試題試題2024北京三十五中高二12月月考數(shù)學(xué)1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．點(diǎn)（5，－3）到直線x＋2＝0的距離等于A．7 B．5 C．3 D．23．若直線與直線垂直，則a的值為（

）A．2 B．1 C． D．4．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B．C． D．5．如圖，在四面體中，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（

）A． B．C． D．6．已知橢圓的焦點(diǎn)為，．過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．7．已知直線和圓：，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定8．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件9．已知拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（

）A． B．C． D．10．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見(jiàn)現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線的均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則曲線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，再縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到的曲線方程為（

）A． B．C． D．二、填空題11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).則圓O的方程為_(kāi)_______；若直線與圓O交于兩點(diǎn)A，B，則弦長(zhǎng)=____________.12．寫(xiě)出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并寫(xiě)出該雙曲線的漸近線方程．13．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于．14．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小值為2②四面體的體積為③有且僅有一條直線與垂直④存在點(diǎn)，使為等邊三角形其中所有正確的序號(hào)是____________.四、解答題16．如圖，在長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)在上，且.(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值.17．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求的值.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，，.點(diǎn)在上，且平面.(1)證明：；(2)求的值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.19．橢圓：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓E交于，PQ兩點(diǎn)，點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

參考答案1．【答案】D【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．故選：D．2．【答案】A【詳解】試題分析：點(diǎn)到直線即的距離為．故A正確．3．【答案】A【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A4．【答案】C【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；故選：C5．【答案】B【詳解】連接，則即.故選：B.6．【答案】C【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為F1?1,0，F(xiàn)21,0又過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓定義可得，，解得，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.7．【答案】A【詳解】直線方程整理為，即直線過(guò)定點(diǎn)，而，在圓內(nèi)，∴直線與圓相交．故選：A．8．【答案】C【詳解】解：若，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則所以“”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件故選：C9．【答案】B【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點(diǎn)，由中垂線的性質(zhì)可得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取最小值，且.故選：B.10．【答案】C【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.二、填空題11．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，所以圓O的方程為；（2）由點(diǎn)O到直線的距離為所以弦長(zhǎng)12．【答案】(答案不唯一)(答案不唯一)【詳解】由題設(shè)，可令雙曲線為且，∴，則，故為其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)漸近線方程為.故答案為：，(答案不唯一).13．【答案】【詳解】設(shè)到位于軸上方，坐標(biāo)為，∵為等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．14．【答案】/【詳解】設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，此時(shí)故答案為：15．【答案】①②④【詳解】對(duì)于①：因?yàn)槭钦襟w，所以平面，平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，即是與的公垂線段，因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，最短為2，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面，所以平面，可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到的距離不變，所以的面積不變，所以，所以②正確；對(duì)于③：當(dāng)分別與重合時(shí)，；當(dāng)為中點(diǎn)，與重合時(shí)，，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④：如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，因?yàn)闉榈冗吶切?，由，得，得，即，由，得，則，即，解得或，即或，故④正確；故選：①②④．

四、解答題16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以.所以直線與所成角的余弦值為.（2）因?yàn)?設(shè)平面的法向量為，則得，顯然是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.由題意得解得a=2所以橢圓的方程為.（2）由得.由，解得.設(shè)，，則.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則，.“”等價(jià)于“”.所以.解得，符合題意.所以.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫?，平面ACM，所以.因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以，又，所以平面.又平面PBD，所以.（2）取AB中點(diǎn)，連接.由（1）得四邊形為菱形，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪保詾樵c(diǎn)，的方向分別為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，.所以.設(shè)，，其中.所以.因?yàn)槠矫?，所以，?所以.解得，即.（3）由（2）.因?yàn)椋?設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令x=1，則，于是.所以點(diǎn)