專題3.1函數(shù)的概念及其表示-重難點題型精講1．函數(shù)的概念(1)一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應.

④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關系就不一定是函數(shù)關系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對應關系：對應關系f是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．3．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).4．區(qū)間的概念設a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：

(1)滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；

(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].

這里的實數(shù)a與b都叫做相應區(qū)間的端點.5．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.6．抽象函數(shù)與復合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域為A，函數(shù)t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當CA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型1對函數(shù)概念的理解】【方法點撥】定義法：對于給定的對應關系，判斷是否滿足函數(shù)的概念，即可判斷對應關系是否是函數(shù).【例1】（2021秋?海安市校級月考）下列對應中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函數(shù)的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【變式1-1】（2022春?興慶區(qū)校級期末）設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【變式1-2】（2021秋?賓縣校級月考）下列集合A、B及其對應法則不能構成函數(shù)的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【變式1-3】（2021春?九龍坡區(qū)期末）設A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【題型2同一函數(shù)的判斷】【方法點撥】對于給定的兩個函數(shù)，分析兩函數(shù)的定義域、對應關系是否相同，即可判斷兩函數(shù)是否是同一函數(shù)．【例2】（2022?民勤縣校級開學）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2-1xD．y1=【變式2-1】（2022?河東區(qū)模擬）下列函數(shù)與f（x）＝x+1是同一個函數(shù)的是（）A．g(x)=3xC．g(x)=x2+1 D．g【變式2-2】（2021秋?黑龍江期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【變式2-3】（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（xC．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝【題型3函數(shù)的定義域問題】【方法點撥】(1)根據(jù)解析式有意義的條件，列出關于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區(qū)間的形式.(2)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)，結合解析式有意義的條件，列出關于參數(shù)的關系式，即可得解.【例3】（2022秋?開福區(qū)校級月考）函數(shù)f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【變式3-1】（2022秋?宛城區(qū)校級月考）若函數(shù)f（x+1）的定義域為[﹣1，15]，則函數(shù)g(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【變式3-2】（2022春?疏勒縣校級期末）函數(shù)y=x-A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【變式3-3】（2022春?閻良區(qū)校級期末）若函數(shù)f(x)=axA．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【題型4函數(shù)的值域問題】【方法點撥】(1)已知函數(shù)解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數(shù)的定義域，在由函數(shù)解析式求解；(2)已知函數(shù)值域求參數(shù)問題時，將給出的值域轉化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數(shù)的值或取值范圍.【例4】（2022春?定南縣校級月考）函數(shù)y=2A．(-∞，-158] B．(-∞，-15【變式4-1】（2021秋?寧鄉(xiāng)市期末）下列函數(shù)中，值域為（0，+∞）的是（）A．y=x2-2x+1 B．y=x+2x+1C．y=1x2+2x+1（x∈N【變式4-2】（2022春?水富市校級期中）若函數(shù)f(x)=x-2+m在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]（A．(14，4] B．[14，4]【變式4-3】（2022春?天河區(qū)校級期中）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)f(x)=12x2-3xA．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【方法點撥】(1)已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，將自變量代入解析式，求解即可．(2)由函數(shù)解析式，求對應函數(shù)值的自變量的值（或解析式中的參數(shù)值），只需將函數(shù)值代入解析式，建立關于自變量（或參數(shù)）的方程即可求解.【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f(x)={A．52 B．32 C．12 【變式5-1】（2022春?祥云縣期末）已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(xA．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【變式5-2】（2021秋?凌河區(qū)校級期末）設函數(shù)f(x)=12x-1(xA．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【變式5-3】（2021秋?庫爾勒市校級期末）已知函數(shù)f（x）=x，(x≥0)x2A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【題型6函數(shù)的表示法】【方法點撥】根據(jù)函數(shù)的三種表示方法的特點，具體問題具體分析，用適合的表示法表示出函數(shù)關系.【例6】（2021?青島模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程S與時間t的函數(shù)關系如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達終點【變式6-1】（2021秋?城關區(qū)校級期中）給出函數(shù)f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域為（）x1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能【變式6-2】（2021秋?欽州月考）一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x∈N）的變化關系如表所示，要使總利潤達到最大值，則該客車的營運年