第十三章三角形大單元教學(xué)設(shè)計大單元主題背景分析（教材分析）教材地位教材地位與作用三角形是初中幾何的基石，本章內(nèi)容既是七年級“線段、角”知識的深化，也為后續(xù)學(xué)習(xí)“全等三角形”“軸對稱圖形”等章節(jié)奠定基礎(chǔ).通過研究三角形的基本概念、邊角關(guān)系、特殊線段（高、中線、角平分線）及內(nèi)角和性質(zhì)，學(xué)生將系統(tǒng)掌握幾何圖形的核心要素，培養(yǎng)空間觀念與邏輯推理能力.新課標銜接新課標銜接與核心素養(yǎng)幾何直觀：通過觀察、操作（如畫高、折中線）感知三角形穩(wěn)定性及內(nèi)角和規(guī)律；推理能力：從“三角形內(nèi)角和為180°”的證明，到直角三角形性質(zhì)與判定的邏輯推導(dǎo)；模型觀念：結(jié)合實際問題（如設(shè)計三角形支架、計算多邊形內(nèi)角和），建立三角形模型解決現(xiàn)實問題.學(xué)情分析學(xué)情分析認知基礎(chǔ)：學(xué)生已熟悉線段、角的基本性質(zhì)，但空間想象能力較弱，對“三角形穩(wěn)定性”的抽象理解存在困難；學(xué)習(xí)難點：動態(tài)理解三角形高、中線、角平分線的區(qū)別與聯(lián)系，以及直角三角形斜邊中線性質(zhì)的應(yīng)用；興趣點：通過實驗操作（如拼接三角形紙片）和實際測量（如校園內(nèi)三角形結(jié)構(gòu)）激發(fā)探究欲望.單元教學(xué)目標知識與技能知識與技能1.理解三角形的定義及分類（按角、按邊），掌握三角形三邊關(guān)系定理；2.識別并畫出三角形的高、中線、角平分線，理解其性質(zhì)（如中線平分面積）；3.掌握三角形內(nèi)角和為180°，外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和；4.理解直角三角形的性質(zhì)（如斜邊中線等于斜邊一半）及判定方法（如一個角為90°）.數(shù)學(xué)思考數(shù)學(xué)思考1.經(jīng)歷從“實驗操作”到“邏輯論證”的推理過程（如通過折疊驗證內(nèi)角和）；2.培養(yǎng)分類討論思想（如已知兩邊及一邊對角時三角形的存在性分析）；3.建立幾何命題的逆向思維（如從內(nèi)角和反推外角性質(zhì)）.問題解決問題解決1.能用三角形穩(wěn)定性原理解決實際問題（如設(shè)計穩(wěn)固的支架）；2.運用內(nèi)角和、外角性質(zhì)計算特殊圖形角度；3.通過小組合作完成項目式學(xué)習(xí)（如“校園內(nèi)三角形結(jié)構(gòu)調(diào)查”）.情感態(tài)度情感態(tài)度1.感受幾何圖形在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值；2.培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)表達習(xí)慣（如規(guī)范書寫證明過程）；3.增強團隊合作意識（如小組討論中的角色分工）.學(xué)習(xí)活動設(shè)計活動一三角形的概念活動一活動二與三角形有關(guān)的線段活動二活動三活動三學(xué)習(xí)評價設(shè)計過程性評價過程性評價課堂表現(xiàn)：通過提問、板演記錄學(xué)生參與度（占比20%）；實踐任務(wù)：評價尺規(guī)作圖、模型制作等動手操作能力（占比30%）；階段性測驗：設(shè)計分層測試題（基礎(chǔ)題、變式題、拓展題），關(guān)注思維過程而非唯一答案.終結(jié)性評價終結(jié)性評價單元測試：包含選擇題（概念辨析）、填空題（性質(zhì)應(yīng)用）、解答題（綜合證明）和開放題；成長檔案袋：收集學(xué)生錯題分析、思維導(dǎo)圖、學(xué)習(xí)反思等材料.反思性教學(xué)改進教學(xué)實施反思問題1：部分學(xué)生對“三角形高”的概念理解困難，尤其在鈍角三角形中.改進策略：增加動態(tài)演示（如幾何畫板展示高隨頂點移動的變化），設(shè)計對比實驗（銳角、直角、鈍角三角形高的位置）.問題2：小組討論參與度不均衡.改進策略：采用“異質(zhì)分組+角色輪換制”，設(shè)置“記錄員”“匯報員”“質(zhì)疑員”等明確職責(zé).資源優(yōu)化建議1.開發(fā)“三角形性質(zhì)”互動微課，支持學(xué)生課前預(yù)習(xí)與課后鞏固；2.引入AR技術(shù)，通過虛擬實驗觀察三角形穩(wěn)定性（如橋梁結(jié)構(gòu)中的三角形應(yīng)用）.長效目標調(diào)整1.將“數(shù)學(xué)文化”融入課堂（如介紹古代建筑中的三角形結(jié)構(gòu)）；2.聯(lián)合物理教師開展“三角形與力的平衡”跨學(xué)科項目，強化核心素養(yǎng)的綜合性培養(yǎng).單元教學(xué)結(jié)構(gòu)圖教學(xué)設(shè)計活動一三角形的概念活動一情境引入思考：觀察三角形的形成過程，說一說什么叫三角形.師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生理解情境問題，合作探究，積極參與到課堂中去．設(shè)計意圖：生活中的實際案例引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.從生活中，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)存在的數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活；同時引出本節(jié)課題.探究新知概念學(xué)習(xí)：三角形由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.注意：三個要點缺一不可不在同一條直線上+三條線段+首尾順次相接思考：觀察如圖所示的三角形，說一說三角形由哪些元素構(gòu)成.師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．三角形的表示方法：“三角形”用符號“Δ”表示，如果頂點是A，B，C的三角形記做“ΔABC”，讀做“三角形ABC”.表示三角形時，字母沒有先后順序.即：可以記作△ABC，也可記作△ACB.在△ABC中，AB邊所對的角是：∠C∠A所對的邊是：BC追問：再說幾個對邊與對角的關(guān)系試試.思考：按照三角形內(nèi)角的大小，三角形可以分為哪幾類？思考：你能找出下列三角形各自的特點嗎？