高三函數(shù)試題及解析答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)答案：A2.已知函數(shù)\(f(x)=2^x+x-5\)，則函數(shù)\(f(x)\)的零點所在區(qū)間為（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((2,3)\)D.\((3,4)\)答案：B3.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B4.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(x>0\)時，\(f(x)=x^2+1\)，則\(f(-2)\)的值為（）A.5B.-5C.3D.-3答案：B5.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在區(qū)間\([2,3]\)上的最大值為（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：A6.已知\(a=0.3^2\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_{0.3}2\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關(guān)系是（）A.\(a<b<c\)B.\(c<a<b\)C.\(b<c<a\)D.\(c<b<a\)答案：B7.函數(shù)\(y=\sqrt{1-x^2}\)的定義域為\([-1,1]\)，其值域為（）A.\([0,1]\)B.\((0,1)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)答案：A8.若函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的對稱軸為\(x=2\)，則（）A.\(f(1)=f(3)\)B.\(f(1)>f(3)\)C.\(f(1)<f(3)\)D.\(f(1)\)與\(f(3)\)大小不確定答案：A9.函數(shù)\(y=3^{x^2-2x}\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,0]\)D.\([0,+\infty)\)答案：A10.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=f(x-1)\)，且\(x\in[-1,1]\)時，\(f(x)=x^2\)，則\(f(2023)\)的值為（）A.0B.1C.2D.4答案：B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\log_2x\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)答案：ABD2.下列關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的說法正確的是（）A.\(y=x^3\)在\(R\)上是增函數(shù)B.\(y=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)C.\(y=-x^2\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)D.\(y=2^x\)在\(R\)上是增函數(shù)答案：ABD3.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，則（）A.\(f(x)\)的周期是4B.\(f(x)\)的周期是2C.\(f(x+4)=f(x)\)D.\(f(x+6)=f(x)\)答案：AC4.下列函數(shù)中，值域是\((0,+\infty)\)的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\log_2x\)答案：ABC5.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a>0\)），且\(f(1-x)=f(1+x)\)，則（）A.\(f(0)>f(3)\)B.\(f(0)=f(2)\)C.\(f(-1)=f(3)\)D.\(f(1)\)是函數(shù)\(f(x)\)的最小值答案：BCD6.函數(shù)\(y=\log_a(x+3)-1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過定點\(P\)，則\(P\)點坐標(biāo)為（）A.\((-2,-1)\)B.\((-2,0)\)C.\((-3,-1)\)D.\((-3,0)\)答案：A7.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,1)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=2-x\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：AC8.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x>0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則（）A.\(f(0)=0\)B.\(f(-1)=1\)C.當(dāng)\(x<0\)時，\(f(x)=-x^2-2x\)D.函數(shù)\(f(x)\)有三個零點答案：ACD9.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象與函數(shù)\(y=2^x\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對稱，則（）A.\(f(x)=2^{-x}\)B.\(f(x)\)的圖象過點\((0,1)\)C.\(f(x)\)在\(R\)上是減函數(shù)D.\(f(x)\)是偶函數(shù)答案：ABCD10.對于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關(guān)于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.在區(qū)間\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上單調(diào)遞增D.圖象可由\(y=\sin2x\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位得到答案：ABD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域是\(\{1\}\)。（）答案：√2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有\(zhòng)(f(a)f(b)<0\)，則\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)一定有零點。（）答案：×3.函數(shù)\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)上是單調(diào)遞增的。（）答案：×4.函數(shù)\(y=2x+1\)與\(y=\frac{x-1}{2}\)互為反函數(shù)。（）答案：√5.若函數(shù)\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)=f(-x)\)對定義域內(nèi)任意\(x\)都成立。（）答案：√6.函數(shù)\(y=\log_2(x^2+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（）答案：√7.函數(shù)\(y=3^x\)與\(y=-3^x\)的圖象關(guān)于\(x\)軸對稱。（）答案：√8.函數(shù)\(y=x^3+1\)的圖象關(guān)于點\((0,1)\)對稱。（）答案：√9.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞增，\(g(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞減，則\(f(x)-g(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（）答案：√10.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位得到\(y=\cosx\)的圖象。（）答案：×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\log_3(9-x^2)\)的定義域和值域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(9-x^2>0\)，即\(-3<x<3\)，定義域為\((-3,3)\)。因為\(0<9-x^2\leq9\)，所以\(\log_3(9-x^2)\leq\log_39=2\)，值域為\((-\infty,2]\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+1\)在區(qū)間\([2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍。答案：函數(shù)\(f(x)\)圖象開口向上，對稱軸為\(x=a\)。因為\(f(x)\)在\([2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，所以對稱軸\(x=a\)需滿足\(a\leq2\)，即\(a\)的取值范圍是\((-\infty,2]\)。3.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(x+4)=f(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,2]\)時，\(f(x)=x^2\)，求\(f(7)\)的值。答案：因為\(f(x+4)=f(x)\)，所以函數(shù)周期為\(4\)。\(f(7)=f(4+3)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)\)。又因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(-1)=-f(1)\)。當(dāng)\(x\in[0,2]\)時，\(f(1)=1^2=1\)，所以\(f(7)=-1\)。4.求函數(shù)\(y=\sin^2x+\sinx-1\)的值域。答案：令\(t=\sinx\)，則\(t\in[-1,1]\)，函數(shù)化為\(y=t^2+t-1\)。其對稱軸為\(t=-\frac{1}{2}\)，當(dāng)\(t=-\frac{1}{2}\)時，\(y_{min}=(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-1=-\frac{5}{4}\)；當(dāng)\(t=1\)時，\(y_{max}=1^2+1-1=1\)。值域為\([-\frac{5}{4},1]\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）與\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的關(guān)系。答案：二者互為反函數(shù)。圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。\(y=a^x\)定義域為\(R\)，值域為\((0,+\infty)\)；\(y=\log_ax\)定義域為\((0,+\infty)\)，值域為\(R\)。當(dāng)\(a>1\)時，二者在各自定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<a<1\)時，二者在各自定義域內(nèi)單調(diào)遞減。2.結(jié)合具體函數(shù)，討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的聯(lián)系。答案：以\(f(x)=x^3\)為例，它是奇函數(shù)且在\(R\)上單調(diào)遞增。奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，如\(f(x)=x^2\)在\((-\infty,0)\)上遞減，在\((0,+\infty)\)上遞增。3.討論如何利用函數(shù)的性質(zhì)來求解函數(shù)的最值。答案：利用單調(diào)性，若函數(shù)在區(qū)間\([a,b]\)單調(diào)遞增，則\(f(a)\)為最小值，\(f(b)\)為最大值；若單調(diào)遞減則相反。對于有奇偶性的函數(shù)，可利用其對稱性結(jié)合單調(diào)性求最值。同時，對于二次函數(shù)等可根據(jù)其圖象性質(zhì)（開口方向、對稱軸）來確