試題試題2024北京一零一中高二（上）統(tǒng)練一數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（）A.直線坐標(biāo)平面 B.直線坐標(biāo)平面C.直線坐標(biāo)平面 D.直線坐標(biāo)平面2.在三棱柱中，為棱的中點(diǎn)．設(shè)，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.3.已知a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，且滿足，，，，則“與異面”是“直線與l相交”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為和的中點(diǎn)，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（）A. B. C. D.5.在正四面體中，棱與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.6.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的倍，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照?qǐng)D1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對(duì)四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.48.在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國(guó)的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績(jī)打破了“解三階魔方平均用時(shí)最短”吉尼斯世界紀(jì)錄稱號(hào).如圖，一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了之后，表面積增加了（）A.54 B. C. D.9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化.A.①② B.①③ C.②③ D.③④10.如圖1，某同學(xué)在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)的部分圖象，A，B分別是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，M是圖象與y軸的交點(diǎn)，，現(xiàn)將該卡片沿x軸折成如圖2所示的直二面角，在圖2中，則下列結(jié)果不正確的是（）A.B.點(diǎn)D到平面的距離為C.點(diǎn)D到直線的距離為D.平面與平面夾角的余弦值為二、填空題共6小題.11.已知，是空間兩向量，若，則與的夾角為______．12.三個(gè)空間向量，，不共面，且存在實(shí)數(shù)，使.則__________.13.如圖，圓錐的體積為，過的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，設(shè)圓柱體積為，則______．14.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在側(cè)面上．若點(diǎn)到直線和的距離相等，則的最小值是____．15.如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)，，且二面角的平面角大于，則的取值范圍是__________.16.已知單位向量?jī)蓛傻膴A角均為（，且），若空間向量滿足，，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，有下列命題：①已知，，則；②已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量的夾角取得最小值；③已知，，則；④已知，，，則三棱錐的表面積.其中真命題為________（寫出所有真命題的序號(hào)）．三、解答題共2小題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.如圖，在四棱錐中，，四邊形ABCD是正方形，，E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）證明：平面ABCD；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面PAB與平面AEC所成夾角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn).點(diǎn)在上.再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使點(diǎn)M唯一確定，并解答問題.條件①：條件②：；條件③：平面.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求直線EM與平面所成角的大小，及點(diǎn)E到平面的距離.

參考答案一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】首先求向量的坐標(biāo)，再判斷向量與坐標(biāo)平面的法向量的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知，，平面的法向量為，因?yàn)椋宜耘c既不平行也不垂直，所以直線與坐標(biāo)平面既不平行也不垂直，故AB錯(cuò)誤；坐標(biāo)平面的法向量為，，所以，且平面，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C2.【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以.故選：A3.【答案】C【分析】根據(jù)空間中線、面關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】當(dāng)“與異面”，若直線與l不相交，由于，則，又，則，這與和異面相矛盾，故直線與l相交，故“與異面”是“直線與l相交”的充分條件；當(dāng)“直線與l相交”，若與不異面，則與平行或相交，若與平行，又，則，這與直線和l相交相矛盾；若與相交，設(shè)，則且，得，即A為直線的公共點(diǎn)，這與相矛盾；綜上所述：與異面，即“與異面”是“直線與l相交”的必要條件；所以“與異面”是“直線與l相交”的充分必要條件.故選：C.4.【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故選：D5.【答案】B【分析】根據(jù)題意作出線面角的平面角，利用線面垂直和勾股定理即可求出正弦值為.【詳解】如下圖所示：取為底面的中心，為底面的中點(diǎn)，連接；由正四面體性質(zhì)易知底面，且三點(diǎn)共線，所以即為棱與底面所成角的平面角，取正四面體的棱，可得，由正三角形中心可得，勾股定理可得所以；故選：B6.【答案】D【分析】由題意設(shè)出底面邊長(zhǎng)，列出關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，側(cè)棱長(zhǎng)度為，則l=22a所以的取值范圍是.故選：D.7.【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵傻闷矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，所以①正確；對(duì)于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以②正確；對(duì)于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對(duì)于④，中，因?yàn)槠矫?，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：C.8.【答案】C【分析】利用截面圖，得出魔方相對(duì)原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，再利用幾何關(guān)系求出多出的一個(gè)小三角形的面積，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)了后，此時(shí)魔方相對(duì)原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)直角邊，則斜邊為，則有，得到，由幾何關(guān)系得：陰影部分的面積為，所以增加的面積為.