答案：總結(jié)：三條邊各不相等的三角形叫作不等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形．追問：等邊三角形和等腰三角形之間有什么關(guān)系？結(jié)論：等腰三角形兩邊相等，等邊三角形三邊相等.等邊三角形是特殊的等腰三角形.思考：按照三角形三邊情況，三角形可以分為哪幾類？練習(xí)：判斷以下命題的真假：（1）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形.（）（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.（）（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）（4）等邊三角形是銳角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）（6）銳角三角形是三條邊都不相等的三角形；（）（7）等腰三角形是等邊三角形；（）（8）等邊三角形是等腰三角形．（）答案：×√×√×××√師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充．設(shè)計意圖：把未知的知識交給學(xué)生，讓他們在合作學(xué)習(xí)的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，探索新方法，從而獲得成功的喜悅．這樣一來又大大調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作精神，同時又使學(xué)生的觀察力和語言表達能力得到了鍛煉．應(yīng)用新知例1.下列圖形是三角形嗎？答案：例2.如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，BD=AD=DC=AC.（1）寫出以點C為頂點的三角形；（2）寫出以AB為邊的三角形；（3）找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.例3.（1）圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形．（2）以AB為邊的三角形有哪些？（3）以E為頂點的三角形有哪些？（4）以∠D為角的三角形有哪些？（5）說出△BCD的三個角和三個頂點所對的邊.解：（1）5個，分別是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.（2）△ABC、△ABE.（3）△ABE、△BCE、△CDE.（4）△BCD、△DEC.（5）△BCD的三個角是∠BCD、∠D和∠CBD.頂點B所對的邊為DC，頂點C所對的邊為BD，頂點D所對的邊為BC.例4.把下列三角形進行分類，并把序號填入到正確的位置．(1)按邊分類：三邊均不相等的____________是不等邊三角形；兩條邊相等的____________是等腰三角形；三條邊相等的______是等邊三角形．(2)按角分類：都是銳角的_________是銳角三角形；有直角的_________是直角三角形；有鈍角的______是鈍角三角形．答案：②④⑤⑦，①③⑥⑧，①；①④⑥，③⑤⑦，②⑧例5.圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC，要求：（1）在圖①中畫一個直角三角形，在圖②中畫一個銳角三角形，在圖③中畫一個鈍角三角形．（2）點C在格點上．答案：師生活動：學(xué)生獨立完成,然后同桌互批;教師鼓勵學(xué)生到黑板前演示,再走到學(xué)生中間對個別學(xué)生指導(dǎo),在學(xué)生完成后組織學(xué)生進行交流、評價和實物投影展示,對于細節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進行糾錯,必須做到解題規(guī)范.設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識，同時培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運用知識.學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識.活動二活動二情境引入思考：從A到C你會選擇哪條路？追問：為什么？你能證明嗎？證明：∵AB為線段∴AC+BC>AB（兩點之間線段最短）同理，AB+BC>ACAC+AB>BC師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生理解情境問題，合作探究，積極參與到課堂中去．設(shè)計意圖：生活中的實際案例引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.從生活中，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)存在的數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活；同時引出本節(jié)課題.探究新知思考：任意選三根小棒，能圍成一個三角形嗎？先圍一圍，再與同學(xué)交流.師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．追問：為什么有的圍的起來，有的圍不起來呢？記錄一下所有你圍成的邊長情況，分析交流一下吧！任意選取三根小棒,圍一圍,發(fā)現(xiàn)有的能圍成一個三角形,有的則不能.追問：以第三次為例，說明為什么不能構(gòu)成三角形.追問：根據(jù)以上結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？得出初步的結(jié)論：兩條短邊的長度之和要大于最長的邊.探究：三角形任意兩邊長度的和真的是一定大于第三邊嗎？每位同學(xué)都來試試，先畫一個三角形，再量一量、算一算，看看有沒有能推翻這個結(jié)論的“例子”！結(jié)論：三角形兩邊的和大于第三邊.三角形兩邊的差小于第三邊.即a+b>c,a+c>b,b+c>a，ab<c,ac<b,bc<a思考：把三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？三角形木架的形狀不會改變，說明三角形具有穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性:只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動或拉不動”的問題，其實質(zhì)應(yīng)是“三角形的邊長一旦確定，其形狀和大小就確定了”.