

3-18,6-18

6＜tz+4＜15

；.a可以有8個(gè)不同的值

故選B.

10.寫出一個(gè)比3大，且比|■小的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：.

【答案】A（答案不唯一）

【解析】

力1628

角牛：~=7Z?T=77?

212312

父

蔡6（7高＜3且高7為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).

J.乙JL,乙V乙_L乙

7

故答案為：—.

11.按從大到小的順序排列以下各數(shù):

1551

----

、

、

o8'9、9?

>>>

一

5511

臻

算

L桂]-

89-9-

10

蟀

析

L斤]

?58%

.5=5，

一85

.>>

?9--

V9=9,5>1,

?9>!

"99,

Vl=l,9<10,

11

>-

9-W

5511

>>>-

8-9-9-W

故答案為:I;|:5.

12.若［3<%<5=，且工是分母為48的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，則工二

46

【答案】R37

48

【解析】

々刀33x123655x840

?「4x12-48'6-6x8-48

35

不是分母為48的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，

46

□n3640

4848

QQQQ47

而W、興都不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，.是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)

484848

.37

..x=一

48

37

故答案為：—.

48

13.若2:<T￡YI，則正整數(shù)加的最小值是

【答案】4

【解析】

2_2x5_10m_mx3_3m

3-3^5-15，y-5x3~~L5

..2m

?一<—

35

3/77>10,符合此不等關(guān)系的正整數(shù)加的最小值是4

故答案為:4.

寫出一個(gè)比:大‘比:小且分母為48的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).——

13

【答案】麗

【解析】

￡_12￡_16

4-48，3-48,

1113

所以一個(gè)比:大，比:小且分母為48的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是弓.

4348

13

故答案為：-

)06907one

15.如果。=黑,6=兼，c=黑，則內(nèi)6、c按從小到大排列順序?yàn)?/p>

207208209

【答案】a<b<c

【解析】

a=l--—,b=l--—,c=l--—

207208209

-----〉------>------

207208209

:.a<b<c

故答案為：a<b<c.

16.試比較—和密2，哪個(gè)分?jǐn)?shù)大？

1111111

【答案】-----<-------

111111111

【解析】

看的倒數(shù)是富

=10—=10+—

111111

1111。。+,

的倒數(shù)是3)141

11111111111111111

11

因?yàn)?---->-------

1111111

111111111

所以:〉

1111111

inmi

所以:—<------

111111111

17.先通分，再比較大小.

2*3

一和一；

37

232315

【答案】1>|；—<—；一<—

1113612

【解析】

21439

解:

321721

14923

因?yàn)槲?gt;五’所以了于

226333

1114313143

因常143，所以巳2<±3；

1113

￡225

因?yàn)樗?/p>

612

517

18.寫出數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的分?jǐn)?shù)，并在數(shù)軸上畫出?和?所表示的點(diǎn)，分別用點(diǎn)C、點(diǎn)D表示,

OO

最后將這些數(shù)用“V”連接點(diǎn)A表示的分?jǐn)?shù)為:點(diǎn)B表示的分?jǐn)?shù)為：

AB

II工II1]11I1]III1]

012

【答案】；，!；圖見解析，:

484888

【解析】

如圖所示：

/C

-4

LI

O11

1521

48

點(diǎn)A表示的分?jǐn)?shù)為：點(diǎn)B表示的分?jǐn)?shù)為：

48

將A、B、C、D表示的數(shù)用“〈”連接為：!<：<?<?.

4888

故答案為:，?；圖見解析；7<1<V<V-

484888

19.一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母相差3.如果分子、分母同時(shí)加上13后可化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)求原分?jǐn)?shù).

【答案】）I

O

【解析】設(shè)分子為X,則分母為X+3

x+136

結(jié)合題意得:

x+3+13-7

7（x+13）=6（x+16）

??x-5

???原分?jǐn)?shù)為：j.

o

20.王師傅6小時(shí)加工35個(gè)零件，李師傅7小時(shí)加工46個(gè)同樣的零件，他倆誰(shuí)的工作效率高？（寫出比

較過(guò)程）

【答案】李師傅工作效率高，比較