第7章自然景物模擬玉芬性藝術(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅2什么是分形？（1/21）著名理論物理學(xué)家約翰·惠勒(J.Wheeler)說過：在過去，一個人如果不懂得熵是怎么回事，就不能說是科學(xué)上有教養(yǎng)的人；在將來，一個人如果不能同樣熟悉分形，他就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅3什么是分形？（2/21）非線性科學(xué)(nonlinearscience)中最重要的三個概念混沌(chaos,也譯作“渾沌”)分形(Fractal)孤子(soliton，也稱“孤波”(solitarywave))分形理論是非線性科學(xué)研究領(lǐng)域中一個十分活躍的分支本質(zhì)是一種新的世界觀和方法論揭示了有序與無序的統(tǒng)一，確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一被認(rèn)為是科學(xué)領(lǐng)域中繼相對論、量子力學(xué)之后，人類認(rèn)識和改造世界的最富有創(chuàng)造性的第三次革命哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅4第一個分形例子由文藝復(fù)興時期德國著名畫家丟勒(AlbertDurer，1471-1528)

(“杜勒”)給出什么是分形？（3/21）D=log5/log(3+SQRT(5)/2)=1.672藝術(shù)創(chuàng)作特點：精細(xì)，講究科學(xué)和數(shù)學(xué)與其父精于金銀細(xì)工有關(guān)與文藝復(fù)興時期重視自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的時代風(fēng)氣也有關(guān)丟勒正五邊形分形哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅5什么是分形？（4/21）1827年，英國植物學(xué)家R.Brown（1773-1858）用顯微鏡發(fā)現(xiàn)微細(xì)顆粒在液體中作無規(guī)則行走，此現(xiàn)象被稱為布朗運(yùn)動。后來科學(xué)家對布朗運(yùn)動進(jìn)行了多方面的研究，維納(N.Wiener，1894-1964)等人在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立隨機(jī)過程理論。進(jìn)入80年代，人們以分形的眼光看待布朗運(yùn)動，并與“Levyflight”相聯(lián)系，找到了確定論與隨機(jī)論的內(nèi)在聯(lián)系。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅6什么是分形？（5/21）學(xué)過微積分的人都知道，函數(shù)的可微(即可求導(dǎo)數(shù))性與連續(xù)性有內(nèi)在聯(lián)系。兩者的關(guān)系是可微的函數(shù)必定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)未必可微。一個簡單的例子就是函數(shù)y=｜x｜在x=0處連續(xù)，但不可微。有的函數(shù)在有限個點處是不可微的，也有更特別的函數(shù)，它們幾乎處處不可微。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅7什么是分形？（6/21）1860年，瑞士一個名氣不算大的數(shù)學(xué)家C.Cellerer(1818-1889)在課堂上講：“連續(xù)函數(shù)必定可微”的流行觀念是錯誤的，并給出一個類似維爾斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815-1897)函數(shù)的反例1970年有人證明，Cellerer函數(shù)不同于維爾斯特拉斯函數(shù)，它們不是處處不可微的，在某些點上它們是有導(dǎo)數(shù)的。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅8什么是分形？（7/21）1872年，維爾斯特拉斯向柏林科學(xué)院報告了分析學(xué)中的一個反例——一個處處連續(xù)、但處處不可微的三角函數(shù)級數(shù)，即著名的維爾斯特拉斯函數(shù)。不過此函數(shù)直到1875年才由杜布瓦-雷蒙(E.duBois-Reymond)正式發(fā)表出來。在維爾斯特拉斯之前，已有不少數(shù)學(xué)家知道存在所謂的“維爾斯特拉斯函數(shù)”，但都恥于發(fā)表它!因為它破壞了分析學(xué)的完美性。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅9什么是分形？（8/21）1883年，G.F.P.Cantor(1845-1918)構(gòu)造了三分集與實直線相對立被認(rèn)為是病態(tài)的如今它已成為分形幾何學(xué)的最典型、最簡單的模型每次去掉線段中間的1/3最后剩下的就是Cantorset為了顯示方便，無寬度的［0,1］線段在這里故意用一矩形框表示Cantor三分集的生成過程D=log2/log3=0.6309哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅10什么是分形？（9/21）從什么是曲線談起直觀上有長無寬的線叫曲線。但這不是定義，甚至矛盾

1890年，意大利數(shù)學(xué)家G.Peano構(gòu)造了一種奇怪的曲線能夠通過正方形內(nèi)的所有點，有面積令數(shù)學(xué)界吃驚Peano曲線(前四步)圍成的區(qū)域D=log4/log2=2.0哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅11什么是分形？（10/21）1891年，大數(shù)學(xué)家D.Hilbert也構(gòu)造了一種性質(zhì)相同的曲線按一定順序相繼穿過每一個小正方形的“中位線”。D=log4/log2=2.0哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅12性質(zhì)：能夠填充空間十分曲折，連續(xù)但不可導(dǎo)具有自相似性什么是分形？（11/21）分形幾何興起以后由反例躍居為主角

這類曲線現(xiàn)在統(tǒng)稱為Peano曲線此性質(zhì)很令數(shù)學(xué)界吃驚。如果這是可能的，那么曲線與平面如何區(qū)分?哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅131906年，瑞典數(shù)學(xué)家H.VonKoch在研究構(gòu)造連續(xù)而不可微函數(shù)時，構(gòu)造了Koch曲線。