追問：三角形的穩(wěn)定性有著廣泛的應(yīng)用，以下是其中的一些例子.你能再舉出一些例子嗎？......師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充．設(shè)計意圖：把未知的知識交給學(xué)生，讓他們在合作學(xué)習(xí)的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，探索新方法，從而獲得成功的喜悅．這樣一來又大大調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作精神，同時又使學(xué)生的觀察力和語言表達能力得到了鍛煉．探究新知思考：如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水源處，應(yīng)該怎么分？回顧：什么叫垂線？線段中點？角平分線？在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.如圖，在△ABC中，E是BC的中點.則AE是BC邊上的中線，此時BE=CE.如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線.則E是BC的中點，此時BE=CE.思考：每一個三角形都有個頂點，因此每一個三角形都有條中線.如圖，畫出三角形的中線.追問：這三條中線之間有怎樣的位置關(guān)系?追問：銳角三角形的三條中線是在三角形的內(nèi)部還是外部?追問：對于任意三角形，是否也滿足“三條中線相交于一點”？分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條中線，并觀察三條中線是否相交于一點.思考：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系，為什么？通過以上問題你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1.三角形的三條中線相交于一點，這點叫做三角形的重心.2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.3.三角形重心的性質(zhì)總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．思考：你能類比三角形的中線的定義，說明什么是三角形的角平分線嗎？追問：三角形的角平分線與角的平分線相同嗎?思考：每一個三角形都有個內(nèi)角，因此每一個三角形都有條角平分線.如圖，畫出三角形的角平分線.追問：這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系?追問：銳角三角形的三條角平分線是在三角形的內(nèi)部還是外部?追問：對于任意三角形，是否也滿足“三條角平分線相交于一點”？分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線，并觀察三條角平分線是否相交于一點.高的敘述方法（如圖）：有三種①AD是△ABC的高.②AD⊥BC，垂足為D.③點D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.思考：每一個三角形都有個頂點，因此每一個三角形都有條高.追問：這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系?追問：銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?追問：對于任意三角形，是否也滿足“三條高相交于一點”?分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條高，并觀察三條高是否相交于一點.思考：鈍角三角形的三條高相交嗎？它們所在的直線交于一點嗎？這點位于何處？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充．設(shè)計意圖：把未知的知識交給學(xué)生，讓他們在合作學(xué)習(xí)的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，探索新方法，從而獲得成功的喜悅．這樣一來又大大調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作精神，同時又使學(xué)生的觀察力和語言表達能力得到了鍛煉．應(yīng)用新知例1.下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm.解：（1）不能，因為3cm+4cm<8cm．（2）不能，因為5cm+6cm=11cm．（3）能，因為5cm+6cm>10cm．歸納總結(jié)：判斷三條線段是否可以組成三角形，只需判斷兩條較短線段長之和是否大于第三條線段長即可.例2.一個三角形的三邊長分別為4，7，x，那么x的取值范圍是()A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞3解：∵三角形的三邊長分別為4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.歸納總結(jié)：三角形的第三邊長x滿足兩邊之差＜x＜兩邊之和.若三角形的三邊長分別為a，b，則第三邊長度x應(yīng)該滿足：|ab|<x<a+b.例3.若三角形的兩邊長分別是2和7，第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長.解：設(shè)第三邊的長為x，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得：x＜2+7即x＜9根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：x>72即x>5所以x的值大于5小于9，又因為它是奇數(shù)，所以x只能取7.例4.用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形．（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？解：（1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm．x+2x+2x=18．解得x=3.6.所以，三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm．