試題試題2024北京五十五中高二3月月考數(shù)學(xué)本試卷共8頁(yè)，共150分，調(diào)研時(shí)長(zhǎng)120分鐘第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：1.設(shè)P是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）A. B. C. D.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.1 B.2 C.4 D.83.一名老師和四名學(xué)生站成一排照相，學(xué)生請(qǐng)老師站在正中間，則不同的站法為（）A.4種 B.12種 C.24種 D.120種4.由這10個(gè)數(shù)字，可以組成（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).A.720 B.648 C.504 D.3605.的展開式中的系數(shù)為（）．A. B. C.40 D.806.下列函數(shù)中，滿足“任意，且，都有的是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）.A. B.C. D.8.直線被圓所截得的線段的長(zhǎng)為A. B. C. D.9.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極大值10.現(xiàn)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選取兩人加入“數(shù)學(xué)興趣小組”，用A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則在已知A事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即（）A. B. C. D.11.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.12.已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合是“集合”．給出下列5個(gè)集合：①；②；③；④；⑤．其中是“集合”的所有序號(hào)是（）A.②③ B.①④⑤ C.③⑤ D.①②④第二部分（非選擇題共90分）二、填空題：13.曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為______________．14.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為____________．15.使“函數(shù)在區(qū)間(0，m]上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)m值是_____.16.若10個(gè)籃球中有7個(gè)已打足氣，3個(gè)沒有打足氣．已知小明用打足氣的籃球投籃，命中率為，用沒有打足氣的籃球投籃，命中率為，則小明任拿一個(gè)籃球投籃，命中的概率為________．17.隨著中國(guó)電子商務(wù)的發(fā)展和人們對(duì)網(wǎng)購(gòu)的逐漸認(rèn)識(shí)，網(wǎng)購(gòu)鮮花速遞行業(yè)迅速興起．佳佳為祝福母親的生日，準(zhǔn)備在網(wǎng)上定制一束混合花束．客服為佳佳提供了兩個(gè)系列，如下表：粉色系列黃色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃紅雪山假日公主、金輝、金香玉康乃馨粉色、小桃紅、白色粉邊火焰、金毛、黃色配葉紅竹蕉、情人草、滿天星散尾葉、梔子葉、黃鶯、銀葉菊佳佳要在兩個(gè)系列中選一個(gè)系列，再?gòu)闹羞x擇2種玫瑰、1種康乃馨、2種配葉組成混合花束．請(qǐng)問佳佳可定制的混合花束一共有________種．三、解答題：18.已知.（1）求展開式第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（2）求的值；（3）求的值；19.為了解學(xué)生上網(wǎng)課使用的設(shè)備類型情況，某校對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.獲得數(shù)據(jù)如下表：設(shè)備類型僅使用手機(jī)僅使用平板僅使用電腦同時(shí)使用兩種及兩種以上設(shè)備使用其他設(shè)備或不使用設(shè)備使用人數(shù)171665320假設(shè)所有學(xué)生對(duì)網(wǎng)課使用的設(shè)備類型的選擇相互獨(dú)立．（1）分別估計(jì)該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用手機(jī)的概率，該校學(xué)生上網(wǎng)課僅使用平板的概率；（2）從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，設(shè)隨機(jī)變量X表示這3人中僅使用電腦的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)樣本中上網(wǎng)課同時(shí)使用兩種設(shè)備的人數(shù)是22，用表示上網(wǎng)課僅使用一種設(shè)備，表示上網(wǎng)課不僅僅使用一種設(shè)備；用表示上網(wǎng)課同時(shí)使用三種設(shè)備，表示上網(wǎng)課不同時(shí)使用三種設(shè)備.試比較方差，的大小.（結(jié)論不要求證明）20.已知函數(shù)f(x)＝2x3﹣3ax2﹣1，a∈R.（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在區(qū)間[﹣1，1]上的最值；（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）若f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.（只需寫出結(jié)論）21.已知橢圓E：過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線l交直線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求證：點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．22.已知數(shù)列，記集合.（1）若數(shù)列為，寫出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；（3）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．

參考答案第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：1.【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義即可得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程可知：，所以P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.故選：B.2.【答案】C【分析】先根據(jù)拋物線的方程求出的值，再根據(jù)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可得到．【詳解】由，知＝4，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】C【分析】根據(jù)題意，只需將四名同學(xué)排序即可，進(jìn)而根據(jù)排序問題求解即可.【詳解】根據(jù)題意，一名老師和四名學(xué)生站成一排照相，老師站在正中間，只需將四名同學(xué)排序，所以，不同的站法為種.故選：C4.【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榘傥徊粸?，有9個(gè)數(shù)字可選，則十位有9個(gè)數(shù)字可選，個(gè)位有8個(gè)數(shù)字可選，所以可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).故選：B.5.【答案】D【分析】寫出的展開式的通項(xiàng)即可【詳解】的展開式的通項(xiàng)為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的運(yùn)用，較簡(jiǎn)單.6.【答案】A【分析】由題意可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)BCD：此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，故BCD錯(cuò)誤；故選：A.7.【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏虾愠闪?，可知在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：D.8.【答案】C【詳解】試題分析：求圓的弦長(zhǎng)常在以圓心、弦的中點(diǎn)及弦的一個(gè)端點(diǎn)所構(gòu)成的三角形內(nèi)先計(jì)算弦長(zhǎng)的一半，然后再求解．圓心（1，0）到直線的距離為，由圓的半徑1及勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為，所以弦長(zhǎng)為．故選C．考點(diǎn)：求圓的弦長(zhǎng)方法．9.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論．【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯(cuò)誤，故選：A.10.【答案】A【分析】分別求出，，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案.