周長無窮，但面積為定值（0）什么是分形？（12/21）構(gòu)造方法演示哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅14構(gòu)造方法周長無窮，但面積為定值

VonkochsnowflakeD=log4/log3=1.2618什么是分形？（13/21）哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅15什么是分形？（14/21）1915-1916年，波蘭數(shù)學(xué)家W.Sierpinski(1882-1969)構(gòu)造了Sierpinski曲線、海綿、墓垛。Sierpinski地毯是平面萬有曲線(planeuniversalcurve)Sierpinski海綿是空間萬有曲線奧地利數(shù)學(xué)家門格爾(K.Menger)證明，任何曲線都可嵌入Sierpinski地毯中SierpinskigasketSierpinskicarpet哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅16什么是分形？（15/21）1919年，F(xiàn).Hausdorff(1868-1942)給出維數(shù)新定義，為維數(shù)的非整化提供了理論基礎(chǔ)。1918-1920年左右，法國數(shù)學(xué)家G.Julia(1893-1978)、法圖(P.J.L.Fatou,1878-1929)研究復(fù)迭代。G.Julia于1918年(當(dāng)時他25歲)在《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了長達(dá)199頁的杰作，一舉成名。

1924年11月20日B.B.Mandelbrot生于波蘭。1952年，Mandelbrot獲博士學(xué)位。傳統(tǒng)的歐式幾何理論描繪已顯得無能為力

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅17什么是分形？（16/21）60年代，B.B.Mandelbrot將雪花與海岸線、山水、樹木等自然景物聯(lián)系起來現(xiàn)代分形理論的奠基人經(jīng)歷、性格、舉止非同尋常的人物

Mandelbrot與北京大學(xué)非線性科學(xué)中心主任趙凱華教授

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅什么是分形？（17/21）67年，英國《科學(xué)》雜志，《英國的海岸線有多長？統(tǒng)計自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)

》正確答案令人吃驚：不確定，依賴測量單位長度研究發(fā)現(xiàn)一個很重要而有趣的性質(zhì)，即自相似性。75年，法文專著《分形對象:形、機(jī)遇與維數(shù)》77年，英譯本《分形：形、機(jī)遇與維數(shù)》(Fractals:Form,Chance,andDimension)82年，增補(bǔ)本，改名為《大自然的分形幾何學(xué)》哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅19什么是分形？（18/21）70年代末，fractal傳到中國，一時難以定譯。中國科學(xué)院物理所李蔭遠(yuǎn)(1919-)院士說，fractal應(yīng)當(dāng)譯成“分形”郝柏林、張恭慶、趙凱華、朱照宣等科學(xué)家表示贊同于是在中國大陸fractal逐漸定譯為“分形”如今臺灣還譯“碎形”，顯然不如“分形”好。創(chuàng)造的詞Fractal根據(jù)拉丁語fractus造的詞詞根含義：細(xì)片的，破碎的，分裂的，分?jǐn)?shù)的哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅20什么是分形？（19/21）分形？指具有多重自相似的對象它可以是自然存在的，也可以是人造的分形幾何在極端有序與真正混沌之間提供了一種中間可能性.它的最顯著特征是:看起來十分復(fù)雜的事物,大多數(shù)可以用很少參數(shù)的簡單公式來描述哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅21什么是分形？（20/21）典型的分形隨處可見花椰菜、樹木、山川、云朵、腦電圖、材料斷口、海岸線、樹枝、山脈、星系分布、云朵、聚合物、多變的天氣、大腦皮層褶皺、肺部支氣管分支、血液微循環(huán)管道、動蕩的股市、經(jīng)濟(jì)收入分配關(guān)系、棉花的價格波動視網(wǎng)膜中央動脈顳上支阻塞視乳頭旁毛細(xì)血管瘤河流分布圖星云語音信號股票分時走勢圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅22什么是分形？（21/21）85年獲得BarnardMedal獎?wù)聬垡蛩固?A.Einstein,1879-1955)、費米(E.Fermi,1901-1954)、盧瑟福(L.Rutherford,1871-1937)等人獲得過此殊榮1986年獲FranklinMedal