（2）①如果4cm長的邊為底邊，設(shè)腰長為xcm，則4+2x=18．解得x=7.②如果4cm長的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm，則4×2+x=18.解得x=10.因為4+4＜10，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長為4的等腰三角形．由以上討論可知，第①種情況可以圍成底邊長為4cm的等腰三角形．例5.蓋房子時，在窗框未安裝好之前，工人師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢?生活中還有哪些是利用了這個原理？解：利用三角形的穩(wěn)定性.四邊形不穩(wěn)定,容易變形.斜釘一根木條后，就形成了兩個三角形，利用三角形的穩(wěn)定性可以預(yù)防窗框變形.例6.如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水源處，應(yīng)該怎么分？解：根據(jù)面積比值為1：1：2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.利用三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個小三角形的性質(zhì).如圖，分別作出兩條中線，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面積之比就是1：1：2.例7.如圖，AD為△ABC的中線，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周長差是4cm，求△ABC的邊AC的長（AC＜AB）.解:∵AD為△ABC的中線∴BD＝CD∵△ABD和△ADC的周長差是4cm∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD＝AB﹣AC＝4cm∵AB＝12cm∴AC＝AB﹣4cm＝8cm∴△ABC的邊AC的長為8cm例8.如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.例9.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）.若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.例10.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）.若∠B=x°，∠C=y°，求∠DAE(用x,y表示).例11.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高（）例12.如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，試作出BC邊上的高AE，并求AE的長.解：如圖，過點A作BC邊上的高線AE，交CB延長線于點E

∵1/2BC?AE＝1/2AC?BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3∴1/2×4AE＝1/2×8×3解得AE＝6∴AE的長為6師生活動：學(xué)生獨立完成,然后同桌互批;教師鼓勵學(xué)生到黑板前演示,再走到學(xué)生中間對個別學(xué)生指導(dǎo),在學(xué)生完成后組織學(xué)生進行交流、評價和實物投影展示,對于細節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進行糾錯,必須做到解題規(guī)范.設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識，同時培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運用知識.學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識.活動三活動三復(fù)習(xí)回顧思考：三角形的內(nèi)角和是多少？我們怎么證明呢？設(shè)計意圖：由問題導(dǎo)入新課，既復(fù)習(xí)了舊知識，又引出了新課題，最后設(shè)置懸念，既增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對學(xué)生探究新知識起到很好的推動作用，讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達的能力，又發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使他們的注意力始終集中在課堂上．探究新知由于測量常常有誤差，這樣驗證三角形的內(nèi)角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三角形有無數(shù)個，我們不可能用上述方法一一驗證所有三角形的內(nèi)角和等于180°.因此，需要通過推理的方法去證明：任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°證明方法三：推理驗證法（1）證明：過點A作l∥BC，∴∠B=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°證明方法三：推理驗證法（2）證明：延長BC到D，過點C作CE∥BA∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°證明方法三：推理驗證法（3）證明：過D作DE∥AC,作DF∥AB∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°∴∠A+∠B+∠C=180°思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？結(jié)論：借助的平行線“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化到一個平角上.師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．設(shè)計意圖：在教學(xué)中運用探究式教學(xué)模式，不僅使學(xué)生體驗教學(xué)再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造意識和科學(xué)精神.