指數(shù)函數(shù)

概念：一般地，函數(shù)y=a^x（a>0,且a#l）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)

的定義域是R。

注意：L指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。

2.指數(shù)函數(shù)的定義儀是形式定義。

指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：

規(guī)律：1.當(dāng)兩個指數(shù)

函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關(guān)于/軸對稱,但這兩個函數(shù)都不具有

奇偶性。

2.當(dāng)a>l時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸：

當(dāng)OVaVl時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸。

在y軸右邊“底天圖高;在y軸左邊“底大窗低

3.四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a>l時，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)OVaVl時,

圖像在R上是減函數(shù)。

4.指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

比較幕式大小的方法：

1.當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；

2.當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時要注意分類討論；

3.當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量進(jìn)行比較：

4.對多個數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1作為中間量進(jìn)行比較

底數(shù)的平移：

在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移.

在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。

對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)函數(shù)的概念

由于指數(shù)函數(shù)戶ax在定義域(-8,+8)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，

我們把指數(shù)函數(shù)丫=2%2>0,aWl)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=logaX(a>0,a^l).

因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為(-8,+oo),值域為(O,+oo),所以對數(shù)函數(shù)y=]ogax的

定義域為(0，+8),值域為(-8,+OO).

2.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫

出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).

為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a#l)的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)

W1)的圖像的特征和性質(zhì).見卜表.

a>la<l

”-7

X=1i

圖y

y=logaX{cl>l)

(10)

X'，'___________?

X?

oX.x

U

象(lfo)X

y=logax(0<a<l)

(l)x>0

性(2)當(dāng)x=l時,y=0

質(zhì)(3)當(dāng)x>l時，y>0(3)當(dāng)x>l時,y<0

OVxVl時，y<0OVxVl時，y>0

(4)在(0,+8)上是增函數(shù)(4)在(0,+8)上星減函數(shù)

補設(shè)yi=logaXy2=logbx其中a>l,b>l(或OVaVI0<b<l)

充當(dāng)x>l時“底大圖低”即若a>b則y>y2

性當(dāng)OVxVl時“底大圖高”即若a>b,則y>y2

質(zhì)

比較對數(shù)大小的常用方法有:

⑴若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.

⑵若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論.

（3）若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.

⑷若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.

3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比

名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

x

一般形式y(tǒng)=a(a>0,aWl)y=logax(a>0,aWl)

定義域(-8,4-00)(0,+8)

值域(0,+00)(-8,+°°)

當(dāng)a>l時，當(dāng)a>l時

函>l(x>0)>O(x>l)

1

數(shù)a<=l(x=0)Ioga=O(x=l)

<l(x<0)<O(x<l)

值

當(dāng)0<aVl時、當(dāng)0<aVl時，

變

[<iu>o)<O(x>l)

化

ax<=](x=0)log.=O(x=l)

情>l(x<0)>0(x<1)

況

單調(diào)性當(dāng)a>1時，a'是增函數(shù)；當(dāng)a>l時，logaX是增函數(shù)；

當(dāng)OVaVl時，ax是減函數(shù).當(dāng)OVaVl時，logaX是減函數(shù).

x

圖像y=a的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y二x對稱.

幕函數(shù)

事函數(shù)的圖像與性質(zhì)

幕函數(shù)），=乂隨著〃的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分

類記憶的方法.熟練掌握），=/,當(dāng)〃=±2,±1,±',1,3的圖像和性質(zhì)，列表如下.

23

從中可以歸納出以下結(jié)論：

①它們都過點（1,1）,除原點外，任何存函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何事函

數(shù)圖像都不過第四象限.

=g,：,1,2,3時?，幕函數(shù)圖像過原點且在［0,+8）上是增函數(shù).

②a

時，鼎函數(shù)圖像不過原點且在（0,+8）上是減函數(shù).

④任何兩個幕函數(shù)最多有三個公共點.