1993年獲WolfPrizeinPhysics1994年獲本田獎(HondaPrize)美國藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院(AmericanAcademyofArtsandSciences)院士美國國家科學(xué)院(U.S.NationalAcademyofSciences)院士現(xiàn)任職于耶魯大學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅23什么是分形維數(shù)？（1/12）分形物體的細(xì)節(jié)變化用分形維數(shù)（分?jǐn)?shù)維）來描述，它是物體粗糙性或細(xì)碎性的度量。什么是分?jǐn)?shù)維？整數(shù)維數(shù)分?jǐn)?shù)維數(shù)拓?fù)渚S數(shù)度量維數(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅24什么是分形維數(shù)？（2/12）只能取整數(shù)表示描述一個對象所需的獨立變量的個數(shù)在一維直線上確定一個點需要一個坐標(biāo)在二維平面上確定一個點得用兩個坐標(biāo)在三維空間中確定一個點得用三個坐標(biāo)整數(shù)維數(shù)拓?fù)渚S數(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅25什么是分形維數(shù)？（3/12）從測量的角度定義的從測量的角度看，對象的維數(shù)是可變的。例如：看一個毛線團(tuán)遠(yuǎn)看是一個0維的點，在廣闊的銀河系外宇宙空間看地球近看是三維的球進(jìn)入太陽系后，乘航天飛機(jī)在太空沿地球軌道飛行貼近其表面看是二維球面，甚至是二維平面站在曠野上環(huán)顧左右再近一些，看一根毛線再接近，看毛線上的纖維分?jǐn)?shù)維數(shù)度量維數(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅26什么是分形維數(shù)？（4/12）從測量的角度重新理解維數(shù)概念精確描述世界中的現(xiàn)象要有度量“尺度”的觀念《楚辭·卜居》中說：“夫尺有所短，寸有所長”事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺度去測量用寸來量度細(xì)菌，用尺來量度萬里長城前者失之過長，后者又嫌太短對于一個有確切維數(shù)的幾何體若用與其維數(shù)相同的“尺”去度量，可得到確切數(shù)值若用低于其維數(shù)的“尺”去度量，結(jié)果為無窮大若用高于其維數(shù)的“尺”去度量，結(jié)果就會為零哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅27什么是分形維數(shù)？（4/12）分形曲線的測量和冪律不同長度尺子s測得的海岸線長度us/kmu/km50025001003800505700178640分形測量哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅28210345612345678109081632241101001110100100010100(a)線性(b)指數(shù)(c)冪指數(shù)(d)線性坐標(biāo)系(e)半對數(shù)坐標(biāo)系(f)雙對數(shù)坐標(biāo)系

幾種函數(shù)關(guān)系及研究這些函數(shù)關(guān)系常用的坐標(biāo)系N

cl

+dN

clN

l

c與維數(shù)定義有關(guān)的函數(shù)關(guān)系是冪指數(shù)關(guān)系，簡稱冪律(Powerlaw)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅29什么是分形維數(shù)？（5/12）1919年F.Hausdorff(1868-1942)

推廣了維數(shù)的概念,為維數(shù)的非整化提供了理論基礎(chǔ)理論性強(qiáng)，實際背景較少在很多情形下難以用計算方法求得

在實際應(yīng)用中，經(jīng)常應(yīng)用的是盒維數(shù)能通過實驗近似地計算，且在一些比較“規(guī)則”的分形集上，這種維數(shù)的值與Hausdorff維數(shù)相等哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅30什么是分形維數(shù)？（6/12）一根一維線段L，單位長度A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍，能得到幾個原始對象(單位長度為A的線段)。3個：

L→3L=3^1*LL3L哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅31什么是分形維數(shù)？（7/12）一根一維線段L，單位長度A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍，能得到幾個原始對象(單位長度為A的線段)。3個：

L→3L=3^1*L平面上的一個正方形P，邊長為A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍9個正方形：

P→9P=3^2*P哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅32什么是分形維數(shù)？（8/12）一根一維線段L，單位長度A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍，能得到幾個原始對象(單位長度為A的線段)。3個：

L→3L=3^1*L平面上的一個正方形P，邊長為A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍9個正方形：

P→9P=3^2*P三維空間上的正方體V，邊長為A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍27個立方體：V→27V=3^3*V

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅33什么是分形維數(shù)？（9/12）一根一維線段L，單位長度A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍，能得到幾個原始對象(單位長度為A的線段)。3個：

L→3L=3^1*L平面上的一個正方形P，邊長為A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍9個正方形：

P→9P=3^2*P三維空間上的正方體V，邊長為A，將其邊長擴(kuò)大到原來的3倍27個立方體：V→27V=3^3*V

得到的總個數(shù)可表達(dá)為：

M=B^d其中，B指放大倍數(shù)，M是總個數(shù)，d相當(dāng)于對象的維數(shù)。換一種寫法有：

d=logM/logB其中指數(shù)d相當(dāng)于維數(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅34什么是分形維數(shù)？（10/12）從放大的反面——鋪砌或者細(xì)分的角度去理解對給定對象，用小單元塊（相當(dāng)于測量尺度）r填充（覆蓋）它，數(shù)一數(shù)所使用的小單元數(shù)目N(r)r越小，得到的N越大；r越大，得到的N就越小將測得結(jié)果在“雙對數(shù)”坐標(biāo)紙上繪制出來，會得到一條直線此直線斜率的絕對值就是對象的維數(shù)d。容量維數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)：

log(1/r)logN(r)r為細(xì)分時縮放因子哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅35什么是分形維數(shù)？（11/12）以Koch曲線為例細(xì)分線段數(shù)為N=4，細(xì)分單元長度為S=1/3Koch曲線的分?jǐn)?shù)維為：

