4.4利用三角形全等測距離

第4章

三角形北師大版（2024）

七年級

下冊學(xué)習(xí)目標1.能利用三角形全等解決實際問題，體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系；(重點)

2.能在解決問題的過程中進行有條理的思考與表達．(難點)

新課導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.1.全等三角形的性質(zhì)：2.幾何語言表達：如圖所示，因為△ABC≌△DEF，所以AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.新課導(dǎo)入情境引入你知道這位戰(zhàn)士是怎么做的嗎？能不能用本章所學(xué)習(xí)的知識來解決呢？

一位經(jīng)歷過戰(zhàn)爭的老人講述過這樣一個故事：在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望.為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離.在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一名戰(zhàn)士想出了一個辦法，為成功炸毀碉堡立了一功.

如圖，這個戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好，調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿態(tài)，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的方法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離.新課講授

探究：利用三角形全等測距離步測距離碉堡距離新課講授（1）按這名戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場上與你距離相等的兩個點，并通過測量加以驗證.

具體操作時，可以用一張紙或一個本子代替帽檐，先確定好一個目標，再調(diào)整“帽檐”，使視線通過“帽檐”望去恰好落在目標上，然后保持“帽檐”不動，轉(zhuǎn)過一個角度再望出去，視線所落的位置即為第二個目標.最后用步測等方法測量出兩個目標與觀察者的距離，驗證戰(zhàn)士做法的合理性.

確定第二個目標時，可以重復(fù)2~3次后求平均數(shù)，以避免出現(xiàn)較大的誤差.（2）你能解釋其中的道理嗎？新課講授

人面向兩個不同方向，人的身體分別與視線、地平線構(gòu)成的兩個三角形全等（ASA），再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，量出自己與那個點的距離就是他與碉堡間的距離.你能將這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？新課講授

在△ABC與△DEF中，AB=DE，∠B=∠E=90°，∠A=∠D。則有BC=EF，為什么？如圖所示，將實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題為：ABCDEF∴BC=DC（）理由：在△ACB與△ACD中，∠A=∠DAB=DE（公共邊）∠B=∠E∴△ACB≌△ACD（ASA）全等三角形的對應(yīng)邊相等

∵新課講授知識歸納利用三角形全等測距離的原理:

由于兩個全等三角形的對應(yīng)邊相等，因此利用全等三角形可以解決不能直接到達或不能直接測量的兩點之間的距離問題。

解題關(guān)鍵是構(gòu)造兩個全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到兩點間的距離。新課講授1.如圖要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB

的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，可以證明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，測得ED的長就是AB的長.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SSSB.ASAC.AASD.SASBA●●DCEFB新課講授你能說明其中的道理嗎?

如圖所示，A,B兩點分別位于一個池塘的兩端,小麗想用繩子測量A,B間的距離,但繩子不夠長,一位叔叔幫他出了這樣一個主意:先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C,連接AC并延長到D,使CD=CA;連接BC并延長到E,使CE=CB,連接DE并測量出它的長度,DE的長度就是A,B間的距離.觀察·思考新課講授你能說出小麗每一步的理由嗎？小麗的思考過程如下。解:在△ABC和△DEC中,因為AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,所以△ABC≌△DEC,所以AB=DE.解:在△ABC和△DEC中,因為AC=DC(已知),∠ACB=∠DCE

(對頂角相等),BC=EC(已知),所以△ABC≌△DEC(SAS),所以AB=DE(全等三角形對應(yīng)邊相等).新課講授知識歸納利用三角形全等測距離的方法:(1)構(gòu)造兩邊及其夾角分別相等的兩個全等三角形;(2)構(gòu)造兩角及其夾邊分別相等的兩個全等三角形.新課講授2.如圖所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，則A，B兩點間的距離()A.大于100mB.等于100mC.小于100mD.無法確定B典例分析例1：如圖所示,為了測量出池塘兩端A,B之間的距離,先在地面上取一點C,使∠ACB=90°,然后延長BC至點D,使CD=BC,那么只要測量出AD的長度就能得到A,B兩點之間的距離,請說明其中的道理.解:因為∠ACB=90°,所以∠ACB=∠ACD=90°.在△ACD和△ACB中,因為AC=AC,∠ACD=∠ACB,CD=CB,所以△ACD≌△ACB(SAS),所以AD=AB,所以測量出AD的長度就能得到A,B兩點之間的距離.典例分析例2：如圖所示,某湖泊岸邊A,B兩地有兩棵大樹,計劃在兩棵大樹之間架一電話線路,為了計算兩棵大樹能承受的壓力,需測量出A,B兩地之間的距離,但是A,B兩地又不能直接到達,請你用學(xué)過的知識設(shè)計一個測量方法,求出A,B兩地之間的距離.??解:方法不唯一,如圖,在湖泊岸邊找一點C,連接AC,BC并延長,截取DC=BC,EC=AC,連接DE.在△ABC和△EDC中,因為BC=DC,∠ACB=∠ECD,AC=EC,所以△ABC≌△EDC(SAS),所以AB=ED,所以測量出ED的長即可得到A,B兩地之間的距離.?學(xué)以致用2.A,B兩點分別位于一個池塘的兩端,小明想用繩子測量A,B間的距離,如圖所示(AC=CD,∠ACB=∠DCB)的這種方法,是利用了三角形全等中的(

)A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS1.利用三角形全等測量距離的原理是(

)A.全等三角形的對應(yīng)角相等B.全等三角形的對應(yīng)邊相等C.全等三角形的周長相等D.全等三角形的形狀相同BD學(xué)以致用3.如圖所示，某校學(xué)生為測量點B到河對面的目標A之間的距離，他們在點B同側(cè)選擇了一點C，測得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M處立了標桿，使∠CBM=70°，那么他們還應(yīng)做什么才能測得A,B之間的距離(

)A.直接測量BM的長

B.測量BC的長C.測量∠A的度數(shù)

D.作∠BCN=40°,且CN交射線BM于點N,測量BN的長D學(xué)以致用4.如圖所示，要測量池塘的寬度AB，在池塘外選取一點P，連接AP，BP并分別延長至點C，D，使PC=PA，PD=PB，連接CD.測得CD的長為10m,則池塘的寬度AB為

m.理由是_______________________________.

10兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等,全等三角形的對應(yīng)邊相等學(xué)以致用5.小明想知道一堵墻上點A的高度(AO⊥OE),但又無法到達A處直接測量,于是設(shè)計了下面的方案(如圖),請你先補全方案,再說明理由.第一步:找一根長度大于OA的直桿AB,使直桿靠在墻上,且頂端與點A重合,記下直桿與地面的夾角∠ABO;第二步:使直桿頂端豎直緩慢下滑,直到∠

=∠

,標記此時直桿的底端點D;

第三步:測量

的長度,即為點A的高度.

DCOABOOD解:理由:在△AOB與△DOC中,因為∠AOB=∠DOC,∠ABO=∠DCO,AB=DC,所以△AOB≌△DOC(AAS),所以O(shè)A=OD.學(xué)以致用6.如圖，公園里有一條“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F(xiàn)，M恰為BC的中點，且E，M，F(xiàn)在同一直線上，在BE道路上停放著一排小汽車，從而無法直接測量B，E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請說明其中的道理.解：因為AB∥CD,所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中，∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=