高考第十九題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像開(kāi)口向上，且其頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.$a>0$，$b>0$，$c>0$

B.$a>0$，$b<0$，$c>0$

C.$a<0$，$b>0$，$c>0$

D.$a<0$，$b<0$，$c>0$

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=3$，$a_4=9$，則$a_7$的值為：

A.$12$

B.$15$

C.$18$

D.$21$

3.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，則$f(x)$的奇偶性為：

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

D.無(wú)法確定

4.若不等式$2x-3<5$的解集為$x<\frac{8}{2}$，則下列選項(xiàng)中正確的是：

A.$x<4$

B.$x\geq4$

C.$x>4$

D.$x\leq4$

5.已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點(diǎn)$A(2,0)$在圓上，則圓$O$的半徑為：

A.$2$

B.$\sqrt{2}$

C.$1$

D.$\sqrt{3}$

6.若復(fù)數(shù)$z=a+bi$（$a,b\inR$）滿(mǎn)足$|z-2i|=|z+2|$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡為：

A.線段

B.圓

C.雙曲線

D.焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓

7.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，則$f(-1)$的值為：

A.$0$

B.$1$

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{3}$

8.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=1$，$a_4=16$，則$q$的值為：

A.$2$

B.$\frac{1}{2}$

C.$4$

D.$\frac{1}{4}$

9.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為$4$，則$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最小值為：

A.$0$

B.$-1$

C.$-4$

D.$1$

10.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x+1}$，則$f(x)$的值域?yàn)椋?/p>

A.$(-1,1)$

B.$[0,1)$

C.$[1,+\infty)$

D.$(-\infty,0)$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列關(guān)于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的說(shuō)法中，正確的是：

A.若$a>0$，則方程的圖像開(kāi)口向上

B.若$b^2-4ac>0$，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.若$b^2-4ac=0$，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D.若$b^2-4ac<0$，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

2.下列關(guān)于三角函數(shù)的說(shuō)法中，正確的是：

A.正弦函數(shù)的值域?yàn)?[-1,1]$

B.余弦函數(shù)的值域?yàn)?[-1,1]$

C.正切函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,+\infty)$

D.余切函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,+\infty)$

3.下列關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法中，正確的是：

A.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$

B.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$

C.等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

D.等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$）

4.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法中，正確的是：

A.復(fù)數(shù)可以表示為實(shí)部和虛部的和

B.復(fù)數(shù)的模可以表示為$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，其中$a$和$b$分別是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部

C.復(fù)數(shù)的乘法可以表示為$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

D.復(fù)數(shù)的除法可以表示為$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$（$c\neq0$）

5.下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法中，正確的是：

A.函數(shù)的定義域是指函數(shù)可以取到的所有輸入值的集合

B.函數(shù)的值域是指函數(shù)可以取到的所有輸出值的集合

C.函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，隨著自變量的增加而函數(shù)值也增加或減少的性質(zhì)

D.函數(shù)的周期性是指函數(shù)在其定義域內(nèi)，存在一個(gè)非零常數(shù)$T$，使得對(duì)于所有的$x$，都有$f(x+T)=f(x)$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，則$f(1)=______$。

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)為$2$，公差為$3$，則第$10$項(xiàng)$a_{10}=$______。

3.若復(fù)數(shù)$z=3+4i$的模為$5$，則$z$的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_____。

4.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$的定義域?yàn)開(kāi)_____。

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}

\]

2.解一元二次方程：

\[

2x^2-5x+3=0

\]

3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

\[

f(x)=e^x\sinx

\]

4.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=3$，$a_4=48$，求該數(shù)列的公比$q$和前$10$項(xiàng)和$S_{10}$。

5.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求$f'(x)$，并求$f'(1)$。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.B.$a>0$，$b<0$，$c>0$（知識(shí)點(diǎn)：一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)）

2.C.$a_7=18$（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

3.A.奇函數(shù)（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性）

4.A.$x<4$（知識(shí)點(diǎn)：一元一次不等式的解法）

5.A.$2$（知識(shí)點(diǎn)：圓的定義和性質(zhì)）

6.C.雙曲線（知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義）

7.B.$1$（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的值）

8.A.$q=2$（知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）

9.A.$0$（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的最大值和最小值）

10.A.$(-1,1)$（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的值域）

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.B,C,D（知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的根的性質(zhì)）

2.A,B,C（知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的定義和性質(zhì)）

3.A,B,C,D（知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的定義和性質(zhì)）

4.A,B,C,D（知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)）

5.A,B,C,D（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和周期性）

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.$f(1)=2(1)^3-3(1)^2+4(1)-1=2-3+4-1=2$（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的值）

2.$a_{10}=2+3(10-1)=2+3(9)=2+27=29$（知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

3.$z$的共軛復(fù)數(shù)為$3-4i$（知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的共軛）

4.定義域?yàn)?\{x|x\neq-1\}$（知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義域）

5.對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為$(3,2)$（知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)）

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\cdot\frac{\sinx+x}{\sinx+x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{x^3(\sinx+x)}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2x}{x^3(\sinx+x)}=\lim_{x\to0}\frac{1-(1-2\sin^2\frac{x}{2})}{x^3(\sinx+x)}=\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^3(\sinx+x)}=\lim_{x\to0}\frac{2\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2}{x^3(\sinx+x)}=\lim_{x\to0}\frac{2\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2}{x^3}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\sinx+x}=\frac{2}{0}\cdot\frac{1}{2}=\infty

\]

（知識(shí)點(diǎn)：極限的計(jì)算）

2.解一元二次方程：

\[

2x^2-5x+3=0\Rightarrow(2x-3)(x-1)=0\Rightarrowx=\frac{3}{2}\text{或}x=1

\]

（知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的解法）

3.求導(dǎo)數(shù)：

\[

f'(x)=\fracz3jilz61osys{dx}(e^x\sinx)=e^x\cosx+e^x\sinx=e^x(\sinx+\cosx)

\]

（知識(shí)點(diǎn)：乘積法則和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

4.求等比數(shù)列的公比$q$和前$10$項(xiàng)和$S_{10}$：

\[

q=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}=\sqrt[3]{\frac{48}{3}}=2\RightarrowS_{10}=\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{3(1-2^{10})}{1-2}=3(2^{10}-1)=3(1024-1)=3071

\]

（知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前$n$項(xiàng)和公式）

5.求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$和$f'(1)$：

\[

f'(x)=\fracz3jilz61osys{dx}\left(\frac{x^2}{x-1}\right)=\frac{(x-1)\cdot2x-x^2\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2