溯源三角形的內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180°.帕斯卡：（1623—1662）是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.早在300多年前，他12歲時，就獨立發(fā)現(xiàn)了任何三角形的內(nèi)角和都是180°.應(yīng)用新知例1.求出下列各圖中的x值.答案如上例2.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度數(shù).解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°∠B∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=1/2∠BAC=30°.∴∠ADC=180°∠C∠CAD=72°.例3.如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.歸納總結(jié)事實上，在△AEF中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°,在△CDF中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°,而∠AFE=∠CFD，故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD.這樣的模型我們稱之為“八字模型”.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.常見的模型由三角形的內(nèi)角和定理易得，∠1+∠2=∠3+∠4.例4.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B和∠C.解：設(shè)∠C為x°，則∠B為2x°，從而有x+2x+60＝180.解得x＝40.∴2x＝80.答：∠C，∠B的度數(shù)分別為40°，80°.總結(jié)：幾何問題借助方程來解，這是一個重要的數(shù)學(xué)思想.變式：在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點O，求∠AOC的度數(shù)．例5.如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù).師生活動：學(xué)生獨立完成,然后同桌互批;教師鼓勵學(xué)生到黑板前演示,再走到學(xué)生中間對個別學(xué)生指導(dǎo),在學(xué)生完成后組織學(xué)生進行交流、評價和實物投影展示,對于細節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進行糾錯,必須做到解題規(guī)范.設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握所學(xué)知識，同時培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運用知識.學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識.探究新知思考：如下圖所示是我們常用的三角板，它們兩銳角的度數(shù)之和分別為多少度?追問：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，可得：∠A+∠B=90°.由此可得：直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．應(yīng)用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．設(shè)計意圖：把未知的知識交給學(xué)生，讓他們在合作學(xué)習(xí)的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，探索新方法，從而獲得成功的喜悅．這樣一來又大大調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)和提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作精神，同時又使學(xué)生的觀察力和語言表達能力得到了鍛煉．應(yīng)用新知例1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若∠A=40°，求∠BCD.解：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠B=50°,在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180°∴∠BCD=40°.思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？事實上，在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°因此，∠B=∠ACD，同理可得，∠A=∠BCD.例2.如圖,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，求∠AHC.提示：能否找出以上雙垂直模型？例3.如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？事實上，這是一個條件更多的“八字型”.如圖，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，則∠A=∠C.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生審題，學(xué)生弄清題意后，師生共同分析思路，學(xué)生口答，教師板書解題過程.設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生認真思考；發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動地參與教學(xué)活動，發(fā)揚數(shù)學(xué)民主，讓學(xué)生在獨立思考、合作交流等數(shù)學(xué)活動中，培養(yǎng)學(xué)生合作互助意識，提高數(shù)學(xué)交流與數(shù)學(xué)表達能力.應(yīng)用新知例4.如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC直角三角形嗎？