d=ln4/ln3=1.2619而按照歐氏幾何方法將一條線段4等分則N=4，S=1/4，d=1。一般來說，二維空間中的分形曲線維數(shù)介于1和2之間三維空間中的分形曲線維數(shù)在2和3之間。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅36什么是分形維數(shù)？（11/12）對于實際的自然景物，我們可以用計盒維數(shù)的方法測量分維數(shù)盒子法(Box-countingMethod)取邊長為r的小盒子(可以理解為拓?fù)渚S為d的小盒子)，把分形覆蓋起來。由于分形內(nèi)部有各種層次的空洞和縫隙，所以，有些小盒子是空的，有些小盒子覆蓋了分形的一部分。數(shù)數(shù)多少小盒子不是空的，所得的非空(non-empty)盒子數(shù)記為N(r)。然后縮小盒子的尺寸r，所得N(r)自然要增大。海岸線哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅37什么是分形維數(shù)？（12/12）其它分?jǐn)?shù)維容量維柯爾莫哥洛夫維信息維關(guān)聯(lián)維雷尼(A.Renyi)維不同定義的分?jǐn)?shù)維概念，從不同的角度描述分形圖形的不規(guī)則性、復(fù)雜或粗糙程度哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅38什么是分形？（1/2）什么是分形？Mandelbrot開始時把那些Hausdorff維數(shù)不是整數(shù)的集合稱為分形但該定義將某些顯然為分形的集合排除在外例如，Peano曲線是分形曲線，但Hausdorff維數(shù)為2，是整數(shù)修改了這個定義強(qiáng)調(diào)具有自相似性的集合為分形哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅39什么是分形？（2/2）至今無統(tǒng)一定義，比較合理、普遍被人接受的定義定義具有如下性質(zhì)的集合F為分形F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，有任意小比例的細(xì)節(jié)F是如此地不規(guī)則，以至于它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述F通常有某種自相似的性質(zhì)，這種自相似性可以是近似的或者是統(tǒng)計意義下的一般地，F(xiàn)的某種定義之下的分形維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù)

在大多數(shù)令人感興趣的情形下，F(xiàn)通常能以非常簡單的方法定義，由迭代過程產(chǎn)生哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅40分形幾何歐氏幾何使用方程描述有平滑的表面和規(guī)則形狀的物體分形幾何使用過程對具有不規(guī)則幾何形態(tài)的物體（如自然景物）建模哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅41分形幾何應(yīng)用自然景物的逼真模擬自然景物的表面往往包含有豐富的細(xì)節(jié)或具有隨機(jī)變化的形狀，它們很難用傳統(tǒng)的解析曲面來描述盡管凹凸紋理映射技術(shù)可以模擬規(guī)則景物表面的幾何紋理細(xì)節(jié)，但在表達(dá)諸如山脈、云彩、火焰、樹木、浪花等自然景象時，凹凸紋理映射技術(shù)仍難以勝任海圖制作分形圖像壓縮——作為文獻(xiàn)綜述內(nèi)容之一地震預(yù)報信號處理蘇小紅哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第6章自然景物模擬與分形藝術(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅43隨機(jī)插值模型（1/3）1982年由AlainFournierDonFussellLorenCarpenter提出能有效地模擬海岸線和山等自然景象不是事先決定各種圖素和尺度用一個隨機(jī)過程的采樣路徑作為構(gòu)造模型的手段

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅44隨機(jī)插值模型（2/3）構(gòu)造二維海岸線的模型：選擇控制大致形狀的若干初始點在相鄰兩點構(gòu)成的線段上取中點，沿垂直連線方向隨機(jī)偏移一個距離將偏移后的點與該線段兩端點分別連成兩個新線段如此繼續(xù)可得到一條曲折的有無窮細(xì)節(jié)的海岸線，其曲折程度由隨機(jī)偏移量控制，它也決定了分?jǐn)?shù)維的大小

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅45隨機(jī)插值模型（3/3）在三維情況下用類似過程構(gòu)造山模型：多邊形（如三角形）細(xì)分在三角形三邊上隨機(jī)各取一點沿垂直方向隨機(jī)偏移一段距離得到三個新點連接成四個三角形如此繼續(xù)，可形成皺褶的山峰哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅46迭代函數(shù)系統(tǒng)（1/20）IteratedFunctionSystem（簡稱IFS）美國佐治亞理工學(xué)院Demko,Barnsley教授首創(chuàng)在SIGGRAPH’85國際會議上，IFS專題報告IFS方法的魅力是分形迭代生成的“反問題”哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅47迭代函數(shù)系統(tǒng)（2/20）確定性算法與隨機(jī)性算法相結(jié)合的方法生成植物桿莖或葉片用以迭代的規(guī)則是確定性的，它們由一組仿射變換(如R_1，R_2，R_3等)構(gòu)成迭代過程是不確定的，每一次迭代哪一個規(guī)則，即R_i中具體哪一個，非預(yù)先定好，而要靠擲骰子的辦法來決定。設(shè)最終要生成的植物形態(tài)圖為M，它要滿足下述集合方程：

M=R_1∪R_2∪…∪R_N含義：隨機(jī)地從R_i(i=1,…，N)中挑選一個迭代規(guī)則迭代一次然后再隨機(jī)地在R_i(i=1,…，N)中選一個規(guī)則迭代一次不斷重復(fù)此過程最后生成的極限圖形M就是欲求的植物形態(tài)圖。每個迭代規(guī)則R_i都是一個仿射變換。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅48迭代函數(shù)系統(tǒng)（3/20）一個變換S：Rn→Rn稱為線性的假若S(x+y)=S(x)+S(y)，且S(λx)=λS(x)S稱為非奇異線性變換當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，有S(x)=0ω稱為仿射變換如果變換ω

