21.3實際問題與一元二次方程第3課時幾何圖形問題課題第3課時幾何圖形問題授課人教學(xué)目標(biāo)知識技能1.能根據(jù)面積問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型；2.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理.數(shù)學(xué)思考經(jīng)歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運用一元二次方程對之進行描述.問題解決通過解決封面設(shè)計的實際問題，學(xué)會將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應(yīng)用意識.情感態(tài)度通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.教學(xué)重點列一元二次方程解有關(guān)面積問題的應(yīng)用題.教學(xué)難點發(fā)現(xiàn)面積問題中的等量關(guān)系.授課類型新授課課時教具多媒體教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖回顧1.通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家學(xué)習(xí)到了哪些知識和方法？教師提出問題，學(xué)生回憶，選一名同學(xué)作答，其他同學(xué)補充.教師應(yīng)重點關(guān)注：①學(xué)生對列方程解應(yīng)用題的步驟是否清楚；②學(xué)生能否說出每一步的關(guān)鍵和應(yīng)注意的問題.2.關(guān)于幾何圖形的體積、面積和周長，你知道哪些常見圖形的計算公式？分別是什么？下面我們用圖形的一些計算公式建立數(shù)學(xué)模型，解決一些涉及幾何圖形的實際問題.教師板書：實際問題與一元二次方程.既為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種回憶、思考的情景，又是自然的導(dǎo)入，為本課的探究活動做好鋪墊.活動一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】圖21－3－12如圖21－3－12，要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長、寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？問題：（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何理解“正中央是一個與整個封面長、寬比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？（4）解方程并得出結(jié)論，對比幾種方法各有什么特點.利用生活中常見的問題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，有利于學(xué)生主動參與，感受到數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活.活動二：實踐探究交流新知教師提出問題（1），學(xué)生分析，請一名同學(xué)回答，教師在題目中指出數(shù)量關(guān)系；教師提出問題（2），學(xué)生思考，請一名同學(xué)回答，可舉簡單例子說明，最后引導(dǎo)學(xué)生得出正中央矩形的長、寬比是9∶7.教師提出問題（3），學(xué)生分組討論，選代表上臺演示、回答，每位同學(xué)要著重分析對題目中的數(shù)量關(guān)系的處理方法.其中，設(shè)左、右邊襯和上、下邊襯的寬分別為7xcm和9xcm，教師要配合圖形的平移加以電腦演示.教師提出問題，學(xué)生分組，分別按問題（3）中所列的方程來解答，選代表展示解答過程，并講解解題過程和應(yīng)注意的問題.在活動中，教師應(yīng)注意：（1）學(xué)生對幾何圖形的分析能力；（2）學(xué)生在未知數(shù)的選擇上，能否根據(jù)情況靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）解一元二次方程的能力；（5）學(xué)生回答問題時的語言表達是否準確.1.重視培養(yǎng)學(xué)生讀題和審題的能力.2.把實際問題符號化，為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題創(chuàng)造條件.3.培養(yǎng)學(xué)生樹立方程意識，滲透方程思想.活動三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【應(yīng)用舉例】例1有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣大小的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生進行審題，確定好問題類型，然后指導(dǎo)學(xué)生按照圖形面積公式進行解答.圖21－3－13學(xué)生自主設(shè)未知數(shù)并列方程進行解答，教師做好點評和糾正.變式練習(xí)：用總長10m的鋁合金材料做一個如圖21－3－13所示的窗框（不計損耗），窗框的外圍是矩形，上部是兩個全等的正方形，窗框的總面積為3.52m2（材料的厚度忽略不計）.若設(shè)小正方形的邊長為xm，下列方程符合題意的是（）A.2x（10－7x）＝3.52B.2x·eq\f(10－7x,2)＝3.52C.2x（x＋eq\f(10－7x,2)）＝3.52D.2x2＋2x（10－9x）＝3.52應(yīng)用舉例使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值，由此提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.【拓展提升】例2如圖21－3－14，某中學(xué)為方便師生活動，準備在長30m，寬20m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫、縱路的寬度之比為3∶2.若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，則路寬應(yīng)為多少？教師提出問題：圖21－3－14（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）由這些數(shù)量關(guān)系還能得出什么新的結(jié)論？你想如何利用這些數(shù)量關(guān)系？為什么？如何列方程？（3）有什么方法使本題易于解決？教師引導(dǎo)學(xué)生進行交流、討論，確定出解決問題的方法，并適時點撥、提示，指導(dǎo)學(xué)生進行解答.拓展提升環(huán)節(jié)，學(xué)生通過探究與討論，感受了將題目中的數(shù)量關(guān)系進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)變對解題的影響，活躍了解題思路.活動四：課堂總結(jié)反思【達標(biāo)測評】1.