廣東二模試題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，則函數(shù)的極值點(diǎn)為：

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=\frac{1}{2}$

D.$x=\frac{1}{3}$

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公差為$3$，則第$10$項(xiàng)的值為：

A.$31$

B.$32$

C.$33$

D.$34$

3.已知圓的方程$x^2+y^2=4$，則該圓的半徑為：

A.$2$

B.$1$

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{3}$

4.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為：

A.$5$

B.$7$

C.$9$

D.$11$

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(2)$的值為：

A.$-\frac{1}{4}$

B.$-\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

6.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$2$，公比為$\frac{1}{2}$，則第$5$項(xiàng)的值為：

A.$2$

B.$1$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

7.已知直線$2x+3y-6=0$與直線$x-2y+4=0$的交點(diǎn)為$(a,b)$，則$a+b$的值為：

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.$5$

8.若復(fù)數(shù)$z=3+4i$，則$|z|$的值為：

A.$5$

B.$7$

C.$9$

D.$11$

9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f''(1)$的值為：

A.$2$

B.$4$

C.$6$

D.$8$

10.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$-1$，公差為$2$，則第$6$項(xiàng)的值為：

A.$9$

B.$11$

C.$13$

D.$15$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\cosx$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.下列數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？

A.$a_n=3n-2$

B.$a_n=2^n$

C.$a_n=\frac{1}{n}$

D.$a_n=n^2+1$

3.下列幾何圖形中，哪些圖形的面積可以用公式$S=\pir^2$計(jì)算？

A.正方形

B.圓形

C.等邊三角形

D.長方形

4.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法中，正確的是：

A.導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率

B.函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)必連續(xù)

C.可導(dǎo)的函數(shù)一定可微

D.可微的函數(shù)一定可導(dǎo)

5.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法中，正確的是：

A.復(fù)數(shù)可以表示為實(shí)部和虛部的和

B.復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)與原點(diǎn)的距離

C.復(fù)數(shù)的共軛表示實(shí)部不變，虛部取相反數(shù)

D.復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2+2n$，則該數(shù)列的首項(xiàng)為______，公差為______。

3.圓$x^2+y^2=16$的周長為______。

4.向量$\vec{a}=(2,3)$與向量$\vec=(4,-1)$的夾角余弦值為______。

5.復(fù)數(shù)$z=3-4i$的模為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算下列極限：

\[

\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right)^{\frac{1}{x}}

\]

2.解下列不定積分：

\[

\int\frac{x^2+3x+2}{x^2+4}\,dx

\]

3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f'(x)$，并計(jì)算$f'(-1)$和$f'(2)$。

4.求下列方程的解：

\[

2x^3-3x^2-12x+9=0

\]

5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=\frac{3^n-1}{2}$，求該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1$和公比$q$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點(diǎn)詳解

1.D（知識點(diǎn)：函數(shù)的極值點(diǎn)）

2.A（知識點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

3.A（知識點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）

4.B（知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積）

5.C（知識點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

6.C（知識點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）

7.C（知識點(diǎn)：兩直線的交點(diǎn)）

8.A（知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模）

9.C（知識點(diǎn)：函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）

10.C（知識點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式）

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識點(diǎn)詳解

1.AC（知識點(diǎn)：奇函數(shù)的定義）

2.AC（知識點(diǎn)：等差數(shù)列的定義）

3.B（知識點(diǎn)：圓的面積公式）

4.ACD（知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)）

5.ABCD（知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)）

三、填空題答案及知識點(diǎn)詳解

1.(2,0)（知識點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式）

2.首項(xiàng)為1，公差為2（知識點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式）

3.16π（知識點(diǎn)：圓的周長公式）

4.$\frac{5}{\sqrt{29}}$（知識點(diǎn)：向量的夾角余弦值）

5.5（知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模）

四、計(jì)算題答案及知識點(diǎn)詳解

1.解：設(shè)$u=\frac{3x+2}{2x-1}$，則$\lim_{x\to\infty}u^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{2x-1}\right)^{\frac{1}{x}}$。由極限的運(yùn)算法則，可得$\lim_{x\to\infty}u^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to\infty}\frac{5}{2x-1}\cdot\frac{1}{x}}=e^0=1$。

知識點(diǎn)：極限的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的極限

2.解：$\int\frac{x^2+3x+2}{x^2+4}\,dx=\int\left(1+\frac{3x+2}{x^2+4}\right)\,dx=\int1\,dx+\int\frac{3x+2}{x^2+4}\,dx$。

對于$\int\frac{3x+2}{x^2+4}\,dx$，令$u=x^2+4$，則$du=2x\,dx$，$dx=\frac{du}{2x}$，代入原積分得$\frac{3}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{3}{2}\ln|u|+C=\frac{3}{2}\ln|x^2+4|+C$。

知識點(diǎn)：不定積分、換元積分法

3.解：$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f'(-1)=3(-1)^2-12(-1)+9=24$，$f'(2)=3(2)^2-12(2)+9=-3$。

知識點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

4.解：設(shè)$x_1,x_2,x_3$是方程的解，則根據(jù)韋達(dá)定理，$x_1+x_2+x_3=3$，$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-12$，$x_1x_2x_3=9$。通過解方程組或試錯(cuò)法找到$x_1=3,x_2=-1,x_3=-1$。

知識點(diǎn)：韋達(dá)定理、方程的解

5.解：由$S_n=\frac{3^n-1}{2}$，當(dāng)$n=1$時(shí)，$S_1=\frac{3^1-1}{2}=1$，所以$a_1=1$。對于$n\geq2$，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{3^n-1}{2}-\frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^n-3^{n-1}}{2}=3^{n-1}$。因此，公比$q=3$。