故選：C.9.【答案】C【分析】根據(jù)正方體棱長(zhǎng)可知其外接球半徑為,其表面積為，可判斷①錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的余弦值可求得②正確，求出平面的法向量為，可知，即③正確，易知點(diǎn)到平面的距離是定值，利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時(shí)外接球的表面積為，可知①錯(cuò)誤；對(duì)于②，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時(shí)，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對(duì)于③，由②可知，，則；設(shè)平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時(shí)，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對(duì)于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會(huì)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，即④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解異面直線所成角的方法：（1）平移法：將兩異面直線通過平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量所成的角與異面直線所成的角的關(guān)系，求得兩向量夾角的余弦值.10.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圖1中點(diǎn)A,B,D,M的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖2中點(diǎn)A,B,D,M的坐標(biāo)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】在圖1中，由，得，，，，在圖2中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，得，A正確．設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D到平面的距離為，B正確．取，，則，，所以點(diǎn)D到直線的距離為，C錯(cuò)誤．平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的余弦值為，D正確.故選：C.二、填空題共6小題.11.【答案】【分析】利用平方的方法化簡(jiǎn)已知條件，從而求得與的夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，所以根據(jù)，，即，又，．故答案為：12.【答案】【分析】由條件，結(jié)合空間向量基本定理可求，由此可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，，不共面，所以，，，所?故答案為：.13.【答案】【分析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，分別計(jì)算圓錐和圓柱的體積即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以圓柱的底面半徑為，高為，則，所以.故答案為：14.【答案】【詳解】如圖在面A1ABB1建立P面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）∵點(diǎn)P到直線AA1和CD的距離相等，，即x2=y2+1．∴A1P=∴當(dāng)P（，1）時(shí)，A1P最小為.故填.點(diǎn)睛：本題直接解答比較困難，采用坐標(biāo)法比較簡(jiǎn)潔易懂，所以方法的選擇很關(guān)鍵.當(dāng)我們遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、長(zhǎng)方體等有垂直關(guān)系的幾何圖形時(shí)，可以嘗試?yán)米鴺?biāo)法解答,看是否簡(jiǎn)潔.15.【答案】【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，向量法表示出二面角的平面角的余弦值，結(jié)合題意建立關(guān)于k的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．【詳解】以A為原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，且平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，取，有，可得，設(shè)二面角的大小為，則，化簡(jiǎn)得，所以，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍.故答案為：16.【答案】②③【分析】①利用定義表示與，并利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義來進(jìn)行驗(yàn)證；②作出圖形，設(shè)，，結(jié)合圖形得出當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)與的夾角最小，從而判斷結(jié)論的正誤；③利用“仿射”坐標(biāo)的定義，結(jié)合空間向量加法的運(yùn)算律來進(jìn)行驗(yàn)證；④根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義判斷出三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體，于此可得出該三棱錐的表面積.【詳解】①由定義可得，∵，，，故①錯(cuò)誤；②如圖，設(shè)，，則點(diǎn)在平面上，點(diǎn)在軸上，由圖易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故②正確；③根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得，故③正確；④由已知可知三棱錐為正四面體，棱長(zhǎng)為，其表面積為，即④錯(cuò)誤．故答案為②③.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的新定義，在驗(yàn)證各命題時(shí)要嚴(yán)格根據(jù)題中定義來理解，結(jié)合空間向量加減法以及數(shù)量積的運(yùn)算律來計(jì)算，考查推理能力，屬于難題.三、解答題共2小題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【分析】（1）由題設(shè)，根據(jù)線面垂直的判定得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有，并由勾股定理證，最后應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问钦叫危瑒t，且，平面，，所以平面，且平面，可得，又因?yàn)?，所以，即，由平面，且，所以平?【小問2詳解】由（1）可知：平面，且，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間之間坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，則，可得，設(shè)平面平面AEC的法向量，則，令，則，可得，且平面PAB的法向量，由題意可得：，整理得，解得或（舍去），所以存在實(shí)數(shù)，的值為.18.【答案】（1）證明見解析（2）；【分析】（1）分別選條件①②③，結(jié)合線面平行位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可得證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的法向量為，