以“核心概念”統(tǒng)籌單元整體教學一致性--以人教版“面積”單元為例教師在進行單元整體教學設計時，要找到單元知識概念背后的“核心概念”，以此統(tǒng)籌單元內容的一致性，為教學目標的設定和教學活動的設計提供依據(jù)。多數(shù)教師雖已認識到“核心概念”的重要性，但對于如何通過“核心概念”理清單元整體教學的思路，把握數(shù)學知識本質，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，仍有困難。本文以人教版三下冊《面積》單元為例，結合《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱2022年版課標）中的教學建議，為教師進行單元整體教學設計提供參考。通過解讀教材，可知《面積》由“4節(jié)8道例題”構成：①面積和面積單位(例1、例2、例3)；②長方形、正方形面積的計算（例4、例5）；③面積單位間的進率（例6、例7）；④解決問題（例8）。關于面積的教學，2022年版課標提出明確的學業(yè)要求：圖形的面積教學要讓學生在熟悉的情境中，直觀感知面積的概念，經(jīng)歷選擇面積單位進行測量的過程，理解面積的意義，形成量感。關于量感，2022年版課標明指明其主要表現(xiàn)有“知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果?！薄傲浚╭uantity）”與測量活動有關，是現(xiàn)實世界一個最普遍、最基本的屬性（史寧中，2022）。為凸顯數(shù)學學習的現(xiàn)實意義，教師可從測量活動出發(fā)，將面積的測量屬性與本質作為《面積》單元的“核心概念”，統(tǒng)籌單元整體教學的一致性。一、以“核心概念”凸顯主題一致性什么是主題？2022年版課標就小學數(shù)學課程的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”內容結構整合了“七主題”，這是主題的宏觀形式?！皵?shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數(shù)學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質、關系和規(guī)律。”如果用現(xiàn)在流行的表述方法，那么這個課程性質可以縮略為“研究對象＋”。從這個角度看，主題即是教學內容的“研究對象＋”。教師要堅持主題整合原則，形式上基于抽象結構，將主題表述為“研究對象＋”；理念上強調核心素養(yǎng)，將研究對象概念的教學與性質、運算、關系的教學有機結合，開展整體設計、分步實施以核心素養(yǎng)為導向的教學活動（史寧中，2022）。在此基礎上，單元有“單元主題”，這是主題的中觀形式；課時有“課時主題”，這是主題的微觀形式。教師在確定主題時，要把“研究對象＋”從宏觀到微觀層層遞進、不斷細化，使主題成為單元教學的目標、活動設計的依據(jù)。以測量活動統(tǒng)領的《面積》單元教學，教師應從量感的培養(yǎng)出發(fā)，關注學生相應的行為表現(xiàn)與能力發(fā)展。為達成這一目標，教師可將該單元主題細化為“圖形的面積測量”，以“測量”貫穿始終，確保各課時目標與主線任務的連貫與統(tǒng)一。教師可參考教材編排的學習內容，將本單元劃分為6個課時（見表一）：前兩個課時主要完成“找單位”的工作，其對應的是量感行為表現(xiàn)1“知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性”；其余課時主要完成“用單位去度量”“得到一個‘量’”的工作，其對應的是量感行為表現(xiàn)2“會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算”和表現(xiàn)3“初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果”。