1

y=.一V=Xy=/.v=k

定義域RRR{x|x>0}{x|xwO}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限的增減在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減

暴函數(shù)）'=/（X￡R,。是常數(shù)）的圖像在第

一象限的分布規(guī)律是：

①所有累函數(shù)＞二x"（X￡R,°是常數(shù)）的圖

像都過點（U）；

a=1,2,3,—_a

②當(dāng)2時函數(shù)y=x的圖像都過原

點（°，°）；

③當(dāng)。=1時，）'=/的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如C’2）；

④當(dāng)a=2,3時，）'='的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如J）

1

Ct——_a

⑤當(dāng)2時，”的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如Q）

⑥當(dāng)a=-l時，）'二/的的圖像不過原點（°，°）,且在第一象限是“下滑”曲線（如S）

當(dāng)a＞o時，基函數(shù)）'二?/有下列性質(zhì)：

（1）圖象都通過點（a°），（u）：

（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；

（3）在第一象限內(nèi)，時，圖象是向下凸的；（）＜。＜1時，圖象是向上凸的；

（4）在第一象限內(nèi)，過點（U）后，圖象向右上方無限伸展。

當(dāng)。＜。時:暴函數(shù)）'=/有下列性質(zhì)：

（1）圖象都通過點（11）；

（2）在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的：

（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與）'軸無限地接近；向右無限地與工軸無限地接近；

（4）在第一象限內(nèi)，過點（U）后，越大，圖象下落的速度越快。

無論。取任何實數(shù)，幕函數(shù)）'二丁的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)

過第四象限。

對號函數(shù)

b

函數(shù)>=4X+—(a>0,b>0)叫做對號函數(shù)，因其在(()，+8)的圖象似符號“J”

而得名，利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng)x>0時，ax+->2j-(當(dāng)且僅當(dāng)

%\ax

即尤時取等號)，由此可得函數(shù)y=+2(a>O,b>O,x^R+)的性質(zhì):

Vax

當(dāng)X=心時,函數(shù)y=ax+2（a>O,b>O,x￡R，）有最小值2.1—,特別地，當(dāng)a=b=1

\a'xVa

時函數(shù)有最小值2。函數(shù))'=ax+^(a>0,b>0)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)，在區(qū)間(b

xa

+8)上是增函數(shù)。

因為函數(shù)y=+2(a>0,b>0)是奇函數(shù)，所以可得函數(shù))=以+2(a>O.b>O,xER)

XX

的性質(zhì):

bJL

當(dāng)工二時，函數(shù)y=ax+—(a>O,b>O,x￡Rl有最大值-2、，一，特別地，當(dāng)a=b=l

X

時函數(shù)有最大值-2。函數(shù)y=ax+2(a>0,b>0)在區(qū)間)上是增函數(shù)，在區(qū)

xVa

間(-^―?0)上是減函

奇函數(shù)和偶函數(shù)

(1)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X值，都有f(一x)=-(x).那么就稱f(x)為奇

函數(shù).

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X值，都有f(-x)=f(x),那么就稱f(x)為偶函數(shù).說

明：(1)由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，只有當(dāng)f(x)的定義域是關(guān)十原點成對稱的若十區(qū)同時，

才有可能是奇

(2)判斷是不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的.為了便于判斷

有時可采取如下辦法：計算f(x)+f(-x),視其結(jié)果而說明是否是奇函數(shù).用這個方法判斷此

函數(shù)較為方便：f(x)

(3)判斷函數(shù)的奇偶性時，還應(yīng)注意是否對定義域內(nèi)的任何x值，當(dāng)>^M0時?，顯然有f(一

x)=-f(x),但當(dāng)x=0時,f(—x)=f(x尸1,???f(x)為非奇非偶函數(shù).

(4)奇函數(shù)的圖象特征是關(guān)于坐標(biāo)原點為對稱的中心對稱圖形：偶函數(shù)的圖象特征是關(guān)于

y軸為對稱軸的對稱圖形.

(5)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用時，尤其要注意由它們的定義出發(fā)來進(jìn)行論證.例

如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(0,+8)上是增函數(shù)，試判斷在(一8,0)上的增減性.

解設(shè)xl,x2e(-oo,0),且xlVx2V0

則有一xl>-x2>0,

???f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

.?.f(-xl)>f(-x2)

又YRx)是奇函數(shù)，.?.f(x)=一f(x)對任意x成立，

.,.=-f(xl)>-f(x2)

/.f(xl)<f(x2).

???￡仁)在(一8,0)上也為增函數(shù).

由此可得出結(jié)論：一個奇函數(shù)若在(0,+8)上是增函數(shù)，則在(一8,0)上也必是增函

數(shù)，即奇函數(shù)在(0,+8)上與(一8,0)上的奇偶性相同.

類似地可以證明，偶函數(shù)在(0,+8)和(-8,0)上的奇偶性恰好相反.

時，f(x)的解析式

解Vx<0,A-x>0.

又???f(x)是奇函數(shù)，；?f(一x尸一f(x).

........桐茵藪囪篆前麻程芭樂產(chǎn)茸應(yīng)聲........

我們知道，如果對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有

f(-x)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù).偶函