1第四章自由曲線與曲面

（一）2概述參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線B樣條曲線第四章曲線與曲面哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅3概述曲線的分類規(guī)則曲線可用初等解析函數(shù)來描述自由曲線無法用初等解析函數(shù)來描述光滑，連續(xù)，沒有拐點(diǎn)隨機(jī)曲線處處連續(xù)，處處不光滑，處處不可導(dǎo)地圖邊界，海岸線，水波，超聲哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅4概述研究分支計(jì)算幾何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest給出正式定義CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美國Utah大學(xué)的一次國際會議上提出北航施法中浙大譚建榮哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅5概述研究內(nèi)容對幾何外形信息的計(jì)算機(jī)表示對幾何外形信息的分析與綜合對幾何外形信息的控制與顯示哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅6概述對形狀數(shù)學(xué)描述的要求？從計(jì)算機(jī)對形狀處理的角度來看（1）唯一性（2）幾何不變性

對在不同測量坐標(biāo)系測得的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，用同樣的數(shù)學(xué)方法得到的擬合曲線形狀不變。哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅7概述xy(0,0)(1,1/2)(2,0)xy(0,0)y’x’用標(biāo)量函數(shù)表達(dá)擬合曲線時，曲線的形狀隨坐標(biāo)系的選取而變，說明什么？哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅8概述矢量參數(shù)函數(shù)方程：P(t)=2(t-0.5)(t-1)P0–4t(t-1)P1+2t(t-0.5)P2P0P1P2t=0t=1P0P1P2t=0t=1只要相對位置不變，則形狀就不變位置矢量哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅9概述（3）易于定界（4）統(tǒng)一性：統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表示，便于建立統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫標(biāo)量函數(shù)：平面曲線y=f(x)

空間曲線y=f(x)z=g(x)矢量函數(shù)：平面曲線P(t)=[x(t)y(t)]

空間曲線P(t)=[x(t)y(t)z(t)]哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅10概述從形狀表示與設(shè)計(jì)的角度來看（1）豐富的表達(dá)能力：表達(dá)兩類曲線曲面（2）易于實(shí)現(xiàn)光滑連接（3）形狀易于預(yù)測、控制和修改（4）幾何意義直觀，設(shè)計(jì)不必考慮其數(shù)學(xué)表達(dá)哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅11自由曲線曲面的發(fā)展過程目標(biāo)：美觀，且物理性能最佳1963年，美國波音飛機(jī)公司，F(xiàn)erguson雙三次曲面片1964~1967年，美國MIT，Coons雙三次曲面片1971年，法國雷諾汽車公司，Bezier曲線曲面1974年，美國通用汽車公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B樣條曲線曲面1975年，美國Syracuse大學(xué)，Versprille有理B樣條80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅12參數(shù)曲線基礎(chǔ)（1/7）曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅13參數(shù)曲線基礎(chǔ)（1/7）非參數(shù)表示形式方程（無論是顯式還是隱式）存在下述問題與坐標(biāo)軸相關(guān)會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示不便于計(jì)算機(jī)編程哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅14參數(shù)曲線基礎(chǔ)（2/7）參數(shù)表示參數(shù)的含義時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅15參數(shù)曲線基礎(chǔ)（3/7）參數(shù)矢量表示形式例子：直線段的參數(shù)表示

參數(shù)表示與隱式表示的相互轉(zhuǎn)換哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅16參數(shù)曲線基礎(chǔ)（4/7）切矢量坐標(biāo)變量關(guān)于參數(shù)的變化率主法矢量主法矢量與切矢量垂直副法矢量曲率曲線的彎曲程度曲率半徑曲率的倒數(shù)哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅17參數(shù)曲線基礎(chǔ)（5/7）參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴(yán)格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足記號哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅18參數(shù)曲線基礎(chǔ)（6/7）幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性不包括與參數(shù)有關(guān)的那些信息，如切矢模長0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處1階幾何連續(xù)，如果它在該處,并且切矢量方向連續(xù)記為哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅19參數(shù)曲線基礎(chǔ)（7/7）2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處2階幾何連續(xù)，如果它在處（1）位置和切線方向連續(xù)（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅20參數(shù)曲線基礎(chǔ)（7/7）曲線光順性準(zhǔn)則光順性——fairnessCAGD中的一個重要概念判據(jù)或準(zhǔn)則二階幾何連續(xù)二階參數(shù)連續(xù)并不一定能保證切線方向和曲率連續(xù)切線方向和曲率連續(xù)也不一定必須二階參數(shù)連續(xù)不存在奇異點(diǎn)與多余拐點(diǎn)曲率變化較小應(yīng)變能較?。ń^對曲率較小）哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅21曲線曲面擬合方法已知條件的表示方法一系列有序的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)型值點(diǎn)控制點(diǎn)邊界條件連續(xù)性要求哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅22曲線曲面擬合方法生成方法插值點(diǎn)點(diǎn)通過型值點(diǎn)插值算法：線性插值、拋物樣條插值、Hermite插值逼近提供的是存在誤差的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最小二乘法、回歸分析提供的是構(gòu)造曲線的輪廓線用的控制點(diǎn)Bezier曲線、B樣條曲線等擬合哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅23第四章曲線與曲面概述參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線B樣條曲線哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅24參數(shù)多項(xiàng)式曲線（1/5）為什么采用參數(shù)多項(xiàng)式曲線表示最簡單理論和應(yīng)用最成熟定義--n次多項(xiàng)式曲線哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅25參數(shù)多項(xiàng)式曲線（2/5）矢量表示形式加權(quán)和形式缺點(diǎn)沒有明顯的幾何意義與曲線的關(guān)系不明確，導(dǎo)致曲線的形狀控制困難代數(shù)系數(shù)矩陣形式哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅26參數(shù)多項(xiàng)式曲線（3/5）矩陣表示矩陣分解幾何矩陣控制頂點(diǎn)基矩陣M

確定了一組基函數(shù)幾何系數(shù)矩陣或邊界條件矩陣形式哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅27參數(shù)多項(xiàng)式曲線（4/5）例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+P1幾何矩陣G基矩陣MT哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅28參數(shù)多項(xiàng)式曲線（5/5）參數(shù)多項(xiàng)式曲線的生成參數(shù)離散計(jì)算型值點(diǎn)連接型值點(diǎn)折線哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅29第四章曲線與曲面概述參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線B樣條曲線哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅30三次Hermite曲線(1/7)定義給定4個矢量，稱滿足條件的三次多項(xiàng)式曲線P(t)為Hermite曲線P0P1R0R1哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅31三次Hermite曲線(2/7)矩陣表示條件哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅32三次Hermite曲線(3/7)合并解哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅33三次Hermite曲線(4/7)基矩陣與基函數(shù)（調(diào)和函數(shù)）哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅34三次Hermite曲線(5/7)形狀控制改變端點(diǎn)位置矢量調(diào)節(jié)切矢量的方向調(diào)節(jié)切矢量的長度哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅35三次Hermite曲線(6/7)幾何變換對曲線變換等價(jià)于對控制頂點(diǎn)變換三次參數(shù)樣條曲線樣條?曲線的定義給定參數(shù)節(jié)點(diǎn)，型值點(diǎn)，求一條的分段三次參數(shù)曲線，使。P(t)稱為三次參數(shù)樣條曲線哈工大計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小