：Rn→Rn具有形式ω(x)=S(x)+a，這里S為非奇異線性變換，a為Rn中一點哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅49迭代函數(shù)系統(tǒng)（4/20）正交變換保持幾何圖形的度量性質(zhì)不變向量的夾角，點與點之間的距離，圖形的面積等仿射變換一般會改變幾何圖形的度量性質(zhì)但不改變共線、平行、相交、共線點的順序、中心對稱、二次曲線的次數(shù)等仿射變換在不同方向可以有不同的壓縮和擴(kuò)張例如可將球變換為橢球，正方形變換為平行四邊形哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅50迭代函數(shù)系統(tǒng)（5/20）每個迭代規(guī)則R_i都是一個仿射變換。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅51迭代函數(shù)系統(tǒng)（6/20）圖形經(jīng)仿射變換后面積變小，則此變換是收縮的面積變大，則是擴(kuò)張的保持不變，則是恒等的。因為極限圖形M應(yīng)是所有迭代R_i的吸引子每個仿射變換是收縮性的才能保證迭代收斂到M上所以只用到收縮性仿射變換

（ContractiveAffineTransformation）

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅52迭代函數(shù)系統(tǒng)（7/20）設(shè)給定一個仿射變換f，對任意向量x和y，如果總存在一個非負(fù)實數(shù)，滿足則s稱為壓縮因子使得上式成立的最小實數(shù)稱為Lipschitz常數(shù)（李普希茨常數(shù)

）因s<1，因此仿射變換f是收縮仿射變換

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅53迭代函數(shù)系統(tǒng)（8/20）

上的收縮仿射變換（壓縮映射）記為迭代函數(shù)系統(tǒng)

若干個收縮仿射變換的組合哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅54迭代函數(shù)系統(tǒng)（9/20）IFS方法生成分形圖像的步驟：一個二維的IFS的組成收縮仿射變換的集合概率的集合

確定仿射變換

確定概率向量按照相應(yīng)的概率，隨機(jī)從仿射變換集中選擇一個作為迭代規(guī)則迭代一次，不斷重復(fù)此迭代過程（通過迭代過程產(chǎn)生點集序列來繪制分形圖形）

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅55迭代函數(shù)系統(tǒng)（10/20）怎樣確定仿射變換？確定a,b,c,d,e,f哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅56迭代函數(shù)系統(tǒng)（11/20）怎樣實現(xiàn)擲骰子操作？設(shè)N=4，每次生成一個隨機(jī)數(shù)E∈(0，100)

設(shè)0＜β_1＜β_2＜β_3＜100，作如下規(guī)定：

若0＜E＜β_1，則選擇規(guī)則R_1若β_1≤E＜β_2，則選擇規(guī)則R_2若β_2≤E＜β_3，則選擇規(guī)則R_3若β_3≤E＜100，則選擇規(guī)則R_4指定β_i的過程相當(dāng)于為每種迭代規(guī)則R_i指派一個概率p_i怎樣確定概率向量？控制概率就是控制圖形各部分的落點密度，使圖形在有限迭代步數(shù)內(nèi)顯現(xiàn)出濃淡虛實不同的繪制效果。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅57迭代函數(shù)系統(tǒng)（12/20）D=log3/log2=1.585Sierpinski三角形fabc

defp

10.5000.52510.3320.5000.51500.3330.5000.550500.33哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅58Sierpinskicarpet迭代函數(shù)系統(tǒng)（13/20）D=log8/log3=1.8927哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅59迭代函數(shù)系統(tǒng)（14/20）Barnsley蕨的參數(shù)表fabc

defp

10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.2400.440.07fabc

defp

10000.250-0.140.0220.850.02-0.020.83010.8430.09-0.280.30.1100.60.074-0.090.250.30.0900.70.07蕨子葉的參數(shù)表哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅60迭代函數(shù)系統(tǒng)（15/20）樹冠的參數(shù)表fabcdef

pi

f00.01000.45000.05f1-0.0100-0.4500.40.15f20.42-0.420.420.4200.40.4f30.420.42-0.420.4200.40.4fabcdef

pi

f00.01000.45000.05f1-0.0100-0.4500.20.15f20.12-0.820.420.4200.20.4f30.120.82-0.420.4200.20.4六角楓葉的參數(shù)表哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅61迭代函數(shù)系統(tǒng)（16/20）fabcdef

pi

f00.6000.60.180.360.25f10.6000.60.180.120.25f20.40.3-0.30.40.270.360.25f30.4-0.30.30.40.270.090.25fabcdef

pi

f00.05000.6000.1f10.0500-0.5010.1f20.460.32-0.3860.38300.60.2f30.47-0.1540.1710.423010.2f40.430.275-0.260.476010.2f50.421-0.3570.3540.30700.70.2哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅62迭代函數(shù)系統(tǒng)（17/20）fabcdef

pi

f00.25000.5000.154f10.5000.5-0.250.50.307f2-0.2500-0.250.2510.078f30.5000.500.750.307f40.500-0.250.51.250.154fabcdef

pi

f00.382000.3820.30720.6190.2f10.382000.3820.60330.40440.2f20.382000.3820.01390.40440.2f30.382000.3820.12530.05950.2f40.382000.3820.4920.05950.2哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅63迭代函數(shù)系統(tǒng)（18/20）fabcdef