表1《面積》單元的課時主題與教學內容二、以“核心概念”明確目標與過程在“核心概念“統(tǒng)攝下，教師要實現(xiàn)各課時的教學在不同方面落實同一單元主題目標，就要基于學習對象的本質屬性展開全面分析。1．基于教學活動，在“測量“中理解面積要度量一個量，可以像“用勺子一次次地舀空裝滿水的容器那樣，用一個單位去量那個量”（弗賴登塔爾，1995）。這個測量的過程主要有三項工作：一是找單位，二是用單位去度量，三是得到一個“量”。在實際的測量活動中，這三項工作可以各有側重，具體到面積的測量，主要包括四種活動形式。一是“疊合”，比較兩個面的大小。“疊合”是最初始的面積測量活動，學生需要通過“疊合”初步確立面積的概念，理解面積單位的本質含義。教材例1的編寫，意在讓學生通過“疊合法”觀察、比較下列幾組物體或圖形的表面大?。孩俸诎迕鍿1和國旗的表面S2，因為a1＞a2，b1＞b2，所以S1＞S2；②門的表面S1和門窗的表面S2，因為a1＝a2，b1＞b2，所以S1＞S2；③課桌甲的表面S1和課桌乙的表面S2，因為a1＝a2，b1＝b2，所以S1＝S2(a、b分指代這些長方形圖形的長和寬）。史寧中教授認為，對距離遠近的感知是人的先天本能，是不用教的數(shù)學，因此，學生可以直觀地獲得其大小關系和相等關系。但要如何驗證觀察結果呢？比較兩個面的大小最直接的方法是觀察（其實是“疊合”），疊合一次，有“多余”的那個面其面積就大；沒有“多余”的則兩個面的面積相等。多次疊合，大的圖形正好包含多個“小單位”圖形，此時，學生對“單位”相同就有本能的認識。二是度量，精確求一個面的大小。求某個面的面積有兩種方法：一是用“單位”圖形度量,再數(shù)出單位的個數(shù)，從這個意義上看，“方格紙”可以說是面積的度量工具；二是用公式求出圖形的面積，它被認為是求面積的最常用方法，事實上，倘若公式?jīng)]賦予“測量”的含義，那么“S＝ab”可能僅僅是一個代數(shù)式，“5米×3米＝15平方米”也不可理解。因此，用“單位”圖形度量是求面積的最本質方法，度量時，需要根據(jù)面的大小選擇合適的“單位”圖形。雖然面積是對二維空間的度量，用“單位”圖形度量具有一定的復雜性和難度，但學生只有經(jīng)歷具身操作，才能對面積的度量活動才會有真切的體會；這里的“單位”圖形必須是面積度量的工具性的標準圖形，即國際通用單位的圖形；只有矩形才可能被“單位”圖形量盡。精確度量是最基本的面積測量活動，學生需要通過“實測”建立面積的度量模型，方可加深對圖形特征的理解。三是估測，創(chuàng)設“非標準”單位求一個面的大小。在實際的測量中，往往可能沒有現(xiàn)成的標準化測量工具，使用國際通用單位進行測量的工作無法正常開展。這時，需要學生利用自己熟悉的物品作為“非標準”測量單位，如A4紙的面積、數(shù)學書封面的面積、自己的“步長”等等。使用“非標準”單位進行測量，量得的“量”不太精確，因此，數(shù)學上稱之為“估測”。估測是重要的面積測量活動，進行估測后，學生就親身經(jīng)歷了上述測量的“三項工作”。這對學生估測意識與估測能力的培養(yǎng)，以及于積累更多的測量經(jīng)驗具有重要意義。四是建立相等關系，多樣化求一個面的大小。面積單位間的進率中有三個核心知識點：一是“量”的相等關系，二是“數(shù)”的大小關系，三是圖形的全等關系。建立單位間的進率有兩種思維方式：一是累加法，通常在學習整數(shù)時使用，此階段學生已積累了豐富的經(jīng)驗；二是細分法，通常在學習分數(shù)、小數(shù)時使用，三年級學生還沒有這方面的經(jīng)驗，如1dm2＝100cm2，先有1個1dm2的正方形而后有100個1cm2的小方格，這是一種細分的思維方式，顯然地，用后一種方式是不利于本單元教學的。