【詳解】由題意可得A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，則,表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則,故,故選：A11.【答案】B【分析】求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在上恒非負(fù)，根據(jù)恒成立的問題的辦法解決.【詳解】，又在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，而時(shí)，易見，只需要即可，故.故選：B。12.【答案】C【分析】根據(jù)集合是“集合”，即滿足曲線上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線垂直，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】題意，集合是“集合”，即滿足曲線上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線垂直，對(duì)于①中，，假設(shè)集合是“集合”，則存在兩點(diǎn)，，滿足，即，方程無解，所以假設(shè)不成立，所以集合不是“集合”；對(duì)于②中，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，圖象如圖所示，設(shè)圖象上對(duì)任意一點(diǎn)時(shí)，則，若令，即，也即，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象無交點(diǎn)，即無解，所以，故對(duì)于時(shí)不存在，此時(shí)不存在一點(diǎn)，使得成立，所以集合不是“集合”；對(duì)于③中，集合的圖象表示一個(gè)在軸上方的半圓（包括軸上的點(diǎn)），如圖所示，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得對(duì)任意一點(diǎn)，總是存在一點(diǎn)，使得成立，所以集合是“集合”；對(duì)于④中，函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，若，則不成立，所以集合不是“集合”；對(duì)于⑤中，函數(shù)，其大致圖象如下.設(shè)是其圖象上任意一點(diǎn)，由圖可知直線的斜率的范圍是根據(jù)圖象可得，其圖象上任意一點(diǎn)，總是存在一點(diǎn)，使得成立，所以集合是“集合”.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了集合是“集合”的新定義及應(yīng)用，其中解答的關(guān)鍵是理解對(duì)于任意，存在，使得成立，即滿足曲線上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線垂直，著重考查了分析問題和解答問題的能力.第二部分（非選擇題共90分）二、填空題：13.【答案】【詳解】設(shè)，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．點(diǎn)睛:求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以為切點(diǎn)的切線方程是．若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．14.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：15.【答案】；【分析】首先有且，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到的單調(diào)區(qū)間及對(duì)應(yīng)的單調(diào)性，使“函數(shù)在區(qū)間(0，m]上單調(diào)遞減”成立，即(0，m]包含于的單調(diào)遞減區(qū)間，即可得到一個(gè)m值【詳解】由題意，知：且∴當(dāng)且時(shí)，，即單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增故，要使在區(qū)間(0，m]上單調(diào)遞減，則即可∴符合要求故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由命題中函數(shù)單調(diào)的成立條件確定區(qū)間的包含關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)范圍16.【答案】##【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和全概率的加法公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，小明任意拿一個(gè)球投籃命中的概率為.故答案為：0.7217.【答案】108【詳解】若選粉色系列有種選法，若選黃色系列有種選法，佳佳可定制的混合花束一共有種.三、解答題：18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意，利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）分別令和，進(jìn)而求得的值；（3）分別令和，兩式相減，進(jìn)而求得的值.【小問1詳解】因?yàn)?，由二?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.【小問2詳解】由，令，可得；令，可得，所以【小問3詳解】由，令，可得，令，可得，兩式相減可得，所以.19.【答案】（1）僅使用手機(jī)的概率為，僅使用平板的概率為（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，根據(jù)表格計(jì)算即可得出答案；（2）學(xué)生上網(wǎng)課僅使用電腦的概率，寫出隨機(jī)變量的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望公式計(jì)算期望即可；（3）根據(jù)步驟分別求出和的期望，再根據(jù)公式分別求出，，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：學(xué)生上網(wǎng)課僅使用手機(jī)的概率為，學(xué)生上網(wǎng)課僅使用平板的概率為；【小問2詳解】解：學(xué)生上網(wǎng)課僅使用電腦的概率為，可取，且，，，，，則分布列為：0123；【小問3詳解】解：，，所以，，，，所以，，所以.20.【答案】（1）最大值-1，最小值-6；（2）詳見解析；（3）.【分析】（1）當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x3﹣3x2﹣1，求導(dǎo)，求得其極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值即可.（2），然后分，和三種情況討論求解.（3）根據(jù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，只需極大值大于零，極小值小于零，由（2）的結(jié)論，分，和三種情況討論求解.【詳解】（1）當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x3﹣3x2﹣1，所以，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以f(x)在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是-1，最小值是-6；（2），當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減；（3）若f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，在處取得極小值-1，所以，解得，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，在處取得極小值，此時(shí)，函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上：a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓上的點(diǎn)和離心率列方程求得，即可得到橢圓方程；（2）由題意，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由分別直線AQ和直線BQ的方程可得點(diǎn)和點(diǎn)，從而利用以上條件代入化簡(jiǎn)的值，進(jìn)而即可得證點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn).【小問1詳解】由題意得解得，．所以橢圓E的方程是．【小問2詳解】橢圓E的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由題意，設(shè)直線l的方程為．，整理得．因?yàn)?，所以，設(shè)直線l交橢圓E于點(diǎn)，，則，．由直線l的方程，令，解得，所以，．所以直線AQ的方程為，．令，解得，所以．直線BQ的方程為，．令，解得，所以．．由于，．則，所以線段CD的中點(diǎn)為F．22.【答案】（1）（2）不存在，使得成立（3）【分析】（1）根據(jù)題目給出的集合的定義求解即可；（2）使用假設(shè)法，假設(shè)存在，使得，進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論；（3）首先證明時(shí)，對(duì)任意的都有，然后證明除形式以外的數(shù)都可以寫成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，分類討論即可得解.【小問1詳解】由題意可得，，，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在，