pi

f00.5-0.50.50.5000.5f10.50.5-0.50.50.50.50.5fabcdef

pi

f00.8240740.281482-0.2123460.864198-1.882290-0.1106070.8f10.0882720.520988-0.463889-0.3777780.7853608.0957950.2哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅64迭代函數(shù)系統(tǒng)（19/20）增減規(guī)則R_i，可以改變最終植物M的形態(tài)。即使不改變迭代規(guī)則，采用同樣的程序，只改變參數(shù)也可以生成完全不同的植物形態(tài)。ProcedureAFF(a,b,c,d,e,f,S,T:real);Varlins:real;Beginlins:=a*S+b*T+e;y:=c*S+d*y+f;x:=lins;End;65迭代函數(shù)系統(tǒng)（20/20）應(yīng)用自然景物模擬分形圖像壓縮哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅66L系統(tǒng)（1/13）由美國生物學(xué)家林德梅葉(Lindenmayer)創(chuàng)立，1984年由Smith等人將L系統(tǒng)引入圖形學(xué)1990年，普魯辛凱維奇(P.Prusinkiewicz)與林氏出版《植物的算法美》(TheAlgorithmicBeautyofPlants)是一種形式語言字符串重寫系統(tǒng)通過符號串的解釋，轉(zhuǎn)化為造型工具基本思想：從一個初始串(叫做公理)開始將變換規(guī)則多次作用于其上最后產(chǎn)生一個較長的命令串哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅67L系統(tǒng)（2/13）L系統(tǒng)分類0L系統(tǒng)與上下文無關(guān)1L系統(tǒng)僅考慮單邊的文法關(guān)系，即左相關(guān)或右相關(guān)在植物的生態(tài)模擬中左相關(guān)文法用于模擬植物從根向葉、莖的傳播過程右相關(guān)文法用于模擬從葉到莖、根的傳播過程2L系統(tǒng)同時考慮左邊和右邊文法關(guān)系哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅68L系統(tǒng)（3/13）D0L系統(tǒng)確定的上下文無關(guān)的L系統(tǒng)定義為一個三元組〈V,ω,P〉V：字符表(alphabet)V*：V上的所有單詞(words)ω：ω∈V*是一個非空的單詞，稱公理(axiom)P

：包含于V×V*，是產(chǎn)生規(guī)則的有窮集。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅69L系統(tǒng)（4/13）設(shè)計D0L系統(tǒng)的步驟：定義字符表V給出公理，即初始圖ω定義產(chǎn)生式P

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅70L系統(tǒng)（5/13）L系統(tǒng)的符號串也稱“龜圖”(turtle)龜圖的狀態(tài)用三元組(X,Y,D)表示X：橫坐標(biāo)Y：縱坐標(biāo)D：當(dāng)前的朝向δ：角度增量H：步長。L系統(tǒng)的符號規(guī)定與解釋符號圖形解釋F從當(dāng)前位置向前走一步，同時畫線G從當(dāng)前位置向前走一步，但不畫線+從當(dāng)前方向向右轉(zhuǎn)一個給定的角度-從當(dāng)前方向向左轉(zhuǎn)一個給定的角度｜原地轉(zhuǎn)向180°［Push,將龜圖當(dāng)前狀態(tài)壓進(jìn)棧(stack)］Pop,將圖形狀態(tài)重置為棧頂?shù)臓顟B(tài)，

并去掉該棧中的內(nèi)容\nn增加角度nn度/nn減少角度nn度Cnn選擇顏色nn＜nn在此基礎(chǔ)上增加顏色nn＞nn在此基礎(chǔ)上減少顏色nn!倒轉(zhuǎn)方向(控制+,-,/)@nnn將線段長度乘以nnn，nnn也可以是簡單函數(shù)其他也是合法的，主要用于獲得復(fù)雜的解釋哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅71L系統(tǒng)（6/13）13世紀(jì)數(shù)學(xué)家Fibonacci（1170-1250）兔子的理想化繁衍問題

baby(b),adult(a)V：{a,b}W:bP:a->abb->abaababaabaababaababaabaababaabaababaababaabaababaababa哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅72L系統(tǒng)（7/13）vonKoch雪花曲線V：{F,+,-}w：FP：F->F-F++F-Fδ=60o幾何解釋F：向前畫一條線+：右轉(zhuǎn)60o-：左轉(zhuǎn)60o

n=0n=1n=2n=3w：F++F++F

倒置的正三角形生成元初始圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅73L系統(tǒng)（8/13）Koch島V：{F,+,-}w：F﹣F﹣F﹣FP：F→F﹢F﹣F﹣FF﹢F﹢F﹣Fδ=90o令步長d在相鄰兩級子圖之間縮短4倍，規(guī)定后繼多邊形線(折線)端點之間的距離等于前驅(qū)線段的長度

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅74L系統(tǒng)（9/13）四方內(nèi)生樹四方內(nèi)生樹V：{F,+,-}w：F+F+F+FP：F->FF+F++F+F

δ=90o

生成元初始圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅75L系統(tǒng)（10/13）植物w：FP：F->F[+F]F[-F]F[:將當(dāng)前烏龜爬行的狀態(tài)壓入堆棧，信息包括所在位置和方向等]:從堆棧中彈出一個狀態(tài)作為烏龜?shù)漠?dāng)前狀態(tài)，但不畫線哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅76L系統(tǒng)（11/13）植物（a）n=5，δ=30°S：FP：F→F[﹢F]F[﹣F]F(b)n=5，δ=20°S:FP：F→F[﹢F]F[﹣F][F]