用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的矩形，a的值不可能是（D）A.20B.40C.100D.1202.如圖21－3－15，在長為30米、寬為20米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地.若耕地面積需要551平方米，則修建的路寬應(yīng)為（A）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米圖21－3－15圖21－3－163.圖21－3－16是矩形養(yǎng)雞場的平面示意圖，其中一面靠墻，另外三面用竹籬笆圍成.若竹籬笆總長為35m，所圍矩形養(yǎng)雞場的面積為150m2，則此矩形養(yǎng)雞場的長、寬分別為多少？4.有一塊長28cm、寬20cm的矩形紙片，在它的四角各截去一個相同的小正方形，然后將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子，若使長方體盒子的底面積為180cm2，求截去的小正方形的邊長.學(xué)生進行當(dāng)堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解.通過設(shè)置達標(biāo)測評，進一步鞏固所學(xué)新知，同時檢測學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂清”.1.課堂總結(jié)：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？（2）本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！教師總結(jié)：面積應(yīng)用題的解答主要是利用面積公式列方程.2.布置作業(yè)：教材第21～22頁習(xí)題21.3第3，5，9題.指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的好習(xí)慣，加強教學(xué)反思，進一步提高教學(xué)效果.【知識網(wǎng)絡(luò)】提綱挈領(lǐng)，重點突出.【教學(xué)反思】①[授課流程反思]在探究新知的環(huán)節(jié)中，由于教材問題設(shè)置較為復(fù)雜，所以教師做好必要的引導(dǎo)是關(guān)鍵，幫助學(xué)生分析圖形之間的比例關(guān)系，使學(xué)生清晰地認識問題；在課堂訓(xùn)練的環(huán)節(jié)中，學(xué)生能夠順利地解答，實現(xiàn)了高效課堂.②[講授效果反思]引導(dǎo)學(xué)生注意：（1）面積問題考慮利用面積公式列方程；（2）復(fù)雜圖形的面積要進行分割或填充；（3）檢驗求得的解是否符合實際.③[師生互動反思]師生交流過程中，學(xué)生對于面積問題有較深的理解，基礎(chǔ)好，列方程解答較為簡便，對于過程中的個別問題，教師可交給學(xué)生討論、解答.④[習(xí)題反思]好題題號錯題題號反思教學(xué)過程和教師表現(xiàn)，進一步優(yōu)化操作流程和提升自身素質(zhì).典案二導(dǎo)學(xué)設(shè)計學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.使學(xué)生掌握列方程解應(yīng)用題中寫“關(guān)系式”及找相等關(guān)系列方程方法；2.使學(xué)生理解列方程實質(zhì)在于會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目里的關(guān)系式；3.采用對面積的割補、移動的方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用的能力．重點和難點：認真審題，分析題中數(shù)量關(guān)系，適當(dāng)設(shè)未知數(shù)，尋找等量關(guān)系，列方程是重點也是難點.學(xué)習(xí)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境1.寫出本節(jié)課的課題：一元二次方程的應(yīng)用．2.請同學(xué)們回憶并回答解一元一次方程應(yīng)用題的一般步驟：3.解一元二次方程的應(yīng)用題的步驟與解一元一次方程應(yīng)用題的步驟一樣．我們先來解決§22.1的問題1，然后總結(jié)一些規(guī)律或應(yīng)注意事項．二、探究歸納例1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？分析我們已經(jīng)知道可以運用方程解決實際問題．現(xiàn)設(shè)長方形綠地寬為x米，不難列出方程：三、實踐應(yīng)用例2如圖1，在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應(yīng)為多少？分析此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等于540米2．解法1如圖2，設(shè)道路的寬為x米，則橫向的路面面積為______．縱向的路面面積為______．所列的方程是不是32×20-(32x＋20x)＝540？啟發(fā)學(xué)生思考，務(wù)必把這一點弄明白！解法2利用“圖形平行移動”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）如圖3，設(shè)路寬為x米，耕地矩形的長(橫向)為______．耕地矩形的寬(縱向)為______．例3如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米．求截去正方形的邊長．分析設(shè)截去正方形的邊長為x厘米后，關(guān)鍵在于列出底面（圖示虛線部分）長和寬的代數(shù)式．結(jié)合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數(shù)式．解設(shè)截去正方形的邊長為x厘米，根據(jù)題意，得練習(xí)：1.學(xué)生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的長方形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙．經(jīng)試驗，彩紙面積為相片面積的三分之二時較美觀，求鑲上彩紙條的寬（精確到0.1厘米）.2.豎直上拋物體的高度h和時間t符合關(guān)系式,其中重力加速度g以10米/秒2計算．爆竹點燃后以初速度v0＝20米/秒上升，問經(jīng)過多少時間爆竹離地15米?四、歸納小結(jié)1.列方程解應(yīng)用題的步驟是：2.面積問題常要用到割、補、運動等技法．例2中，縱、橫兩條路有一塊重疊的面積最容易忽略，解法2采用了運動的辦法，是一種靈活解題的能力．總之：在應(yīng)用一元二次方程解實際問題時，也像以前學(xué)習(xí)一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住主要的數(shù)量關(guān)系，列出方程的解之后，要注意檢驗是否符合題意，然后得到原問題的解答．五、作業(yè)1.學(xué)校課外生物小組的試驗園地是一塊長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為600平方米，