歸納總結(jié)：直角三角形的判定有兩個角互余的三角形是直角三角形.應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．例5.如圖，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分線相交于H點，那么△AHC是直角三角形嗎？為什么？例6.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若∠A=40°，求∠BCD.解：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠B=50°,在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180°∴∠BCD=40°.思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？雙垂直模型事實上，在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°因此，∠B=∠ACD，同理可得，∠A=∠BCD.例7.如圖,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，求∠AHC.解：∵AD、CE是△ABC的高，∴∠CEB=∠CDA=90°，在Rt△EBC中，∠B+∠BCH=90°.在Rt△HDC中，∠CHD+∠BCH=90°.∴∠CHD=∠B=50°，∴∠AHC=180°∠CHD=130°.思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于點F，∠A與∠BFC有如下關(guān)系：∠A+∠BFC=180°.證明：∵CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，∴∠BEA=∠BDF=90°.∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.例8.如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：∠CAE=∠DBE.理由如下：在Rt△ACE中，∠CAE=90°∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.總結(jié)歸納：雙垂八字型如圖，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，則∠A=∠C.證明：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.思考：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC直角三角形嗎？解：△ABC是直角三角形，理由如下：在△ABC中，因為∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=90°，所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形.歸納總結(jié)：直角三角形的判定有兩個角互余的三角形是直角三角形.應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充．設(shè)計意圖：在教學(xué)中運用探究式教學(xué)模式，不僅使學(xué)生體驗教學(xué)再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造意識和科學(xué)精神.探究新知思考：假期，果果到爺爺?shù)霓r(nóng)田中幫忙，其中有一塊田是三角形形狀的.果果沿著這塊三角形農(nóng)田周圍的小路，按逆時針行走.小明每從AC小路到AB小路時，身體轉(zhuǎn)過的角度是多少？三角形的外角：如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個外角.三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點，②角的一邊是三角形的一邊，③另一邊是三角形中一邊的延長線.思考：如圖，延長AC到E，∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.追問：每個頂點處有幾個外角？它們有何關(guān)系？每個頂點處有2個外角，如上圖，△ABC在點C處有兩個外角，分別是∠BCE和∠ACD，它們是對頂角，因此它們相等.追問：三角形共有幾個外角？每一個三角形都有6個外角．每一個頂點相對應(yīng)的外角都有2個，且這2個角為對頂角.思考：三角形的一個外角和它相鄰的內(nèi)角有何數(shù)量關(guān)系？三角形的一個外角和它不相鄰的兩個內(nèi)角有何數(shù)量關(guān)系？求證：∠BCD=∠A+∠B.證法一：由三角形的內(nèi)角和可知∠A+∠B+∠ACB=180°由鄰補角的定義可知∠BCD+∠ACB=180°∴∠BCD=∠A+∠B.思考：你還有其他證法嗎？三角形內(nèi)角和定理的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.應(yīng)用格式：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD=∠A+∠B.說明：推論是由定理直接推出的結(jié)論.和定理一樣，推論可以作為進一步推理的依據(jù).思考：如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.追問：你還有其他解法嗎？三角形的外角和：三角形每個頂點處分別有兩個外角，如果每個處各取一個外角，那么這三個外角的和就叫做三角形的外角和.結(jié)論：三角形的外角和等于360°.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考三角形的外角，待學(xué)生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充．設(shè)計意圖：通過對三角形外角的探索，拓展學(xué)生的思維.嘗試不同解法，培養(yǎng)思維發(fā)散性.應(yīng)用新知例1.如圖，∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？說一說圖中還有外角嗎？解：∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.