（c）n=4，δ=20.5°S:FP：F→FF﹣[﹣F﹢F﹢F]﹢[﹢F﹣F﹣F]哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅77L系統(tǒng)（12/13）模擬側(cè)柏形態(tài)（左圖）w：FP：F->F［+F］F［-F］［F］

δ=90o哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅78L系統(tǒng)（13/13）設(shè)計L系統(tǒng)的過程是根據(jù)自相似結(jié)構(gòu)形成信息壓縮的一個過程利用設(shè)計好的L系統(tǒng)進(jìn)行繪制的過程是信息壓縮的逆過程，或者說是信息復(fù)原的過程。

L系統(tǒng)能有效給出植物的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)但繪制真實感的二、三維植物形態(tài)還必須結(jié)合幾何造型技術(shù)例如，若要生成逼真的樹干和樹枝的柱狀曲面、花瓣或樹葉的自由曲面等，還需要使用曲面造型技術(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅79粒子系統(tǒng)（1/8）ParticleSystem

W.T.Reeves1983年提出最重要的計算機(jī)生成模型方法描述對象不規(guī)則、結(jié)構(gòu)隨時間而變化的FuzzyObject

尤其擅長模擬不規(guī)則物體的隨機(jī)動態(tài)特性自然現(xiàn)象，密集場景，真實的物理過程如跳動的火焰、煙霧、下雨、行云、遠(yuǎn)處隨風(fēng)搖曳的樹林和草叢等

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅80粒子系統(tǒng)（2/8）1985年，Reeves和Blau進(jìn)一步發(fā)展了粒子系統(tǒng)并維妙維肖的模擬了小草隨風(fēng)搖曳的景象模擬動態(tài)模糊自然景物電視電影的特技制作最初引入是為了模擬火焰跳動的火焰被看作是一個噴出許多粒子的火山每個粒子都有一組隨機(jī)取值的屬性初始位置、速度、運(yùn)動方向、初始大小、形狀、顏色、透明度、紋理作為文獻(xiàn)綜述內(nèi)容之一哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅81粒子系統(tǒng)（3/8）基本思想造型和動畫是一個有機(jī)的整體單個隨時間變化的粒子(Particle)作為景物造型的基本元素

由一組粒子構(gòu)成的系統(tǒng)每個粒子有一個生命周期包括出生、成長、死亡等幾個階段粒子在不同的階段具有不同的形態(tài)和屬性（位置和速度）粒子形狀可以是小球、橢球、立方體或其它形狀粒子的運(yùn)動由一定的規(guī)則控制，遵循Newton運(yùn)動定律哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅82粒子系統(tǒng)（4/8）本質(zhì)是隨機(jī)模型采用隨機(jī)過程的方法來實現(xiàn)粒子在“出生”、“生長”、“死亡”三個階段的不確定性在生長過程中，粒子的屬性被隨機(jī)地改變粒子的大小和形狀隨時間變化其它性質(zhì)如粒子透明度、顏色和移動等都隨機(jī)地變化哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅83粒子系統(tǒng)（5/8）模擬動態(tài)自然景物的過程生成新的粒子，分別賦予不同的屬性以及生命周期將新粒子加到系統(tǒng)中刪去系統(tǒng)中老的已經(jīng)死亡的粒子

根據(jù)粒子的屬性，按適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動模型或規(guī)則，對余下的存活粒子的運(yùn)動進(jìn)行控制（Transformation）繪制當(dāng)前系統(tǒng)中存活的所有粒子哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅84粒子系統(tǒng)（6/8）對于粒子系統(tǒng)的隨機(jī)性Reeves采用一些非常簡單的隨機(jī)過程來控制粒子在它所在系統(tǒng)中的形狀、特征及運(yùn)動。先確定每個粒子的變化范圍然后在該范圍內(nèi)隨機(jī)地確定它的值變化范圍由給定的平均期望值和最大方差來確定粒子的基本屬性包括：（1）初始位置、大?。?/p>

〔2）初始運(yùn)動速度和方向；（3）初始顏色；（4）初始透明度；

〔5）初始形狀；（6）生命周期。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅85粒子系統(tǒng)（7/8）粒子數(shù)目對模糊物體的密度有很重要的影響，粒子系統(tǒng)通過控制每一幀進(jìn)入系統(tǒng)的粒子數(shù)和死亡的粒子數(shù)來控制粒子系統(tǒng)中粒子的數(shù)量?？刂泼繋牧Ｗ訑?shù)的兩種方法由每幀產(chǎn)生的粒子平均數(shù)和其方差控制粒子數(shù)，實際在f幀產(chǎn)生的粒子數(shù)為新產(chǎn)生的粒子數(shù)取決于物體的屏幕尺寸。控制每個屏幕單位產(chǎn)生的粒子平均數(shù)MeanParts和其方差VarParts