從另一個角度說，把100個1cm2的小方格排一行成為一個長方形，這時1dm2和100cm2之間并不存在單位間的進率關系，原因是它違反了面積公理的正則性條件。基于此，教材在“解決問題”中設置了“客廳地面鋪地磚”的問題，引導學生認識用1dm2、1m2、“1塊地磚”三個不同的單位度量客廳的面積，結果是“數(shù)（作南動詞）的數(shù)”不同（18、1800、200），但“數(shù)（作南動詞）的量”是相等的（18m2＝1800dm2＝200塊地磚密鋪的面積）。這一學習過程能豐富學生的測量經(jīng)歷，加深學生對面積的理解。綜上，教師立足知識本源，以“理解不同的面積測量方式”為明線，就能用核心概念“測量”將《面積》單元6課時的教學內容有機串聯(lián)起來。實際教學中，學生在反復的測量操作中認識面積的度量本質與度量方法（三項工作），理解面積公式和面積的進率，知道在解決問題時應從從測量的過程去尋找突破口，方可實現(xiàn)量感與抽象思維的進階發(fā)展。2．基于測量行為，理解度量本質在進行單元整體教學建構時，教師還要注重“關鍵課”的教學設計，促使學生深刻領會單元主題目標價值與內涵。用公式求圖形的面積在《面積》單元中起到承上啟下的作用，是本單元的重點內容。教材例4呈現(xiàn)用面積是1cm2的正方形拼擺長方形的情境，探索計算長方形面積。但拼擺是一個從無到有的過程，所拼擺的長方形并不是被測對象，或者說，拼擺的長方形不是度量的“研究對象”。這樣的面積公式推導過程等同于簡單地告訴學生一個長方形的面積公式，學生無法形成意義層次的理解。因此，教學時教師可以從測量行為角度，來探索并構建面積的計算公式。一是用“單位”圖形進行測量。教師要讓學生認識到，測量一個長方形的面積，就是用面積單位的標準圖形對其進行重復“疊合”，“數(shù)單位個數(shù)”就得到面積的“量”。例如，一個長方形長5cm、寬3cm，測得15個1cm2，它的面積就是15cm2。如何在5cm、3cm與15cm2之間賦予面積測量的含義？經(jīng)過“疊合”得到15個1cm2，這些“方格”在測量上的含義是等價的，為了得到面積的計算方法，可以把“單位個數(shù)”進行分類，即每5個1cm2為一類，共有3類，用加法表征是15＝5＋5＋5，用乘法表征是15＝5×3。其中每行5個1cm2，正好與長邊的長度相對應；共有3行，正好與寬邊的長度相對應。所以，長方形的面積＝長×寬。二是用“尺子”進行線性測量。用面積單位測量圖形的面積大小，我們稱之直接測量，常用的測量工具有“方格紙”，其測量行為是連續(xù)的、一致的；用長度單位測量圖形的長和寬，再計算出圖形的面積大小，我們則稱之線性測量，常用的測量工具有“尺子”，其測量行為是有間斷的、分步的。學生測量出長邊的長度，就應該想象出對應的是每行有幾個面積單位；測量出寬邊的長度，就應該想象出對應的是面積單位有幾行。能進一步理解“長方形的面積＝長×寬”。三是用“單位”標準圖進行測量。對于“單位”，若僅有數(shù)學規(guī)定（如邊長是1厘米的正方形，面積是1平方厘米），那么其認知處于概念水平；若再加之直觀事物形成表象，其認知處于感性認識水平。但是，教學的目的，應是讓學生學會用“單位”圖形度量。因此，教師要把“單位”圖形加以標準化，把“單位”圖形制作出如“尺子”那樣的實物，如“方格紙”（即“網(wǎng)格坐標計算紙”）。有了“方格紙”這樣的面積測量工具，學生數(shù)出“方格紙”上面積的數(shù)量，使得面積測量與長度測量具有一致性；面積的測量，或者在面積單位測量的基礎上通過分類，得到每行的個數(shù)與長邊的長度相對應、行數(shù)與寬邊的長度相對應；或者在線性測量的基礎上，得到長邊的長度與每行的個數(shù)相對應、寬邊的長度與行數(shù)相對應。由于每行個數(shù)與長、行數(shù)與寬總是分別存在著其必然聯(lián)系，面積計算公式就被賦予度量的含義，體現(xiàn)