福建省南安一中10-11學(xué)年高二下學(xué)期期末試題（數(shù)學(xué)文）一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$(0,+\infty)$2.若$a$、$b$、$c$是等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a^2+b^2+c^2=3ab$，則該等差數(shù)列的公差為：A.1B.$\sqrt{2}$C.$-\sqrt{2}$D.0二、填空題3.設(shè)$a$、$b$是方程$x^2-2ax+1=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}=$4.若$\triangleABC$中，$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則$\sinC=$三、解答題5.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。6.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）在$x=1$時(shí)取得極大值，且$f(0)=1$，$f(2)=5$，求函數(shù)$f(x)$的解析式。四、解答題7.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\cosA$的值。8.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n-4$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。五、解答題9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，求：（1）$f'(x)$；（2）$f'(x)$的零點(diǎn)；（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。六、解答題10.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x}$，求：（1）$f'(x)$；（2）$f(x)$在區(qū)間$(-1,0)$上的單調(diào)性；（3）$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上的極值點(diǎn)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-x$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$。令$f'(x)>0$，得$-x>0$，即$x<0$，故函數(shù)在$(-1,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減。所以單調(diào)遞增區(qū)間為$(-1,0)$，選B。2.A解析：由$a^2+b^2+c^2=3ab$，得$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$，因?yàn)槠椒胶蜑?，所以每個(gè)平方項(xiàng)都為0，即$a=b=c$。由于$a$、$b$、$c$是等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，公差$d=b-a=a-c=0$，所以公差為1，選A。二、填空題3.$\frac{3}{2}$解析：由韋達(dá)定理，$a+b=2a$，$ab=1$，則$\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}=\frac{a^3+b^3}{ab}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab}=\frac{2a(a^2-1)}{1}=2a(a-1)=2(2a-1)=\frac{3}{2}$。4.$\frac{4}{5}$解析：由$\sinA=\frac{3}{5}$，得$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{4}{5}$。由$\cosB=\frac{4}{5}$，得$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{3}{5}$。由$\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$。三、解答題5.$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}-n=\frac{3n^2+3n-2n}{2}=\frac{3n^2+n}{2}$解析：由數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=3n-2$，可知數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$S_n=\sum_{i=1}^{n}(3i-2)=3\sum_{i=1}^{n}i-\sum_{i=1}^{n}2=3\frac{n(n+1)}{2}-2n=\frac{3n^2+3n-4n}{2}=\frac{3n^2-n}{2}=\frac{3n^2+n}{2}$。6.$f(x)=x^2-2x+1$解析：由$f(0)=1$，得$c=1$。由$f(2)=5$，得$a\cdot2^2+b\cdot2+1=5$，即$4a+2b=4$。由$f'(x)=2ax+b$，得$f'(1)=2a+b=0$。解方程組$\begin{cases}4a+2b=4\\2a+b=0\end{cases}$，得$a=1$，$b=-2$。所以$f(x)=x^2-2x+1$。四、解答題7.$\cosA=\frac{1}{2}$解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{1}{2}$。8.$S_n=\frac{3n^2-n}{2}$解析：由數(shù)列的遞推公式$a_{n+1}=3a_n-4$，得$a_2=3a_1-4$，$a_3=3a_2-4$，依此類推。通過遞推關(guān)系可得$a_n=3^{n-1}a_1-4(3^{n-2}+3^{n-3}+\ldots+1)$。由于$a_1=2$，代入上式得$a_n=3^{n-1}\times2-4\left(\frac{3^{n-1}-1}{3-1}\right)=3^{n-1}\times2-2(3^{n-1}-1)=2\times3^{n-1}-2\times3^{n-1}+2=2$。所以數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=2n$。五、解答題9.（1）$f'(x)=3x^2-3$；（2）$f'(x)=0$的解為$x=\pm1$；（3）$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(-1,1)$。解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$，得$x^2=1$，即$x=\pm1$。當(dāng)$x<-\sqrt{3}$或$x>\sqrt{3}$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。10.（1）$f'(x)=\frac{2x}{(1+x)^2}$；（2）$f(x)$在區(qū)間$(-1,0)$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$(0,1)$上單調(diào)遞增；（3）$f(x)$在$x=0$處取得極小值。解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\frac{x(2+2x-x^2)}{(1+x)^2}=\fr