例2.求出下列圖形中∠1的度數(shù).例3.已知圖中∠A、∠B、∠C分別為80°，20°，30°，求∠1的度數(shù).解：∵∠2是△ACD的一個外角，∴∠2=∠3+∠C=110°，∵∠1是△BDE的一個外角，∴∠1=∠B+∠2=130°.追問：如何把圖中∠1、∠2、∠3按由大到小的順序排列？例4.如圖，D是△ABC的BC邊上一點，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).解:（1）因為∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°.又因為∠B＝∠BAD，所以∠B＝80°÷2＝40°.（2）在△ABC中，因為∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－40°－70°＝70°例5.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).例6.如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=.師生活動：學(xué)生獨立完成,然后同桌互批;教師鼓勵學(xué)生到黑板前演示,再走到學(xué)生中間對個別學(xué)生指導(dǎo),在學(xué)生完成后組織學(xué)生進行交流、評價和實物投影展示,對于細節(jié)上存在的問題要讓學(xué)生進行糾錯,必須做到解題規(guī)范.設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學(xué)生真正掌握外角的應(yīng)用，同時培養(yǎng)學(xué)生變相思考問題的能力，運用知識.學(xué)生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識.課堂小結(jié)師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.本節(jié)課你學(xué)到了什么？什么是三角形？如何表示？其基本要素有哪些？三角形如何分類？三角形的三邊有何數(shù)量關(guān)系？這種數(shù)量關(guān)系有何應(yīng)用？三角形具有穩(wěn)定性，你能舉出幾個例子嗎？你會畫三角形的中線、角平分線和高嗎？它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？三角形的內(nèi)角和是多少？如何證明？直角三角形的性質(zhì)是什么？如何判定？什么是三角形的外角？三角形的外角有什么性質(zhì)？設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.由教師引導(dǎo)，學(xué)生進行總結(jié)，目的是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有助于學(xué)生在理解新知識的基礎(chǔ)上，及時把知識系統(tǒng)化，條理化.當堂練習(xí)1.圖中的銳角三角形有()A.3個B.4個C.5個D.6個2.下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，其中不能判斷三角形類型的是（

）3.下列長度的線段不能組成三角形的是（）A.3，8，4 B.4，9，6C.15，20，8 D.9，15，84.如圖，橋梁的斜拉鋼索是三角形的結(jié)構(gòu)，主要是為了()A.節(jié)省材料,節(jié)約成本B.保持對稱C.利用三角形的穩(wěn)定性D.美觀漂亮5.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠CB．∠A∠B=∠CC．∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D．∠A=2∠B=3∠C6.在一個直角三角形中，有一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠CB．∠A∠B=∠CC．∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D．∠A=2∠B=3∠C8.如圖，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于()A.26°B.63°C.37°D.60°9.如圖，共有6個三角形，其中以AC為邊的三角形是________________________；以∠B為內(nèi)角的三角形有_________________________.10.已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm，3cm，則這個三角形的周長為_______.11.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠C=°.12.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=______°.13.若a，b，c是△ABC的三邊長，化簡|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.14.BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，求△ABD和△BCD的周長的差.15.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.16.如圖，在△ABC中，∠A＝1/2∠B＝1/3∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．17.如圖，在△ABC中，已知∠B=1/2∠A=1/3∠C.求證:△ABC為直角三角形.18.如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).師生活動：學(xué)生做練習(xí)，教師訂正答案.設(shè)計意圖：通過練習(xí)來鞏固、強化課堂上所學(xué)的知識，并且培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.通過分層練習(xí)，進一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)更加完善.同時強化本課的教學(xué)重點，突破教學(xué)難點.單元作業(yè)設(shè)計A組A組A． B． C． D．【答案】D故選：D．【答案】B【分析】此題主要考查了三角形