，根據(jù)物體覆蓋的屏幕尺寸ScreanArea計算出所需的粒子數(shù)：f是當(dāng)前幀，f0

是粒子系統(tǒng)開始的第一幀，InitialMeanParts

指第一幀粒子的平均數(shù)，DeltaMeanParts

是相應(yīng)的變化率哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅86粒子系統(tǒng)（8/8）粒子系統(tǒng)運(yùn)行的流程哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅87混沌吸引子氣象學(xué)家E.N.Lorenz混沌理論的少有幾位創(chuàng)立者之一，1963年，在研究大氣環(huán)流的對流運(yùn)動時，發(fā)現(xiàn)了第1個奇異吸引子運(yùn)動為非周期性的，而且具有不可預(yù)測的隨機(jī)性他在1963年發(fā)表的關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認(rèn)，并很快引發(fā)對混沌研究的熱潮，由此誕生和發(fā)展起了一門新興學(xué)科—混沌理論，成為現(xiàn)代新興學(xué)科的代表。(b)沿y軸方向投影的Lorenz吸引子(a)沿x軸方向投影的Lorenz吸引子(c)沿z軸方向投影的Lorenz吸引子圖6-43Lorenz吸引子混沌可以理解為貌似隨機(jī)的確定性。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅88迭代（動力系統(tǒng)）的問題動力系統(tǒng)指隨時間確定性地變化的系統(tǒng)。系統(tǒng)的狀態(tài)可由一個或幾個變量的數(shù)值來確定。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅89復(fù)平面上的迭代（1/18）動力系統(tǒng)中的分形動力系統(tǒng)的奇異吸引子通常都是分形集，它們產(chǎn)生于非線性函數(shù)的迭代和非線性微分方程中

復(fù)平面上解析映射的迭代（復(fù)數(shù)的非線性映射）1918~1919年，Julia和Fatou研究發(fā)現(xiàn)，此迭代把復(fù)平面劃分為兩部分：Fatou集和Julia集Julia集的定義哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅90復(fù)平面上的迭代（2/18）C=-1C=-0.5+0.5iC=-0.2+0.75iC=0.64iJulia集的圖象哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅91復(fù)平面上的迭代（3/18）80年代初，Mandebrot在迭代z→z^2+c時，用計算機(jī)繪制了著名的Mandebrot集，簡稱M集

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅92復(fù)平面上的迭代（4/18）Julia集固定C值，對不同Zk值進(jìn)行迭代，生成的圖像用屏幕上不同的點Zk(xk,yk)作為初值迭代，產(chǎn)生的Zk序列會出現(xiàn)收斂與發(fā)散兩種情況通過設(shè)定最大迭代次數(shù)N和閾值M對點著不同的色迭代到N，但模值未超過M——收斂，用固定顏色顯示迭代到N，但模值已超過M——發(fā)散，根據(jù)其發(fā)散速度用不同色顯示從Zk(xk,yk)到Zk+1(xk+1,yk+1)的迭代公式：哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅93復(fù)平面上的迭代（5/18）Julia集固定C值，對不同Zk值進(jìn)行迭代，生成的圖像M集令Zk=0，對不同的C值進(jìn)行迭代，生成的圖像Julia集是取一固定的c值后，觀察復(fù)平面上每一點(x,y)在迭代中的表現(xiàn)，并把結(jié)果記錄下來M集記錄的是整個區(qū)域上的c值情況哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅94復(fù)平面上的迭代（6/18）標(biāo)色有很多技巧表面看來好像屬于計算機(jī)技術(shù)但實際上這屬于傳統(tǒng)的美術(shù)。分形圖形藝術(shù)是傳統(tǒng)美術(shù)與計算機(jī)的結(jié)合。雖然本質(zhì)上具有同樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)標(biāo)上不同的顏色，就有完全不同的視覺效果哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅95復(fù)平面上的迭代（7/18）M集特征：一個主要的心形圖與一系列圓盤形的“芽苞”突起連在一起每個芽苞又被更細(xì)小的芽苞所環(huán)繞還有精細(xì)的“發(fā)絲狀”分枝從芽苞向外長出M集逐步放大圖

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅96復(fù)平面上的迭代（8/18）M集包含了關(guān)于Julia集構(gòu)造的大量信息M集不同部位的形狀反映了對應(yīng)于該處的J集的形狀哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅97復(fù)平面上的迭代（9/18）(a)c=0.1-0.1i，f有吸引不動點，J為擬圓(b)c=0.5-0.5i，f有吸引不動點，J為擬圓(c)c=1.0-0.05i，f有周期為2的吸引軌道(d)c=0.2-0.75i，f有周期為3的吸引軌道(e)c=-0.25-0.52i，f有周期為4的吸引軌道(f)c=0.5-0.55i，f有周期5的吸引軌道(g)c=-0.66i，f沒有吸引軌道，且J為全部連通(h)c=-i，f為無圈曲線改變常數(shù)c的取值，可以得到各式各樣的J集

主心形圖上芽苞上或心形圖邊界

芽苞與心形圖接觸的“頸部”

“發(fā)狀”分枝上

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅98J集的快速生成算法圖6-46“區(qū)域四分法”的原理n1(0,0)n3(0,b)n2(a,0)n4(a,b)c2(0,b/2)c4(a,b/2)c5(a/2,b)c1(a/2,0)c3(a/2,b/2)2區(qū)4區(qū)1區(qū)3區(qū)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院蘇小紅99復(fù)平面上的迭代（10/18）二維復(fù)平面上二次映射廣義的M集和J集任意多項式映射三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)z→z^m+